18.1 Egenvärden och egenvektorer - Versionshistorik

Geoba den 7 december 2010 kl. 15.02

Geoba — Tue, 07 Dec 2010 15:02:04 GMT

← Äldre version		Versionen från 7 december 2010 kl. 15.02
Rad 12:		Rad 12:


-	===Övning 18.1===	+	__TOC__
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.1===
		+	Låt <math> O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 </math> vara ett ON-system i rummet.
		+	Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver
		+
		+	a) ortogonal projektion i planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math>
		+
		+	b) spegling i planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math>
		+
		+	c) vridning <math> \pi/2 </math> kring <math> \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 </math>
		+
		+	d) vridning <math> \pi </math> kring <math> \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 </math>
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.1\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 22.1a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 22.1b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 22.1c
		+	\|Tips och lösning till d)\|Tips och lösning till U 22.1d}}
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.2===
		+	Låt <math> F </math> vara en linjär avbildning på rummet med matrisen
		+	<math> A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) </math>.
		+
		+	a) Visa att <math>\lambda_1=1 </math> är ett egenvärde med tillhörande egenvektor
		+	<math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math> till <math> F </math>.
		+
		+	b) Visa att <math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) </math> är
		+	en egenvektor till <math> F </math>. Bestäm tillhörande egenvärde <math>\lambda_2 </math>.
		+
		+	c) Visa att <math>\lambda_3=2 </math> är ett egenvärde till <math> F </math> och bestäm tillhörande egenvektor <math>\boldsymbol{v}_3 </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.2\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 22.2a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 22.2b
		+	\|Tips och lösning till c)\|Tips och lösning till U 22.2c}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.3===
		+	Antag att <math> F </math> är en linjär avbildning i rummet som har matrisen
		+	<center><math>
		+	\left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right).
		+	</math></center>
		+
		+	a) Bestäm egenvärdena till <math> F </math>.
		+
		+	b) Bestäm egenrummen till <math> F </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.3\|Tips och lösning till a)\|Tips och lösning till U 22.3a
		+	\|Tips och lösning till b)\|Tips och lösning till U 22.3b}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.4===
		+	Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math> av egenvektorer till matrisen
		+	<center><math>
		+	\left(\begin{array}{rrr} 9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right).
		+	</math></center>
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.4\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 22.4}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.5===
		+	Avbildningen <math> F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} </math> ges i
		+	basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math>
		+	av matrisen <math> \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) </math>.
		+
		+	Bestäm en bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.5\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 22.5}}
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.6===
		+	Låt <math> \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> vara en bas för rummet. En linjär avbildning <math> F </math> på rummet ges av
		+	<center><math>
		+	F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
		+	F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad
		+	F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.
		+	</math></center>
		+	Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till <math> F </math>.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.5\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 22.5}}
		+
		+
		+
		+
		+	<div class="ovning">
		+	===Övning 22.7===
		+	Avbildningen <math> F </math> ges i plan ON-bas
		+	<math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av matrisen
		+	<math> \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) </math>.
		+	Bestäm egenvärden och egenvektorer till <math> F </math>. Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer?
		+	Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm <math> F </math>:s matris i denna bas.
		+	</div>{{#NAVCONTENT:Svar\|Svar till U 22.7\|Tips och lösning\|Tips och lösning till U 22.7}}

Geoba den 4 oktober 2010 kl. 09.07

Geoba — Mon, 04 Oct 2010 09:07:39 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 oktober 2010 kl. 09.07
Rad 9:		Rad 9:
	Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/3b/Kap18_1.pdf 18.1 Egenvärden och egenvektorer].		Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/3b/Kap18_1.pdf 18.1 Egenvärden och egenvektorer].

-	Du har nu läst definitionen av determinanter av ~~ordning 2~~ och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.	+	Du har nu läst definitionen av determinanter av egenvärden och egenvektorer och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


	===Övning 18.1===		===Övning 18.1===

Geoba den 4 oktober 2010 kl. 09.05

Geoba — Mon, 04 Oct 2010 09:05:19 GMT

← Äldre version		Versionen från 4 oktober 2010 kl. 09.05
Rad 7:		Rad 7:


-	Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/~~Kap4_1~~.pdf 4.1 ~~Definition av vektorprodukt~~].	+	Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/3/3b/Kap18_1.pdf 18.1 Egenvärden och egenvektorer].

	Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.		Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Geoba: Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Vald flik|[[18.1 Egenvärden och egenvektorer|18...

Geoba — Tue, 14 Sep 2010 12:00:04 GMT

Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[18.1 Egenvärden och egenvektorer|18...

Ny sida

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Mall:Vald flik|[[18.1 Egenvärden och egenvektorer|18.1]]}}
{{Mall:Ej vald flik|[[18.2 Diagonalisering|18.2]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/Kap4_1.pdf 4.1 Definition av vektorprodukt].

Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

===Övning 18.1===