Tips och lösning till U 22.2c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Du skall alltså visa att ekvationen \displaystyle F(\boldsymbol{v}_3)=2\boldsymbol{v}_3\ har en lösning.
Tips 2
Skriv nu om ekvationen på matrisform. Då erhåller du efter lite omskrivning \displaystyle (A-2E)X_3=\boldsymbol{0},
Tips 3
Genom att nu sätta in den givna matrisen och enhetsmatrisen får du ett ekvationssystem vars lösning du söker.
Lösning
\displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F om det finns en tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}X_3 , så att
F(\boldsymbol{v}_3)=2\boldsymbol{v}_3\Leftrightarrow AX_3=2X_3\Leftrightarrow AX_3-2X_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow(A-2E)X_3=\boldsymbol{0},
dvs
\left\{\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) -2 \left( \begin{array}{rrr} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right)\right\} \left(\begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{r} 0\\ 0 \\0\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rrr}-1&-1&-1\\-2&-2&1\\2&2&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow X_3=t \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right).
Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}
\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) .
