3.2 Rotekvationer - Versionshistorik

Tek: Lagt in text om grund- och slutprov

2007-05-16T07:33:42Z

Lagt in text om grund- och slutprov

← Äldre version		Versionen från 16 maj 2007 kl. 07.33
Rad 101:		Rad 101:
	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''
		+
		+	'''Grund- och slutprov'''
		+
		+	Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
		+

	'''Tänk på att:'''		'''Tänk på att:'''

Lina den 14 maj 2007 kl. 14.51

2007-05-14T14:51:34Z

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 14.51
Rad 121:		Rad 121:

	</div>		</div>
-
-
-	<div class="teori">
-	----
-
-	[[Bild:sommarens_fluga_copyright.gif\|alt Sommarens fluga - plugga matematik på nätet! Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
-	Ger studiepoäng. Kostnadsfritt. Fortlöpande anmälan på www.math.se.
-	Eftertryck förbjudet utan tillåtelse. © 2007 MATH.SE
-	]]
-	</div>
-
-
-

Lina den 14 maj 2007 kl. 12.31

2007-05-14T12:31:40Z

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 12.31
Rad 123:		Rad 123:


-	<small>© Copyright 2007, math.se</small>	+	<div class="teori">
		+	----
		+
		+	[[Bild:sommarens_fluga_copyright.gif\|alt Sommarens fluga - plugga matematik på nätet! Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
		+	Ger studiepoäng. Kostnadsfritt. Fortlöpande anmälan på www.math.se.
		+	Eftertryck förbjudet utan tillåtelse. © 2007 MATH.SE
		+	]]
		+	</div>
		+

Lina: /* Teori */

2007-05-11T08:59:33Z

Teori

← Äldre version		Versionen från 11 maj 2007 kl. 08.59
Rad 112:		Rad 112:

	för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring		för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring
-
-	[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/01_kursoversikt/index.asp Läs mer om Algebra i Theducations Gymnasielexikon]

	[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier]		[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier]

Tek den 10 maj 2007 kl. 14.48

2007-05-10T14:48:43Z

← Äldre version		Versionen från 10 maj 2007 kl. 14.48
Rad 12:		Rad 12:

	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:		Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-	*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering och veta att lösningarna måste prövas.	+	*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering.
		+	*Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
	</div>		</div>

Tek den 10 maj 2007 kl. 14.21

2007-05-10T14:21:07Z

← Äldre version		Versionen från 10 maj 2007 kl. 14.21
Rad 124:		Rad 124:


-	''' © Copyright 2007, math.se'''	+	<small>© Copyright 2007, math.se</small>

Lina den 7 maj 2007 kl. 14.01

2007-05-07T14:01:40Z

← Äldre version		Versionen från 7 maj 2007 kl. 14.01
Rad 94:		Rad 94:

	</div>		</div>
		+
		+	[[3.2 Övningar\|Övningar]]
		+

	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">

Tek: En del ändringar

2007-05-06T17:35:49Z

En del ändringar

← Äldre version		Versionen från 6 maj 2007 kl. 17.35
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
-
-	=3.2 Rotekvationer=

	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
-	*Rotekvationer av typen $ \sqrt{ax+b}= cx +d $	+	*Rotekvationer av typen $\,\sqrt{ax+b}= cx +d $
	*Falska rötter		*Falska rötter
	</div>		</div>

	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">
-	'''Läromål:'''	+	'''Lärandemål:'''

	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:		Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-	*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering och veta att lösningarna måste prövas	+	*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering och veta att lösningarna måste prövas.
	</div>		</div>

Rad 30:		Rad 29:
	Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.		Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.

-	$$\sqrt{x} + 3x = 2$$	+	$$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$

-	$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2$$	+	$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$

-	$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x$$	+	$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$


Rad 40:		Rad 39:
	Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen		Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen
	så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet.		så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet.
-	Sedan kvadrerar man ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner.	+	Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen.
	När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får		När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får
	fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella		fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella
Rad 52:		Rad 51:
	'''Exempel 1'''		'''Exempel 1'''

-	Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation:	+	Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation

-	$$x = 2,$$	+	$$x = 2\mbox{.}$$

	Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi		Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

-	$$x^2 = 4 $$	+	$$x^2 = 4\mbox{.}$$

-	Denna nya ekvation har två lösningar $x = 2$ eller $x = -2$.	+	Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$.
-	Lösningen $x = 2$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $x = -2$ är en lösning dom uppstod i den kvaderade ekvationen.	+	Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.

