Slaskövning13 - Versionshistorik

Geoba den 3 oktober 2010 kl. 07.19

2010-10-03T07:19:41Z

← Äldre version		Versionen från 3 oktober 2010 kl. 07.19
Rad 196:		Rad 196:
	c) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.		c) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.

-	d) Låt <math>\boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t</math> och bestäm den vektor <math>\boldsymbol{w}\in W</math> som minimerar avståndet <math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \|\|</math> , dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.	+	d) Låt <math>\boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t</math> och bestäm den vektor <math>\boldsymbol{w}\in W</math> som minimerar avståndet <math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \|\|</math>, dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.

	e) Ange detta minimum.		e) Ange detta minimum.

Geoba den 3 oktober 2010 kl. 07.17

2010-10-03T07:17:44Z

← Äldre version		Versionen från 3 oktober 2010 kl. 07.17
Rad 172:		Rad 172:
	d) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.		d) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.

-	e) Låt <math> \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t </math> och bestäm den vektor <math> \boldsymbol{w}\in W </math> som minimerar avståndet	+	e) Låt <math> \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t </math> och bestäm den vektor <math> \boldsymbol{w}\in W </math> som minimerar avståndet <math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}\|\| </math>, dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.
-	<math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}\|\| </math>, dvs ligger '''närmast'''	+
-	<math> \boldsymbol{u} </math>.	+

	f) Ange detta minimum.		f) Ange detta minimum.
Rad 198:		Rad 196:
	c) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.		c) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.

-	d) Låt <math>\boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t</math> och bestäm den vektor <math>\boldsymbol{w}\in W</math> som minimerar avståndet	+	d) Låt <math>\boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t</math> och bestäm den vektor <math>\boldsymbol{w}\in W</math> som minimerar avståndet <math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \|\|</math> , dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.
-	<math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \|\|</math> , dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.	+

	e) Ange detta minimum.		e) Ange detta minimum.

Geoba den 12 september 2010 kl. 06.38

2010-09-12T06:38:46Z

← Äldre version		Versionen från 12 september 2010 kl. 06.38
Rad 208:		Rad 208:
	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.14d		\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.14d
	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.14e}}		\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.14e}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.15===
		+	Sätt
		+	<center><math>
		+	W=[(1,1,-1,-1)^t,(1,2,-1,-2)^t,(1,3,-1,-3)^t]\subset{\bf E}^4.
		+	</math></center>
		+
		+	a) Bestäm en ON-bas i <math> W </math>.
		+
		+	b) Utvidga ON-basen i a) till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+
		+	c) Dela upp <math> \boldsymbol{u}=(-1,1,1,1)^t </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W} </math>,
		+	där <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W </math> och <math> \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp} </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.15\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.15a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.15b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.15c}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.16===
		+	Vilken vektor i
		+	<center><math>
		+	[(1,1,1,-1)^t,(-1,1,3,-1)^t,(1,0,-1,0)^t]\subset{\bf E}^4
		+	</math></center>
		+	ligger närmast <math> (1,2,3,2)^t </math>?
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.16\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.16}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.17===
		+	Bestäm en ON-bas för <math> {\bf E}^4 </math>, där så många som möjligt av baselementen tillhör
		+	<center><math>
		+	W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^4:\ x_1-x_2+x_3+x_4=0,\quad x_1-x_2+2x_3+x_4=0\}.
		+	</math></center>
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.17\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.17}}

