Tips och lösning till U 22.7
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi börjar med att ta fram egenvärden och egenvektorer till matrisen.
Tips 2
Vi ska nu ta fram en bas i det rum där avbildningen verkar. Vi behöver då två basvektorer. I detta fall räcker inte egenvektorerna till för att de ensamt ska kunna bilda bas.
Tips 3
Eftersom vi bara erhåller en egenvektor får vi fylla på med en annan vektor som ska vara ortogonal mot vår egenvektor. Det finns två riktningar att välja mellan! Avsluta med att normera dina vektorer ty vi skulle ha en ON-bas.
Lösning
Vi löser sekularekvationen
\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{cc} {2-\lambda}&{-1}\\{1}&{-\lambda}\end{array}\right| =-\lambda(2-\lambda)+1=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Egegnvärdena är \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=1 .
Tillhörande egenvektorerna får vi om vi
löser systemet \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} :
\left(\begin{array}{rr}1&-1\\1&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{v}_1=t(1,1)^t.
Vi har färre antal egenvektorer än egenvärden; detta är ett exempel på
när den geometriska multipliciteten är mindre än den algebraiska..
Vi väljer att fylla ut med \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,-1)^t som är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}_1 .
En ny ON-bas skulle därmed vara \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^t
och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^t .
På så sätt får vi att \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\right) och därmed
A_{f}=TA_eT^t= \left(\begin{array}{rr}1&2\\0&1\end{array}\right).
