Tips och lösning till U 22.8e
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi följer samma mönster som i tidigare exempel.
Tips 2
I detta fall får vi en trippelrot då vi löser sekularekvationen, vilket ger ett egenrum med dimensionen två.
Tips 3
Vi kan i detta egenrum som är ett plan bara finna två linjärt oberoende vektorer. Eftersom det krävs tre linjärt oberoende egenvektorer så går det inte att diagonalisera.
Lösning
Vi subtraherar kolonn 2 från kolonn 3 i sekularekvationen
0=\left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda&-4&-4\\ -1&3-\lambda&2\\ 2&-4&-3-\lambda \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda&0&-4\\ -1&1-\lambda&2\\ 2&-1+\lambda&-3-\lambda \end{array}\right|
= \left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda&0&-4\\ -1&1-\lambda&2\\ 1&0&-1-\lambda \end{array}\right| =(1-\lambda)[(3-\lambda)(-1-\lambda)+4]=(1-\lambda)^3.
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_{1,2,3}=1 .
Tillhörande egenrum är lösningsmängden till systemet
\displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} , dvs
\left(\begin{array}{rrr} 2&-4&-4\\ -1&2&2\\ 2&-4&-4\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow x_1-2x_2-2x_3=0
dvs
\displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1-2x_2-2x_3=0] .
Vi väljer egenvektorerna \displaystyle t(2,1,0)^t , \displaystyle (2,0,1)^t .
Vi har fått att den algebraiska multipliciteten är 3 (3 egenvärden) och att den geometriska multipliciteten är bara 2 (2 linjärt oberoende egenvektorer).
Alltså, vi kan inte hitta en matris \displaystyle T så att \displaystyle A kan diagonaliseras.
