2.2. Linjära uttryck - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Områden i koordinatsystem */

2007-07-17T07:18:48Z

Områden i koordinatsystem

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.18
Rad 293:		Rad 293:
	$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.		$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.

-	För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-koordinaten måste ligga ovanför linjerna	+	För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-<br>
-	$y=-x \mbox{ och } y=x$. Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.	+	koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$. <br>
		+	Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.

	Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$		Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räta linjer */

2007-07-17T07:16:59Z

Räta linjer

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.16
Rad 197:		Rad 197:
	Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se <br>		Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se <br>
	(t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ <br>		(t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ <br>
-	som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.	+	som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.

	[[Bild:t_3_1_7a.gif\|center]]		[[Bild:t_3_1_7a.gif\|center]]

	Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led <br>		Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led <br>
-	motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, <br>	+	motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, <br>
	och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ <br>		och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ <br>
	steg i $y$-led.		steg i $y$-led.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räta linjer */

2007-07-16T15:01:46Z

Räta linjer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 15.01
Rad 195:		Rad 195:
	</div>		</div>

-	Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.	+	Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se <br>
		+	(t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ <br>
		+	som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.

	[[Bild:t_3_1_7a.gif\|center]]		[[Bild:t_3_1_7a.gif\|center]]

-	Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.	+	Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led <br>
		+	motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, <br>
		+	och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ <br>
		+	steg i $y$-led.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 230:		Rad 235:

	</div>		</div>
-
-	[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Här'''] kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.
-
-	[http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Här'''] kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.
-

	===Områden i koordinatsystem===		===Områden i koordinatsystem===

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Förstagradsekvationer */

2007-07-16T14:53:35Z

Förstagradsekvationer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.53
Rad 62:		Rad 62:

	En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt <br> $x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$).<br>		En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt <br> $x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$).<br>
-	De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan <br>snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär<br> normalform och därmed får en unik lösning.	+	De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva<br> lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. <br>Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär<br> normalform och därmed får en unik lösning.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räta linjer */

2007-07-16T14:42:32Z

Räta linjer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.42
Rad 156:		Rad 156:
	där $k$ och $m$ är konstanter.		där $k$ och $m$ är konstanter.

-	Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.	+	Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning <br>
		+	mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.

	[[Bild:t_3_1_1a.gif\|center]]		[[Bild:t_3_1_1a.gif\|center]]
-	Konstanten $k$ kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Det gäller därmed att om	+	Konstanten $k$ kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i <br>
		+	positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Det gäller därmed att om

	*$k>0\ $ så lutar linjen uppåt		*$k>0\ $ så lutar linjen uppåt
	*$k<0\ $ så lutar linjen nedåt		*$k<0\ $ så lutar linjen nedåt

-	För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $\,k=0\,$ medan en vertikal linje (parallell med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).	+	För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $\,k=0\,$ medan en vertikal linje (parallell <br>
		+	med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räta linjer */

2007-07-16T14:40:10Z

Räta linjer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.40
Rad 141:		Rad 141:
	==Räta linjer==		==Räta linjer==
	Funktioner av typen		Funktioner av typen
		+
	$\quad y=2x+1$		$\quad y=2x+1$
		+
	$\quad y=-x+3$		$\quad y=-x+3$
		+
	$\quad y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $		$\quad y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räta linjer */

2007-07-16T14:39:53Z

Räta linjer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.39
Rad 141:		Rad 141:
	==Räta linjer==		==Räta linjer==
	Funktioner av typen		Funktioner av typen
-	$$y=2x+1$$	+	$\quad y=2x+1$
-	$$y=-x+3$$	+	$\quad y=-x+3$
-	$$y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $$	+	$\quad y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $

	är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen		är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Förstagradsekvationer */

2007-07-16T14:37:39Z

Förstagradsekvationer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.37
Rad 61:		Rad 61:
	</div>		</div>

-	En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt $x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$).	+	En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt <br> $x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$).<br>
-	De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.	+	De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan <br>snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär<br> normalform och därmed får en unik lösning.


Rad 100:		Rad 100:
	</div>		</div>

-	Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.	+	Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två <br>
		+	exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Förstagradsekvationer */

2007-07-16T14:34:45Z

Förstagradsekvationer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.34
Rad 36:		Rad 36:
	==Förstagradsekvationer==		==Förstagradsekvationer==
	För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer <br>		För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer <br>
-	på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.	+	på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får <br>$x$ ensamt i ena ledet.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Förstagradsekvationer */

2007-07-16T14:34:38Z

Förstagradsekvationer

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.34
Rad 35:		Rad 35:

	==Förstagradsekvationer==		==Förstagradsekvationer==
-	För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer	+	För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer <br>
	på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.		på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.