Tips och lösning till U 15.7a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi börjar med att ta fram ett uttryck för det ortogonala komplementet \displaystyle W^{\perp} till planet. Med hjälp av planets ekvation kan vi sedan finna en normal till planet. Denna normal är parallell med \displaystyle W^{\perp} . Rita gärna en figur.
Tips 2
Vi har alltså sambandet \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}} = \lambda \boldsymbol{n} Det betyder att vi söker \displaystyle \lambda , så att \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}} = \lambda \boldsymbol{n} , ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u}
Tips 3
Vi går nu vägen över MK-metoden och studerar relationen\boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \lambda\left(\begin{array}{r}2\\-1\\-2\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)
Lösning
Det ortogonala komplementet \displaystyle W^{\perp} till planet \displaystyle W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^3:\ 2x_1-x_2-2x_3=0\} spänns upp av normalen \displaystyle \boldsymbol{n}=(2,-1,-2)^t , dvs \displaystyle W^{\perp}=[(2,-1,-2)^t] .
Vi söker \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W , där \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t\in{\bf E}^3 är godtycklig. Detta betyder att vi söker \displaystyle \lambda , så att
\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}} = \lambda \boldsymbol{n} ,
ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Eftersom vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas upp i
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},
så vill vi att felet
||\boldsymbol{u}_{\parallel W} ||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||
ska bli så litet som möjligt.
Vi sätter upp relationen
\boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \lambda\left(\begin{array}{r}2\\-1\\-2\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)
Detta system saknar lösning! MK-metoden där vi läser normalekvationen ger
\lambda\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&-2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}2\\-1\\-2\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&-2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\x_3\end{array}\right)
\Leftrightarrow 9\lambda=2x_1-x_2-2x_3 \Leftrightarrow \lambda=\frac{2x_1-x_2-2x_3}{9}
Alltså har vi att
\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}} =\frac{2x_1-x_2-2x_3}{9} \boldsymbol{n} =\frac{2x_1-x_2-2x_3}{9} \left(\begin{array}{r} 2\\-1\\-2\end{array}\right) =\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r} 4x_1-2x_2-4x_3\\-2x_1+x_2+2x_3\\-4x_1+2x_2+4x_3\end{array}\right).
Ortogonala projektionen är därmed
P _{\parallel W^{\perp}} (\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}} =\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r} 4x_1-2x_2-4x_3\\-2x_1+x_2+2x_3\\-4x_1+2x_2+4x_3\end{array}\right).
Projektionen har en matrisframställning
P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\frac{1}{9} \left(\begin{array}{rrr} 4&-2&-4\\-2&1&2\\-4&2&4\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right).
