1.2. Bråkräkning - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Blandade uttryck */

2007-07-17T09:06:30Z

Blandade uttryck

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.06
Rad 347:		Rad 347:
	Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.		Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.
	</div>		</div>
		+
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Blandade uttryck */

2007-07-16T12:34:07Z

Blandade uttryck

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Division */

2007-07-16T12:32:46Z

Division

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.32
Rad 246:		Rad 246:
	'''Exempel 10'''		'''Exempel 10'''

-	$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} =	+	$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} \; = \;
-	\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} =	+	\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} \; = \;
-	\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} =	+	\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} \; = \;
	\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}$		\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}$
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Blandade uttryck */

2007-07-16T12:27:24Z

Blandade uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.27
Rad 311:		Rad 311:
	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}		= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}
	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}		= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}
-	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}	+	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}$ <br\>
-	= \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)	+	$= \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)
	= -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}		= -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}
	= -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}		= -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Blandade uttryck */

2007-07-16T12:24:38Z

Blandade uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.24
Rad 333:		Rad 333:
	\displaystyle \frac{24}{81}=		\displaystyle \frac{24}{81}=
	\displaystyle \frac{8}{27}$		\displaystyle \frac{8}{27}$
-
	</ol>		</ol>
-
	</div>		</div>

-	[[1.2 Övningar\|Övningar]]


	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">
-	'''Råd för inläsning'''
-
-	'''Grund- och slutprov'''
-
-	Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
-
-
	'''Tänk på att:'''		'''Tänk på att:'''

Rad 356:		Rad 346:

	Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.		Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.
-
-
-	'''Lästips'''
-
-	för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
-
-	[http://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics) Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia ]
-
-	[http://www.fritext.se/matte/brak/brak.html Bråkräkning - Fri text ]
-
-
-	'''Länktips'''
-
-	[http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Experimentera interaktivt med bråk ]
-
-	[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex13_brakaddition/Ex13Applet.html Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk. ]
	</div>		</div>
-
-
-	<!-- slut teori -->
-	<!--ej wiki</div></td>-->
-	<td valign="top">
-
-
-	</td><!--ej i wiki</tr></table>-->

KTH.SE:u1zpa8nw den 16 juli 2007 kl. 12.22

2007-07-16T12:22:52Z

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.22
Rad 15:		Rad 15:
	*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).		*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).
	</div>		</div>
-
	</td>		</td>
	<td>		<td>
-
-
	</td></tr>		</td></tr>
	<tr><td width=600>		<tr><td width=600>

KTH.SE:u1zpa8nw den 16 juli 2007 kl. 12.22

2007-07-16T12:22:42Z

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.22
Rad 15:		Rad 15:
	*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).		*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).
	</div>		</div>
-
-	[[1.2 Övningar\|Övningar]]

	</td>		</td>

KTH.SE:u1zpa8nw: Ny sida: NOTOC

'''Innehåll:''' * Addition och subtraktion av bråktal * Multiplikation och division av bråktal

2007-07-16T12:22:33Z

Ny sida: NOTOC <table><tr><td width="600"> <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' * Addition och subtraktion av bråktal * Multiplikation och division av bråktal </div> <div class="inforuta"...

Ny sida
NOTOC
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
* Addition och subtraktion av bråktal
* Multiplikation och division av bråktal
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''
<br>Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
Beräkna uttryck som innehåller bråktal, de fyra räknesätten och parenteser.
Förkorta bråk så långt som möjligt.
*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).
</div>

[[1.2 Övningar|Övningar]]

</td>
<td>

</td></tr>
<tr><td width=600>


=Teori=
==Förlängning och förkortning==

Ett rationellt tal kan skrivas på många sätt, beroende på
vilken nämnare man väljer att använda. Exempelvis har vi att

$$
0{,}25=\displaystyle \frac{25}{100}=\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{8}=\displaystyle \frac{3}{12}=\displaystyle \frac{4}{16}\quad\textrm{o.s.v.} $$

Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller
dividerar täljare och nämnare med samma tal. Dessa operationer kallas
<i>förlängning</i> respektive <i>förkortning</i>.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Förlängning:
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\displaystyle \frac{10}{15}$
<li>$\displaystyle \frac{5}{7}=\displaystyle \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4}=\displaystyle \frac{20}{28}$
</ol>

Förkortning:

<ol type="a" start=3>
<li>$\displaystyle \frac{9}{12}=\displaystyle \frac{9/3}{12/3}=\displaystyle \frac{3}{4}$
<li>$\displaystyle \frac{72}{108}=\displaystyle \frac{72/2}{108/2}=\displaystyle \frac{36}{54}=\displaystyle \frac{36/6}{54/6}=\displaystyle \frac{6}{9}=\displaystyle \frac{6/3}{9/3}=\displaystyle \frac{2}{3}$
</ol>
</div>

Man bör alltid ange ett bråk förkortat så långt som möjligt.
Detta kan vara arbetsamt när stora tal är inblandade, varför man redan under
en pågående uträkning bör försöka hålla bråk i
så förkortad form som möjligt.

==Addition och subtraktion av bråk==

Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare.
Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk
med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{5}+\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}+\displaystyle \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\displaystyle \frac{9}{15}+\displaystyle \frac{10}{15}=\displaystyle \frac{9+10}{15}=\displaystyle \frac{19}{15} $<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{5}{6}-\displaystyle \frac{2}{9}=\displaystyle \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}-\displaystyle \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2}=\displaystyle \frac{15}{18}-\displaystyle \frac{4}{18}=\displaystyle \frac{15-4}{18}=\displaystyle \frac{11}{18}$
</ol>
</div>

Det viktiga är här att åstadkomma en gemensam nämnare, men man bör
sträva efter att hitta en så låg gemensam nämnare som möjligt.
Idealet är att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN).
Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade
nämnarna med varandra. Detta är dock inte alltid nödvändigt.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{7}{15}-\displaystyle \frac{1}{12}=
\displaystyle \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12}-\displaystyle \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}
$<br><br>

$=\displaystyle \frac{84}{180}-\displaystyle \frac{15}{180}
=\displaystyle \frac{69}{180}
=\displaystyle \frac{69/3}{180/3}
=\displaystyle \frac{23}{60}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{7}{15}-\displaystyle \frac{1}{12}
=\displaystyle \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}-\displaystyle \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5}
$<br><br>

$=\displaystyle \frac{28}{60}-\displaystyle \frac{5}{60}=\displaystyle \frac{23}{60}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{3}{4}-\displaystyle \frac{1}{6}=
\displaystyle \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6}+\displaystyle \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6}-\displaystyle \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}
$<br><br>

$=\displaystyle \frac{24}{192}+\displaystyle \frac{144}{192}-\displaystyle \frac{32}{192}
=\displaystyle \frac{136}{192}
=\displaystyle \frac{136/8}{192/8}
=\displaystyle \frac{17}{24}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{3}{4}-\displaystyle \frac{1}{6}=
\displaystyle \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3}+\displaystyle \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6}-\displaystyle \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4}
=\displaystyle \frac{3}{24}+\displaystyle \frac{18}{24}-\displaystyle \frac{4}{24}
=\displaystyle \frac{17}{24}$
</ol>
</div>

Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om
nämnarna är av rimlig storlek. Att allmänt bestämma den minsta gemensamma
nämnaren kräver att man studerar vilka primtal som ingår som faktorer i
respektive nämnare.