Geoba den 12 september 2010 kl. 06.36

2010-09-12T06:36:10Z

← Äldre version		Versionen från 12 september 2010 kl. 06.36
Rad 131:		Rad 131:
	Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet <math> W^{\perp} </math> till <math> W </math>.		Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet <math> W^{\perp} </math> till <math> W </math>.
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.11\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.11}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.11\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.11}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.12===
		+	Låt <math> W=[(1,1,1,1)^t,(2,0,2,0)^t]\subset{\bf E}^4 </math>.
		+
		+	a) Bestäm en ON-bas för <math> W </math>.
		+
		+	b) Utvidga ON-basen i <math> W </math> till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	c) Låt <math> \boldsymbol{u}=(0,4,4,0)^t </math>. Bestäm ortogonala projektionerna <math> P_{W}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W} </math> och
		+	<math> P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.
		+
		+	d) Bestäm avståndet från punkten <math> (0,4,4,0) </math> till <math> W </math>.
		+
		+	e) Låt <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t </math>. Bestäm ortogonala projektionen <math> P_{W}(\boldsymbol{u}) </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.12\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.12a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.12b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.12c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.12d
		+	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.12e}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.13===
		+	Låt <math> W=[(1,1,1,1)^t,(1,2,2,1)^t,(2,3,1,6)^t] </math>.
		+
		+	a) Ange en ekvation för <math> W </math>.
		+
		+	b) Bestäm först en ON-bas för <math> W </math> och utvidga sen till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	c) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t </math> i denna bas.
		+
		+	d) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.
		+
		+	e) Låt <math> \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t </math> och bestäm den vektor <math> \boldsymbol{w}\in W </math> som minimerar avståndet
		+	<math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}\|\| </math>, dvs ligger '''närmast'''
		+	<math> \boldsymbol{u} </math>.
		+
		+	f) Ange detta minimum.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.13\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.13a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.13b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.13c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.13d
		+	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.13e
		+	\|Tips och lösning till f)\|Tips och lösning till U 13.13f}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.14===
		+	Låt <math> W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4:\ x_1+2x_2-x_3+4x_4=0\} </math>.
		+
		+	a) Bestäm först en ON-bas för <math> W </math> och utvidga sen till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	b) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t </math> i denna bas.
		+
		+	c) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.
		+
		+	d) Låt <math>\boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t</math> och bestäm den vektor <math>\boldsymbol{w}\in W</math> som minimerar avståndet
		+	<math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \|\|</math> , dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.
		+
		+	e) Ange detta minimum.
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.14\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.14a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.14b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.14c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.14d
		+	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.14e}}

Geoba den 12 september 2010 kl. 06.25

2010-09-12T06:25:44Z

← Äldre version		Versionen från 12 september 2010 kl. 06.25
Rad 58:		Rad 58:
	i <math>{\bf R}^3 </math>.		i <math>{\bf R}^3 </math>.
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.6\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.6}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.6\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.6}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.7===
		+	Betrakta vektorerna <math> \boldsymbol{v}_1=(1/2,1/2,1/2,1/2)^t </math>,
		+	<math> \boldsymbol{v}_2=(1/2,1/2,-1/2,-1/2)^t </math> och <math> \boldsymbol{v}_3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2)^t </math>.
		+
		+	a) Visa att vektorerna utgör en ON-mängd i <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	b) Bestäm en ekvation för det underrum som spänns upp av vektorerna
		+	ovan.
		+
		+	c) Fyll ut mängden till en ON-bas i <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	d) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(1,0,0,2)^t </math> i basen Du har valt
		+	i c).
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.7\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.7a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.7b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.7c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.7d}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.8===
		+	Bestäm talen <math> a </math>, <math> b </math> och <math> c </math>, så att
		+
		+	a) Vektorerna <math> \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{7}(2,3,6)^t </math>,
		+	<math> \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{7}(6,2,a)^t </math> och
		+	<math> \boldsymbol{v}_3=\frac{1}{7}(b,c,2)^t </math> bildar en
		+	ON-bas för <math> {\bf E}^3 </math>.
		+
		+	b) Matrisen
		+	<center><math>
		+	\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix}
		+	</math></center>
		+	blir ortogonal. (Se Definition 6.36.)
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.8\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.8a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.8b}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.9===
		+	Bestäm en ON-bas för underrummet <math> W=[(2,1,0,1)^t,(4,-5,1,3)^t]\subset{\bf R}^4 </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.9\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.9}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.10===
		+	Låt
		+	<center><math>
		+	W=[(1,2,1,-1)^t,(1,0,1,0)^t]\subset{\bf E}^4.
		+	</math></center>
		+	Dela upp <math> \boldsymbol{u}=(1,1,1,1)^t </math> i en summa av två vektorer där den ena ligger i <math> W </math>
		+	och den andra är ortogonal mot <math> W </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.10\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.10}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.11===
		+	Låt
		+	<center><math>
		+	W=[(1,2,0,0,0)^t,(1,0,3,0,0)^t]\subset{\bf E}^5.
		+	</math></center>
		+	Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet <math> W^{\perp} </math> till <math> W </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.11\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.11}}

