Tips och lösning till U 22.19b

Tips 1

I detta fall är inte matrisen symmetrisk, men vi tar ändå fram en bas av egenvektorer och diagonaliserar (om det går)

Tips 2

Eftersom egenvärdena blir 0,1,1 får vi en liknande situation som i a-uppgiften. Vår avbildningsmatris blir densamma som i a-uppgiften, men i detta fall är inte egenvektorerna inbördes ortogonala, vilket du kan se efter att du har beräknat dom.

Tips 3

Det är alltså på detta viset att egenvektorn med egenvektor noll avbildas på nollvektorn och de båda andra på sig själva. Detta kan alltså tolkas som att vi får en sned projektion i riktning den första egenvektorn och ner i det plan som spänns upp av de båda övriga egenvektorerna (rita gärna en figur).

Lösning

Avbildningen \displaystyle F har egenvärdena \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=1 . Tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=0}=[(1,1,1)^t] , \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ 2x_1-2x_2-x_3=0.\} .

Vidare är \displaystyle \det A_2=0 samt \displaystyle \dim N(F)=1 där \displaystyle N(F)=E_{\lambda=0} och \displaystyle \dim V(F)=2 , där \displaystyle V(F)=E_{\lambda=1} .

Avbildningen \displaystyle F är tydligen en projektion på \displaystyle E_{\lambda=1} men eftersom \displaystyle F inte är symmetrisk så är \displaystyle F inte en ortogonal projektion, ty projektionen är inte parallell med normalen \displaystyle (2,-2,-1)^t utan parallell med linjen \displaystyle E_{\lambda=0} .

Avbildningen \displaystyle F är alltså en sned projektion på planet \displaystyle E_{\lambda=1} parallellt med linjen \displaystyle E_{\lambda=0} .

Den geometriska tolkningen av \displaystyle F  följer också av att matrisen \displaystyle A_2 är diagonaliserbar

ty \displaystyle F har matrisen \displaystyle D_2 i en bas av egenvektorer, där kan vi se att \displaystyle F är en sned projektion i planet som spänns upp av egenvektorerna \displaystyle (1,2,-2)^t och \displaystyle (2,1,2)^t parallellt med linjen \displaystyle t(1,1,1)^t . (Observera att \displaystyle F inte har en ON-bas av egenvektorer och därmed kan vi inte använda \displaystyle T^t .)