12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess - Versionshistorik

Geoba den 12 september 2011 kl. 14.33

Geoba — Mon, 12 Sep 2011 14:33:27 GMT

← Äldre version		Versionen från 12 september 2011 kl. 14.33
Rad 9:		Rad 9:

	Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/0/02/Kap12_2.pdf 12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess].		Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/0/02/Kap12_2.pdf 12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess].
-
-	Du har nu läst om Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Geoba den 12 september 2011 kl. 13.38

Geoba — Mon, 12 Sep 2011 13:38:18 GMT

← Äldre version		Versionen från 12 september 2011 kl. 13.38
Rad 16:		Rad 16:

	<imagemap>		<imagemap>
-	Bild:GramSchmidt.png\|~~400px~~\|alt=Alt text	+	Bild:GramSchmidt.png\|450px\|alt=Alt text
	default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/GramSchmidt.jnlp Du kan visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess]		default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/GramSchmidt.jnlp Du kan visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess]
	</imagemap>		</imagemap>

Geoba den 12 september 2011 kl. 13.38

Geoba — Mon, 12 Sep 2011 13:38:05 GMT

← Äldre version		Versionen från 12 september 2011 kl. 13.38
Rad 16:		Rad 16:

	<imagemap>		<imagemap>
-	Bild:GramSchmidt.png\|~~350px~~\|alt=Alt text	+	Bild:GramSchmidt.png\|400px\|alt=Alt text
	default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/GramSchmidt.jnlp Du kan visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess]		default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/GramSchmidt.jnlp Du kan visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess]
	</imagemap>		</imagemap>

Geoba den 12 september 2011 kl. 13.37

Geoba — Mon, 12 Sep 2011 13:37:37 GMT

← Äldre version		Versionen från 12 september 2011 kl. 13.37
Rad 11:		Rad 11:

	Du har nu läst om Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.		Du har nu läst om Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
		+
		+
		+	'''''Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess genom att klicka på bilden.'''''
		+
		+	<imagemap>
		+	Bild:GramSchmidt.png\|350px\|alt=Alt text
		+	default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/GramSchmidt.jnlp Du kan visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess]
		+	</imagemap>
		+
		+

	__TOC__		__TOC__

Geoba den 16 november 2010 kl. 16.25

Geoba — Tue, 16 Nov 2010 16:25:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 november 2010 kl. 16.25
Rad 12:		Rad 12:
	Du har nu läst om Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.		Du har nu läst om Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

-		+	__TOC__
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	===Övning 13.9===		===Övning 13.9===

Geoba den 16 november 2010 kl. 15.41

Geoba — Tue, 16 Nov 2010 15:41:25 GMT

← Äldre version		Versionen från 16 november 2010 kl. 15.41
Rad 13:		Rad 13:


