Tips och lösning till U 22.28
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Skriv om i kanoniska bas.
Tips 2
I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan vi skriva
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3=-2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2.
Vidare får vi enhetssfären i formen
1=x_1^2+x_2^2+x_3^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2+y_3^2.
Tips 3
För att erhålla största värdet av Q på denna enhetssfär så överskattar vi Q:Q=-2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2\leq 4y_1^2+4y_2^2+4y_3^2 =4\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=4,
På motsvarande sätt tas det största värdet fram (genom underskattning). Observare att över- och underskattning görs så att vi kan utnyttja ekvationen för enhetssfären.
Lösning
Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3 =(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr}0&2&2\\2&3&-1\\2&-1&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) =X^tAX.
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=4 och \displaystyle \lambda_3=4 med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt6}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}-2\\1\\ 1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}0\\-1\\ 1\end{array}\right) , och \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt3}\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 1\\1\\ 1\end{array}\right)
I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med
nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan vi skriva
Q=3x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3=-2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2.
Enhetssfären är återigen en enhetssfär även efter bytet
till kanonisk bas, ty
1=x_1^2+x_2^2+x_3^2=X^tX=(TY)^tTY=Y^tT^tTY=Y^tY=y_1^2+y_2^2+y_3^2.
i) För att bestämma största värdet hos \displaystyle Q
skattar vi \displaystyle Q uppåt, dvs
Q=-2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2\leq 4y_1^2+4y_2^2+4y_3^2 =4\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=4,
Vi får alltså att \displaystyle Q :s största värde är 4 som antas
i punkter på enhetscirkeln \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1 .
Vi kan också välja att beskriva enhetscirkeln som skärningen mellan
planet \displaystyle y_1=0 och enhetssfären \displaystyle y_1^2 +y_2^2+y_3^2=1 .
Vi ska nu gå tillbaka och skriva planet \displaystyle y_1=0 i dem gamla
koordinaterna \displaystyle X=TY , där \displaystyle Y=T^tX och \displaystyle Y^t=X^tT .
Vi får
\begin{array}{rcl} 0&=&y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right) =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{rrr} -2/\sqrt6& 0& 1\sqrt3\\ 1/\sqrt6& -1/\sqrt2& 1\sqrt3\\ 1/\sqrt6& 1/\sqrt2& 1\sqrt3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ &=&(x_1\ x_2\ x_3) \left(\begin{array}{c}-2/\sqrt6\\ 1\sqrt6\\1\sqrt6\end{array}\right)
=-\frac{2}{\sqrt6}x_1+\frac{1}{\sqrt6}x_2+\frac{1}{\sqrt6}x_3.
\end{array}
Därmed har vi visat att \displaystyle Q antar sitt största värde 4 på skärningen
mellan planet \displaystyle 2x_1-x_2-x_3=0 och enhetssfären
\displaystyle x_1^2 +x_2^2+x_3^2=1 . Man kan visa att denna skärning är en ellips.
ii) För att bestämma minsta värdet hos \displaystyle Q skattar vi \displaystyle Q nedåt, dvs
Q=-2y_1^2+4y_2^2+4y_3^2\geq -2y_1^2-2y_2^2-2y_3^2 =-2\underbrace{(y_1^2+y_2^2+y_3^2)}_{=1}=-2,
Vi får att \displaystyle Q antar sitt minsta värde \displaystyle -2 i punkterna
\displaystyle y_1=\pm1 , \displaystyle y_2=y_3=0 .
I gamla koordinater ges dessa punkter av
X=TY=\left(\begin{array}{rrr} -2/\sqrt6& 0& 1\sqrt3\\ 1/\sqrt6& -1/\sqrt2& 1\sqrt3\\ 1/\sqrt6& 1/\sqrt2& 1\sqrt3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} \pm 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) =\pm \frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right).
\displaystyle Q antar alltså sitt minsta värde \displaystyle -2 i punkterna
\displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt6}(-2,1,1) .
