Tips och lösning till U 5.14
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Börja med att räkna ut vänsterledet i de två ekvationerna.
Tips 2
Du får nu ekvationssystemet \displaystyle \left\{\begin{array}{rcr}x-3y+z&=&0\\x+y+2y&=&0 \end{array}\right.
Tips 3
Lös ekvationssystemet genom att eliminera x i ekvation två. Du får sedan en parameterlösning genom att tex sätta y=t.
Lösning
Eftersom
\boldsymbol{u}\cdot ( \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{v})= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \cdot\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\right\}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} y-z \\ 2z-x \\ x-2y\end{pmatrix} =x-3y+z
och
\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} =x+y+z,
så blir ekvationssystemet
\left\{\begin{array}{rcr}\boldsymbol{u}\cdot ( \boldsymbol{x} \times\boldsymbol{v})&=&0\\\boldsymbol{u}
\cdot \boldsymbol{x} &=&0\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}x-3y+z&=&0\\x+y+2y&=&0 \end{array}\right.
Sätt \displaystyle y=t . Då är \displaystyle z=-4t och \displaystyle x=7 . Alltså är den sökta vektorn
\displaystyle \boldsymbol{x} =t \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ -4\end{pmatrix}.