Geoba den 12 september 2010 kl. 06.14

2010-09-12T06:14:30Z

← Äldre version		Versionen från 12 september 2010 kl. 06.14
Rad 19:		Rad 19:
	har hörn i punkterna <math> (2,4,2,4,2) </math>, <math> (6,4,4,4,6) </math> och <math> (5,7,5,7,2) </math>.		har hörn i punkterna <math> (2,4,2,4,2) </math>, <math> (6,4,4,4,6) </math> och <math> (5,7,5,7,2) </math>.
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.3\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.3}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.3\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.3}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.4===
		+	Ange reella tal <math> a </math> och <math> b </math> så att
		+	<center><math>
		+	\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+3x_1y_2+ax_2y_1+bx_2y_2
		+	</math></center>
		+	blir en skalärprodukt i <math> {\bf R}^2 </math>, där <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2)^t </math> och
		+	<math> \boldsymbol{v}=(y_1,y_2)^t </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.4\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.4}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.5===
		+	I <math> {\bf R}^3 </math> införs skalärprodukten
		+	<center><math>
		+	\varphi(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=x_1y_1+2x_2y_2+11x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-x_1y_3-x_3y_1+2x_2y_3+2x_3y_2,
		+	</math></center>
		+	där <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t </math> och <math> \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3)^t </math>. Bestäm längden av vektorn <math> (1,-2,1)^t </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.5\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.5}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.6===
		+	För vilka värden på <math> a </math> är vektorerna <math> (a,1,1)^t </math> och <math> (a,1,a)^t </math> ortogonala med avseende på skalärprodukten
		+	<center><math>
		+	\varphi( \boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} )=x_1y_1+2x_2y_2+3x_3y_3
		+	</math></center>
		+	i <math>{\bf R}^3 </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.6\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.6}}

Geoba den 12 september 2010 kl. 06.02

2010-09-12T06:02:08Z

← Äldre version		Versionen från 12 september 2010 kl. 06.02
Rad 4:		Rad 4:
	<math> \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 </math> blir ortogonal mot <math> \boldsymbol{f}_1 </math>.		<math> \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 </math> blir ortogonal mot <math> \boldsymbol{f}_1 </math>.
	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.1\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.1}}		</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.1\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.1}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.2===
		+	Bestäm ''vinkeln'' mellan <math> \boldsymbol{f}_1=(1,2,3,1,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(1,2,1,-1,1)^t </math> i <math> {\bf R}^5 </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.2\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.2}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.3===
		+	Beräkna sidlängder och vinklar i den triangel i <math> {\bf R}^5 </math> som
		+	har hörn i punkterna <math> (2,4,2,4,2) </math>, <math> (6,4,4,4,6) </math> och <math> (5,7,5,7,2) </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.3\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.3}}

Geoba: Ny sida:
===Övning 13.1=== Låt $\boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t$ och $\boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t$ vara två vektorer i ${\bf R}^4$ . Best...

2010-09-12T06:00:22Z

Ny sida: <div class="ovning"> ===Övning 13.1=== Låt <math> \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t </math> vara två vektorer i <math> {\bf R}^4 </math>. Best...

Ny sida

<div class="ovning">
===Övning 13.1===
Låt <math> \boldsymbol{f}_1=(2,1,2,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{f}_2=(2,5,1,4)^t </math> vara två vektorer i <math> {\bf R}^4 </math>. Bestäm talet <math> \lambda </math> så att vektorn
<math> \lambda\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{f}_2 </math> blir ortogonal mot <math> \boldsymbol{f}_1 </math>.
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 13.1|Tips och lösning|Tips och lösning till U 13.1}}