Tips och lösning till U 22.1c

Tips 1

Den fråga du skall ställa dej är "Vilka vektorer är parallella med sin egen avbildning?"

Tips 2

Vilka vektorer ändrar inte sin riktning vid en rotation kring vektorn \displaystyle (1,1,1)^t ?

Tips 3

Endast vektorer som är parallella med rotationsaxeln \displaystyle (1,1,1)^t behåller sin riktning och storlek. Det betyder att vektorer av typen \displaystyle t(1,1,1)^t blir egenvektorer med egenvärde 1.

Lösning

För en rotation \displaystyle R i rummet är det bara rotationsaxeln som roteras på en parallell vektor, alla andra vektorer roteras den givna vinkeln. Alltså har \displaystyle R endast ett reellet egenvärde \displaystyle \lambda=1 med tillhörande egenvektor parallell med rotationsaxeln \displaystyle t(1,1,1)^t .