-	===Övning 13.2===	+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.9===
		+	Bestäm en ON-bas för underrummet <math> W=[(2,1,0,1)^t,(4,-5,1,3)^t]\subset{\bf R}^4 </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.9\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.9}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.10===
		+	Låt
		+	<center><math>
		+	W=[(1,2,1,-1)^t,(1,0,1,0)^t]\subset{\bf E}^4.
		+	</math></center>
		+	Dela upp <math> \boldsymbol{u}=(1,1,1,1)^t </math> i en summa av två vektorer där den ena ligger i <math> W </math>
		+	och den andra är ortogonal mot <math> W </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.10\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.10}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.11===
		+	Låt
		+	<center><math>
		+	W=[(1,2,0,0,0)^t,(1,0,3,0,0)^t]\subset{\bf E}^5.
		+	</math></center>
		+	Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet <math> W^{\perp} </math> till <math> W </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.11\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.11}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.12===
		+	Låt <math> W=[(1,1,1,1)^t,(2,0,2,0)^t]\subset{\bf E}^4 </math>.
		+
		+	a) Bestäm en ON-bas för <math> W </math>.
		+
		+	b) Utvidga ON-basen i <math> W </math> till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	c) Låt <math> \boldsymbol{u}=(0,4,4,0)^t </math>. Bestäm ortogonala projektionerna <math> P_{W}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W} </math> och
		+	<math> P_{W^\perp}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.
		+
		+	d) Bestäm avståndet från punkten <math> (0,4,4,0) </math> till <math> W </math>.
		+
		+	e) Låt <math> \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t </math>. Bestäm ortogonala projektionen <math> P_{W}(\boldsymbol{u}) </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.12\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.12a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.12b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.12c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.12d
		+	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.12e}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.13===
		+	Låt <math> W=[(1,1,1,1)^t,(1,2,2,1)^t,(2,3,1,6)^t] </math>.
		+
		+	a) Ange en ekvation för <math> W </math>.
		+
		+	b) Bestäm först en ON-bas för <math> W </math> och utvidga sen till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	c) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t </math> i denna bas.
		+
		+	d) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.
		+
		+	e) Låt <math> \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t </math> och bestäm den vektor <math> \boldsymbol{w}\in W </math> som minimerar avståndet <math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w}\|\| </math>, dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.
		+
		+	f) Ange detta minimum.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.13\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.13a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.13b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.13c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.13d
		+	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.13e
		+	\|Tips och lösning till f)\|Tips och lösning till U 13.13f}}
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.14===
		+	Låt <math> W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4:\ x_1+2x_2-x_3+4x_4=0\} </math>.
		+
		+	a) Bestäm först en ON-bas för <math> W </math> och utvidga sen till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+	b) Bestäm koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t </math> i denna bas.
		+
		+	c) Dela upp <math> \boldsymbol{u} </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} </math>.
		+
		+	d) Låt <math>\boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t</math> och bestäm den vektor <math>\boldsymbol{w}\in W</math> som minimerar avståndet <math> \|\|\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \|\|</math>, dvs ligger '''närmast''' <math> \boldsymbol{u} </math>.
		+
		+	e) Ange detta minimum.
		+
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.14\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.14a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.14b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.14c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 13.14d
		+	\|Tips och lösning till e)\|Tips och lösning till U 13.14e}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.15===
		+	Sätt
		+	<center><math>
		+	W=[(1,1,-1,-1)^t,(1,2,-1,-2)^t,(1,3,-1,-3)^t]\subset{\bf E}^4.
		+	</math></center>
		+
		+	a) Bestäm en ON-bas i <math> W </math>.
		+
		+	b) Utvidga ON-basen i a) till en ON-bas för hela <math> {\bf E}^4 </math>.
		+
		+
		+	c) Dela upp <math> \boldsymbol{u}=(-1,1,1,1)^t </math> i <math> \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W} </math>,
		+	där <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W </math> och <math> \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp} </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.15\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 13.15a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 13.15b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 13.15c}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.16===
		+	Vilken vektor i
		+	<center><math>
		+	[(1,1,1,-1)^t,(-1,1,3,-1)^t,(1,0,-1,0)^t]\subset{\bf E}^4
		+	</math></center>
		+	ligger närmast <math> (1,2,3,2)^t </math>?
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.16\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.16}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 13.17===
		+	Bestäm en ON-bas för <math> {\bf E}^4 </math>, där så många som möjligt av baselementen tillhör
		+	<center><math>
		+	W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^4:\ x_1-x_2+x_3+x_4=0,\quad x_1-x_2+2x_3+x_4=0\}.
		+	</math></center>
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 13.17\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 13.17}}

Geoba den 27 september 2010 kl. 08.50

Geoba — Mon, 27 Sep 2010 08:50:14 GMT

← Äldre version		Versionen från 27 september 2010 kl. 08.50
Rad 8:		Rad 8:


-	Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/~~Kap4_1~~.pdf 4.~~1 Definition av vektorprodukt~~].	+	Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/0/02/Kap12_2.pdf 12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess].

-	Du har nu läst ~~definitionen av determinanter av ordning 2 och 3~~ och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.	+	Du har nu läst om Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


	===Övning 13.2===		===Övning 13.2===

Geoba: Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Ej vald flik|[[12.1 Definition av euklidiska rum...

Geoba — Thu, 09 Sep 2010 15:16:14 GMT

Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Ej vald flik|[[12.1 Definition av euklidiska rum...

Ny sida

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Mall:Ej vald flik|[[12.1 Definition av euklidiska rum|12.1]]}}
{{Mall:Vald flik|[[12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess|12.2]]}}
{{Mall:Ej vald flik|[[12.3 Tillämpningar|12.3]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/Kap4_1.pdf 4.1 Definition av vektorprodukt].

Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

===Övning 13.2===