<div class="exempel">

'''Exempel 4'''
<ol type="a">
<li>Beräkna $\displaystyle\ \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42}$.<br/><br/>

Delar vi upp 60 och 42 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 42 genom att multiplicera ihop deras faktorer men undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt
$$\left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\mbox{.}$$

Vi kan då skriva
$$\frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42} =\frac{1\cdot 7}{60\cdot 7}+\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5}
=\frac{7}{420}+\displaystyle \frac{10}{420}=\frac{17}{420}$$
</li>

<li>Beräkna $\displaystyle\ \frac{2}{15}+\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{5}{18}$.<br/><br/>

Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 15, 6 och 18
$$\left.\eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\mbox{.}$$

Vi kan då skriva
$$\frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5}-\frac{5\cdot 5}{18\cdot 5}=\frac{12}{90}+\frac{15}{90}-\frac{25}{90}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$$
</li>
</ol>
</div>

==Multiplikation==
När ett bråk multipliceras med ett heltal, multipliceras endast täljaren
med heltalet. Det är uppenbart att om t.ex. $ \displaystyle \frac{1}{3} $ 
multipliceras med 2 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{2}{3}$, dvs.

$$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2=\displaystyle \frac{1\cdot 2}{3}=\displaystyle \frac{2}{3}$$

Om två bråk multipliceras med varandra, multipliceras täljarna med varandra
och nämnarna med varandra.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<ol type="a">
<li>$8\cdot \displaystyle \frac{3}{7}=\displaystyle \frac{8\cdot 3}{7} = \displaystyle \frac{24}{7}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{1}{5}=\displaystyle \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \displaystyle \frac{2}{15}$
</ol>
</div>

Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är
möjligt att förkorta bråket. Detta utförs genom att <i>stryka</i> eventuella
gemensamma faktorer i täljare och nämnare.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Jämför uträkningarna:
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \displaystyle \frac{6}{15} = \displaystyle \frac{6/3}{15/3} = \displaystyle \frac{2}{5}$ <br><br>

<li>$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \displaystyle \frac{2}{5}$
</ol>
</div>

Att stryka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med 3 i ett tidigare skede.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7}= \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1}= \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21}
=\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7}
=\frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}}
=\frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3}
= \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}
=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 3}
=\frac{8}{9}$
</ol>
</div>

==Division==

Om $ \displaystyle \frac{1}{4} $  delas i 2 så blir svaret $ \displaystyle \frac{1}{8} $.

Om $ \displaystyle \frac{1}{2} $  delas i 5 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{1}{10} $
.
Vi har alltså att

$$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \displaystyle \frac{1}{4\cdot 2} = \displaystyle \frac{1}{8} \qquad \mbox{ och } \qquad
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \displaystyle \frac{1}{2\cdot 5} = \displaystyle \frac{1}{10}$$

När ett bråk divideras med ett heltal, multipliceras alltså nämnaren med heltalet.

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 =\displaystyle \frac{3}{5\cdot 4} = \displaystyle \frac{3}{20}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 =\displaystyle \frac{^2\not{6}}{7\cdot \not{3}} =\displaystyle \frac{2}{7}$
</ol>
</div>

När ett tal divideras med ett bråk, multipliceras talet med bråket inverterat
("uppochnervänt"). Att t.ex. dividera med  $ \displaystyle \frac{1}{2} $  är ju
samma sak som att multiplicera med  $ \displaystyle \frac{2}{1} $  dvs. 2.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} =3\cdot \displaystyle \frac{2}{1} =\displaystyle \frac{3\cdot 2}{1}= 6$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} =5\cdot \displaystyle \frac{7}{3} =\displaystyle \frac{5\cdot 7}{3} =\displaystyle \frac{35}{3}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} =\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{8}{5} =\displaystyle \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} =\displaystyle \frac{16}{15}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} =
\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \displaystyle \frac{10}{9}=
\displaystyle \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}}\cdot \displaystyle \frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} =
\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3} =
\displaystyle \frac{5}{6}$
</ol>

</div>

Hur kan bråkdivision förvandlas till multiplikation?
Förklaringen är att om ett bråk multipliceras med sitt
inverterade bråk blir produkten alltid 1, t.ex.

