Tips och lösning till U 15.4a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi börjar med att fastställa dimensionen på W så att vi vet hur många koordinater som skall bestämmas.
Tips 2
Vi ser direkt att dimensionen för W är två så om vi sätter \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] så gäller att\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
\boldsymbol{u}_{\parallel W}?
Tips 3
Idéen är att vi i stället söker storheten \displaystyle \boldsymbol{u} via relationen\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
Lösning
Vi har att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 är linjärt oberoende vilket ger att \displaystyle \dim W=2 ,
Vi söker \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W , dvs vi söker \displaystyle \lambda_1 och
\displaystyle \lambda_2 så att
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,
ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Eftersom vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas upp i
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},
så vill vi att felet
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
ska bli så litet som möjligt.
Vi sätter upp relationen
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\2\\2\end{array}\right) +\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 3\\0\\3\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
Detta system saknar lösning! Minsta kvadratmetoden där vi läser normalekvationen ger
\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|r}9&9&1\\9&18&3\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&-1/9\\\lambda_2&=&2/9\end{array}\right.
Alltså har vi att
=-\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}1\\2\\2\end{array}\right) + \frac{2}{9} \left(\begin{array}{r}3\\0\\3\end{array}\right) =\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}5\\-2\\4\end{array}\right)
Vidare ger detta att
=\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}4\\2\\-4\end{array}\right)
