4.1 Vinklar och cirklar - Versionshistorik

Mikael: /* Vinkelmått */

2007-05-25T15:18:04Z

Vinkelmått

← Äldre version		Versionen från 25 maj 2007 kl. 15.18
Rad 65:		Rad 65:
	I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.		I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

-	[[Bild:t_3_2_4.gif]]	+	[[Bild:t_3_2_4.gif\|center]]

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1qh5fat: /* Cirklar */

2007-05-25T13:52:23Z

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.52
Rad 221:		Rad 221:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 7'''

		+	'''Exempel 7'''
		+	{\|
		+	\|-
		+	\| width=40% valign=top \|
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	[[Bild:t_3_2_15.gif\|right]]
	<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>		<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
-	Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att	+	Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att <br>
-	$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = (-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$	+	$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $ <br>
		+	$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$ <br>
	Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>		Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
	</ol>		</ol>
		+	\| width=60% valign=top \|
		+	[[Bild:t_3_2_15.gif\|right]]
		+	\|}




-		+	{\|
-		+	\|-
		+	\| width=40% valign=top \|
	<ol type="a" start=2>		<ol type="a" start=2>
	<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>		<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
-	[[Bild:t_3_2_16.gif\|right]]
	Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är		Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
	$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$		$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
Rad 244:		Rad 250:
	$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$		$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$
	</ol>		</ol>
		+	\| width=60% valign=top \|
		+	[[Bild:t_3_2_16.gif\|right]]
		+	\|}

		+	</div>

-
-	</div>

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1qh5fat: /* Cirklar */

2007-05-25T13:35:56Z

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.35
Rad 218:		Rad 218:

	\|}		\|}
-
-
-
-
-
	</div>		</div>

Rad 229:		Rad 224:

	<ol type="a">		<ol type="a">
		+	[[Bild:t_3_2_15.gif\|right]]
	<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>		<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
	Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att		Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att
-	$$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 =(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$$	+	$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = (-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$
	Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>		Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
		+	</ol>
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+	<ol type="a" start=2>
	<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>		<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
		+	[[Bild:t_3_2_16.gif\|right]]
	Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är		Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
	$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$		$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
Rad 240:		Rad 245:
	</ol>		</ol>

-	[[Bild:t_3_2_15.gif]] [[Bild:t_3_2_16.gif]]	+

	</div>		</div>

KTH.SE:u1qh5fat: /* Cirklar */

2007-05-25T13:26:37Z

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.26
Rad 172:		Rad 172:
	'''Cirkelns ekvation:'''		'''Cirkelns ekvation:'''
	$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$		$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
-
-

KTH.SE:u1qh5fat: /* Cirklar */

2007-05-25T13:25:25Z

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 25 maj 2007 kl. 13.25
Rad 186:		Rad 186:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 6'''		'''Exempel 6'''
-		+	{\|
		+	\|-
		+	\| width=50% valign=top \|
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>		<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
		+	</ol>
		+	\| width=45% valign=top \|
		+	[[Bild:t_3_2_12.gif\|right]]
		+	\| width=5% valign=top \|
		+
		+	\|}
		+
		+	{\|
		+	\|-
		+	\| width=50% valign=top \|
		+	<ol type="a" start=2>
	<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>		<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>
		+	</ol>
		+	\| width=45% valign=top \|
		+	[[Bild:t_3_2_13.gif\|right]]
		+	\| width=5% valign=top \|
		+
		+	\|}
		+
		+	{\|
		+	\|-
		+	\| width=60% valign=top \|
		+	<ol type="a" start=3>
	<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.		<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.
	</ol>		</ol>
		+	\| width=40% valign=top \|
		+	[[Bild:t_3_2_14.gif\|right]]
		+
		+	\|}
		+
		+


-	[[Bild:t_3_2_12.gif\|left]][[Bild:t_3_2_13.gif\|center]][[Bild:t_3_2_14.gif\|right]]

	</div>		</div>

Tek: Lagt in text om grund- och slutprov

2007-05-16T07:43:36Z

Lagt in text om grund- och slutprov

← Äldre version		Versionen från 16 maj 2007 kl. 07.43
Rad 42:		Rad 42:
	*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.		*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

-	[[Bild:3_2_1.gif]]	+	[[Bild:3_2_1.gif\|\|center]]

	*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.		*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.

-	[[Bild:3_2_2.gif]]	+	[[Bild:3_2_2.gif\|\|center]]


Rad 252:		Rad 252:
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''

-	'''Tänk på att:'''	+	'''Grund- och slutprov'''

		+	Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
		+
		+
		+	'''Tänk på att:'''

Mikael: /* Cirklar */

2007-05-15T16:18:40Z

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 16.18
Rad 165:		Rad 165:

	</div>		</div>
-	[[Bild:3_2_11.gif\|right]]	+

	En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som		En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
	<div class="regel">		<div class="regel">
		+	[[Bild:T_3_2_11.gif\|right]]
	'''Cirkelns ekvation:'''		'''Cirkelns ekvation:'''
	$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$		$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
	</div>		</div>

Mikael: /* Avståndsformeln */

2007-05-15T16:17:39Z

Avståndsformeln

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 16.17
Rad 84:		Rad 84:

	==Avståndsformeln==		==Avståndsformeln==
-	[[Bild:T_3_2_5.gif\|right]]
	Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att		Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att

	<div class="regel">		<div class="regel">
		+	[[Bild:T_3_2_5.gif\|right]]
	'''Pythagoras sats:'''		'''Pythagoras sats:'''
	$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$		$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$
		+
		+
		+
		+
		+
		+
	</div>		</div>

Mikael: /* Avståndsformeln */

2007-05-15T16:16:41Z

Avståndsformeln

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 16.16
Rad 84:		Rad 84:

	==Avståndsformeln==		==Avståndsformeln==
-	[[Bild:3_2_5.gif\|right]]	+	[[Bild:T_3_2_5.gif\|right]]
	Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att		Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att

Lina den 14 maj 2007 kl. 14.52

2007-05-14T14:52:45Z

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 14.52
Rad 254:		Rad 254:

	</div>		</div>
-
-
-	<div class="teori">
-	----
-
-	[[Bild:sommarens_fluga_copyright.gif\|alt Sommarens fluga - plugga matematik på nätet! Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
-	Ger studiepoäng. Kostnadsfritt. Fortlöpande anmälan på www.math.se.
-	Eftertryck förbjudet utan tillåtelse. © 2007 MATH.SE
-	]]
-	</div>
-
-