Tips och lösning till U 22.31

Tips 1

Vi har ett ekvationssystem som skall lösas. Observera att det inte är linjärt.

Tips 2

Att lösa icke linjära ekvationssystem kan vara lite knepigt. Vi har ingen generell metod på samma sätt som med de linjära ekvationssystemen. Vi provar att förenkla systemet genom att gå över till en kanonisk bas.

Tips 3

Ekvationssystemet övergår då till \displaystyle

\left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right.

som får lösningen \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1 . Överför sedan resultatet till den ursprungliga basen på samma sätt som i föregående uppgift.

Lösning

Vi söker gemensamma punkter mellan ytan \displaystyle Q=9 och enhetssfären \displaystyle S .

Ytan \displaystyle Q=9\Leftrightarrow X^tAX=9 , där \displaystyle A har egenvärden \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=9 .

Tillhörande egenrum är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(2,1,-2)^t] , \displaystyle E_{\lambda=9}=[(1,2,2)^t,(2,-2,1)^t] .

I kanonisk bas är \displaystyle Q=9y_2^2+9y_3^2=9 och enhetssfären \displaystyle S är \displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2=1 .

Gemensamma punkter sökes bland

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right.

som har lösningen \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1 som i gamla basen har koordinaterna

\displaystyle

0=y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=2x_1+x_2-2x_3.

Alltså ges de gemensamma punkterna mellan ytorna av skärningen mellan planet \displaystyle 2x_1+x_2-2x_3=0 och enhetssfären.