Tips och lösning till U 15.2a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Grundidéen är att lösa den sk normalekvationen som finns beskriven i Definition 14.4.
Tips 2
För att få fram matrisen A i normalekvationen sätter vi in punkterna i linjens ekvation och får då ekvationssystemet \quad\mbox{dvs}\quad
\left(\begin{array}{rr}2&1\\3&1\cr4&1\\5&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}k\\m\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}-2\\0\\-1\\1\end{array}\right)
\quad\mbox{dvs}\quad A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.
Tips 3
Ekvationssystemet saknar lösning, vilket du kan se av den figur som du förhoppningsvis har ritat. Om systemet skulle ha lösning skulle punkterna ligga på samma räta linje. Nu gör de inte det så vi löser i stället normalekvationenA^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}
Lösning
Vi sätter vi in punkterna i linjens ekvation \displaystyle y=kx+m och får ekvationsystemet
\quad\mbox{dvs}\quad
\left(\begin{array}{rr}2&1\\3&1\cr4&1\\5&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}k\\m\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}-2\\0\\-1\\1\end{array}\right)
\quad\mbox{dvs}\quad A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.
Dock saknar detta system lösning så vi löser normalekvationen
A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}54&14\\14&4\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}-3\\-2\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}k&=&4/5\\m&=&-33/10\end{array}\right.
Alltså är linjen \displaystyle y=\frac{4}{5}x-\frac{33}{10} den som bäst ansluter till dem givna punkterna.