$$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{3}{2} = \displaystyle \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot \displaystyle \frac{\not{3}}{\not{2}} = 1
\qquad \mbox{eller} \qquad
\displaystyle \frac{9}{17}\cdot \displaystyle \frac{17}{9}= \displaystyle \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot \displaystyle \frac{\not{17}}{\not{9}} = 1$$

Om man i en bråkdivision förlänger täljare och nämnare
med nämnarens inverterade bråk, får man alltid 1 i nämnaren
och resultatet blir täljaren multiplicerad med den ursprungliga
nämnarens inverterade bråk.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} =
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} =
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} =
\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}$
</div>

==Bråk som andelar==
Rationella tal är alltså tal som kan skrivas i bråkform, omvandlas
till decimalform, eller markeras på en tallinje. I vårt vardagliga
språkbruk används också bråk när man beskriver andelar
av något. Här nedan ges några exempel. Lägg märke till
hur vi använder ordet "<i>av</i>", vilket kan betyda såväl
multiplikation som division.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
<ol type="a">
<li>Olle satsade 20 kr och Stina 50 kr.
<br>Olles andel är  $ \displaystyle \frac{20}{50 + 20} =\displaystyle \frac{20}{70} = \displaystyle \frac{2}{7} $ och han bör alltså få   $\displaystyle \frac{2}{7}$ av vinsten.<br><br>

<li>Hur stor del utgör 45 kr av 100 kr? <br><br>
'''Svar:''' 45 kr är  $ \displaystyle \frac{45}{100}=\displaystyle \frac{9}{20} $  av 100 kr. <br><br>

<li>Hur stor del utgör $ \displaystyle \frac{1}{3}$ liter av $\displaystyle\frac{1}{2}$ liter? <br><br>
'''Svar:''' $ \displaystyle \frac{1}{3}$ liter är
$\displaystyle \frac{\displaystyle
\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}}= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot\displaystyle \frac{2}{1}=\displaystyle
\frac{2}{3} $  av  $ \displaystyle \frac{1}{2}$ liter.<br><br>

<li>Hur mycket är  $\displaystyle \frac{5}{8} $  av 1000? <br><br>
'''Svar:''' $\displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000=\displaystyle \frac{5000}{8}=625$<br><br>

<li>Hur mycket är  $\displaystyle \frac{2}{3}$  av  $\displaystyle
\frac{6}{7}$ ? <br><br>
'''Svar:''' $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{6}{7} = \displaystyle \frac{2}{\not{3}} \cdot \displaystyle \frac{2 \cdot \not{3}}{7} =\displaystyle \frac{2 \cdot 2}{7}=\displaystyle \frac{4}{7}$
</ol>
</div>

==Blandade uttryck==
När bråk förekommer i räkneuttryck gäller naturligtvis metoderna
för de fyra räknesätten som vanligt, samt prioriteringsreglerna (multiplikation/division
före addition/subtraktion). Kom också ihåg att täljare och nämnare i
ett divisionsuttryck beräknas var för sig innan divisionen utförs ("osynliga parenteser").

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''
<ol type="a">

<li>$ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{3}{4}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}+\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12}+\displaystyle \frac{9}{12}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}}=
1\cdot\displaystyle \frac{12}{17}=
\displaystyle \frac{12}{17}$<br><br>

<li>$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\displaystyle \frac{1}{6}}
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}+\displaystyle \frac{1}{6}}
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{8}{6}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}}
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}}
=\displaystyle \frac{7}{\not{6}}\cdot\displaystyle \frac{\not{6}}{9}
=\displaystyle \frac{7}{9}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}
= \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)
= -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}
= -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}
=-\displaystyle \frac{9}{5}$<br><br>

<li>$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5}
\cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}/\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}}=
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}-\frac{3\cdot1}{5\cdot3}
}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{5}{1}-\displaystyle\frac{
\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}}
=
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle
\frac{10}{3}-\displaystyle
\frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}}=$
  $ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{5}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3}+
\displaystyle \frac{1}{24}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\displaystyle \frac{1}{24}}=
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}}=
\displaystyle \frac{24}{81}=
\displaystyle \frac{8}{27}$

</ol>

</div>

[[1.2 Övningar|Övningar]]

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Grund- och slutprov'''

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

'''Tänk på att:'''

Sträva alltid efter att skriva ett uttryck i enklast möjliga form. Vad som är "enklast" beror dock oftast på sammanhanget.