	</div>		</div>
Rad 69:		Rad 68:
	'''Exempel 2'''		'''Exempel 2'''

-	Lös ekvationen:$2\sqrt{x - 1} = 1 - x$	+	Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.
-		+	<br>
-		+	<br>
-	'''Lösning:'''	+	Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2,
-		+	men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen
-	Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med två,	+
-	men vi kan också låta tvåan stå kvar. Den stör oss inte. Om vi kvadrerar ekvationen	+
	som den är får vi		som den är får vi
-		+	$$4(x - 1) = (1 - x)^2$$
-	$4(x - 1) = (1 - x)^2 $	+
-		+
	och utvecklar vi kvadraten fås		och utvecklar vi kvadraten fås
-		+	$$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$
-	$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2$	+
-		+
	Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas		Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas
		+	$$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$

-	$x^2 - 6x + 5 = 0$	+	Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln.
-		+	Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.
-	Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller allmänna lösningsformeln.	+
-	Lösningarna blir:	+
-		+
-	$x = 3 \pm 2, $ dvs $ x = 1 $ eller $ x = 5. $	+
-		+
-		+
-	Eftersom vi kvaderar ekvationen finns risk att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $x=1$ och $x=5$ också är lösningarna i den ursprungliga rotekvationen:	+
-		+
-		+
-	'''Testa $x = 1 \;$'''	+
-		+
-	$x = 1 \;$	+
-		+
-	medför	+
-		+
-	$\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 \; $	+
-		+
-	och	+
-		+
-	$\mbox{HL} = 1 - 1 = 0. $	+
-		+
-		+
-	'''$\mbox{VL} = \mbox{HL.}$ Ekvationen är uppfylld!'''	+
-		+
-		+
-	'''Testa $x = 5 \;$'''	+
-		+
-	$x = 5 \; $ medför	+
-		+
-	$ \mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 \; $	+
-		+
-	och	+
-		+
-	$ \mbox{HL} = 1 - 5 = -4.$	+
-		+

-	'''$\mbox{VL} \ne \mbox{HL.}$ Ekvationen är inte uppfylld!'''

		+	Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:

-	'''Ekvationen har alltså bara en lösning, $x = 1 \; \mbox{.}$'''	+	* $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen är uppfylld!
		+	* $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen är ''inte'' uppfylld!

		+	Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$.

-	De två funktionerna visas i kurvan nedan.	+	[[Bild:772637.gif\|\|center‎]]
-	[[Bild:772637.gif‎]]	+

	</div>		</div>

Lina: /* Teori */

2007-04-26T11:11:53Z

Teori

← Äldre version		Versionen från 26 april 2007 kl. 11.11
Rad 28:		Rad 28:

	=Teori=		=Teori=
-	Rotekvationer är ekvationer där variabeln förekommer under ett rottecken.
-	Det kan handla om både kvadratrötter, kubikrötter ellar andra rötter.
-
-	Först något om beteckningar (se även avsnitt 1.4). Kvadratroten ur x betecknas:
-
-	$ \sqrt{x} \; $ eller $ \; x^{1/2} $
-
-	och är beteckningen för det positiva tal (om x > 0) som kvadrerat blir x.
-	Kubikroten ur x betecknas:
-	$ \sqrt[\scriptstyle3]{x} \; $ eller $ \; x^{1/3}$
-
-	och är det tal som upphöjt i 3 blir x.
-	Förväxla inte kubikroten med $3 \sqrt{x}$ som är tre
-	gånger kvadratroten ur x. Kubikrötter kan dras ur negativa tal, och de kan vara negativa.
-
-
-	Ett exempel är:
-	$ \sqrt[\scriptstyle3]{-1} = -1, \; $ eftersom $ \; (-1)^3 = -1.$
-
-
	Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.		Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.

Lina den 26 april 2007 kl. 11.10

2007-04-26T11:10:28Z

← Äldre version		Versionen från 26 april 2007 kl. 11.10
Rad 190:		Rad 190:
	<td valign="top">		<td valign="top">

-	<!-- rätt/fel in här -->	+	{{Repetition_rötter}}

	</td><!--ej i wiki</tr></table>-->		</td><!--ej i wiki</tr></table>-->