Tips och lösning till U 7.4a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Bestäm \displaystyle A^n för några heltal \displaystyle n för att "gissa" en formel.
Tips 2
En kvalificerad gissning blir dåA^{n-1}= \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix}
Tips 3
Med hjälp av induktion kan du nu visa att formeln gäller för alla n. Det viktiga induktionssteget innehåller sambandetA^n=AA^{n-1}=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^n&0\\0&2^n\end{pmatrix}
Lösning
Vi bestämmer \displaystyle A^n för några heltal \displaystyle n, dvs vi multiplicerar matrisen \displaystyle A med sig själv ett antal gånger
A^2=AA=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^2&0\\0&2^2\end{pmatrix},
A^3=AA^2= \begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^2&0\\0&2^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^3&0\\0&2^3\end{pmatrix},
Fortsätter vi med att multiplicera matrisen \displaystyle A med sig själv \displaystyle n-1 gånger så skulle vi få
A^{n-1}= \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix}
samt att
A^n=AA^{n-1}=\begin{pmatrix} 3&0\\0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^{n-1}&0\\0&2^{n-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3^n&0\\0&2^n\end{pmatrix}
Observera att raden ovan är det viktigaste steget i ett
induktionsbevis för påståendet.