Det är viktigt att du verkligen behärskar bråkräkning. Att du kan hitta en gemensam nämnare, förkorta och förlänga etc. Principerna är nämligen grundläggande när man ska räkna med rationella uttryck som innehåller variabler och för att du ska kunna hantera andra matematiska uttryck och operationer.

Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.

'''Lästips'''

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

[http://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics) Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia ]

[http://www.fritext.se/matte/brak/brak.html Bråkräkning - Fri text ]

'''Länktips'''

[http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Experimentera interaktivt med bråk ]

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex13_brakaddition/Ex13Applet.html Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk. ]
</div>



<td valign="top">

</td>

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.34
Rad 294:		Rad 294:
	<ol type="a">		<ol type="a">

-	<li>$ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{3}{4}}=	+	<li>$ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{3}{4}}\; = \;
-	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}+\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}=	+	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}+\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}\; = \;
-	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12}+\displaystyle \frac{9}{12}}=	+	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12}+\displaystyle \frac{9}{12}}\; = \;
-	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}}=	+	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}}\; = \;
-	1\cdot\displaystyle \frac{12}{17}=	+	1\cdot\displaystyle \frac{12}{17}\; = \;
	\displaystyle \frac{12}{17}$<br><br>		\displaystyle \frac{12}{17}$<br><br>

	<li>$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\displaystyle \frac{1}{6}}		<li>$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\displaystyle \frac{1}{6}}
-	=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}+\displaystyle \frac{1}{6}}	+	\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}+\displaystyle \frac{1}{6}}
-	=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{8}{6}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}}	+	\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{8}{6}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}}
-	=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}}	+	\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}}
-	=\displaystyle \frac{7}{\not{6}}\cdot\displaystyle \frac{\not{6}}{9}	+	\; = \; \displaystyle \frac{7}{\not{6}}\cdot\displaystyle \frac{\not{6}}{9}
-	=\displaystyle \frac{7}{9}$<br><br>	+	\; = \; \displaystyle \frac{7}{9}$<br><br>

	<li>$\displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2}		<li>$\displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2}
-	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}	+	\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}
-	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}	+	\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}
-	= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}$ <br\>	+	\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}$ <br\>
-	$= \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)	+	$\; = \; \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)
-	= -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}	+	\; = \; -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}
-	= -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}	+	\; = \; -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}
-	=-\displaystyle \frac{9}{5}$<br><br>	+	\; = \; -\displaystyle \frac{9}{5}$<br><br>

	<li>$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5}		<li>$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5}
	\cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}/\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{		\cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}/\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{
-	\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}}=	+	\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}}\; = \;
	\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}-\frac{3\cdot1}{5\cdot3}		\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}-\frac{3\cdot1}{5\cdot3}
	}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{5}{1}-\displaystyle\frac{		}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{5}{1}-\displaystyle\frac{
	\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}}		\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}}
-	=	+	\; = \;
	\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle		\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle
	\frac{10}{3}-\displaystyle		\frac{10}{3}-\displaystyle
-	\frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}}=$	+	\frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}}\; = \; $
	$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{5}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3}+		$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{5}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3}+
-	\displaystyle \frac{1}{24}}=	+	\displaystyle \frac{1}{24}}\; = \;
-	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\displaystyle \frac{1}{24}}=	+	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\displaystyle \frac{1}{24}}\; = \;
-	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}}=	+	\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}}\; = \;
-	\displaystyle \frac{24}{81}=	+	\displaystyle \frac{24}{81}\; = \;
	\displaystyle \frac{8}{27}$		\displaystyle \frac{8}{27}$
	</ol>		</ol>