Tips och lösning till U 13.7d
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Det gäller att en vektor \displaystyle \boldsymbol{u} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} enligt
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4.
Tips 2
Återstår nu att beräkna koordinaterna. Observera att beräkningen kan utnyttja att du har en ON-bas.
Tips 3
Vid ON-bas gäller att koordinaterna beräknas med hjälp av skalärprodukten\lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4,
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} enligt
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4.
Eftersom \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} är dessutom en ON-bas, så är koordinaterna klara och bestämda av
\lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4,
så att
\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_2)\boldsymbol{v}_2+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_3)\boldsymbol{v}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_4)\boldsymbol{v}_4.
Vi har att \displaystyle \lambda_1=3/2, \displaystyle \lambda_2=-1/2, \displaystyle \lambda_3=3/2 och \displaystyle \lambda_4=-1/2. Detta ger att
\boldsymbol{u}=\frac{3}{2}\boldsymbol{v}_1-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_2+ \frac{3}{2}\boldsymbol{v}_3-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_4.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har alltså koordinaterna \displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}3\\-1\\3\\-1\\\end{array}\right) i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} .
