4.2. Trigonometriska funktioner - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw: /* De trigonometriska funktionernas grafer */

2007-07-17T09:26:02Z

De trigonometriska funktionernas grafer

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.26
Rad 274:		Rad 274:
	<div align="center">[[Bild:766671.gif\|\|center‎]]</div>		<div align="center">[[Bild:766671.gif\|\|center‎]]</div>

-	I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är	+	I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln.

	* Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på $\,2\pi\,$, dvs. det gäller att $\,\cos (x+2\pi) = \cos x\,$ och $\,\sin (x+2\pi) = \sin x\,$. I enhetscirkeln motsvarar $\,2\pi\,$ ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.		* Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på $\,2\pi\,$, dvs. det gäller att $\,\cos (x+2\pi) = \cos x\,$ och $\,\sin (x+2\pi) = \sin x\,$. I enhetscirkeln motsvarar $\,2\pi\,$ ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* De trigonometriska funktionernas grafer */

2007-07-17T09:25:46Z

De trigonometriska funktionernas grafer

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.25
Rad 281:		Rad 281:

	*Förutom en fasförskjutning på $\pi/2$ är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. $\,\cos x = \sin (x+ \pi/2)\,$; mer om detta i nästa kapitel.		*Förutom en fasförskjutning på $\pi/2$ är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. $\,\cos x = \sin (x+ \pi/2)\,$; mer om detta i nästa kapitel.
-

	Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.		Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar */

2007-07-17T09:24:05Z

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.24
Rad 206:		Rad 206:

	och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.		och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.
-

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 257:		Rad 256:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Omskrivningen	+	Omskrivningen $\quad \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
-	$$\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$$	+

	visar att vinkeln $\,2\pi/3\,$ hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln $\,\pi/6\,$ med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att $\,2\pi/3\,$-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten $\,\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2\,$. Alltså är		visar att vinkeln $\,2\pi/3\,$ hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln $\,\pi/6\,$ med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att $\,2\pi/3\,$-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten $\,\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2\,$. Alltså är

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Några standardvinklar */

2007-07-17T08:35:28Z

Några standardvinklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.35
Rad 181:		Rad 181:
	</td>		</td>
	<td>		<td>
-	$$\eqalign{\displaystyle\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\cr \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\,;\cr \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\cr \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}}$$	+	$$\eqalign{\displaystyle\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\cr \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\,;\cr \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\cr}\qquad\; \eqalign{\cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\cr \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}}$$
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Trigonometri i rätvinkliga trianglar */

2007-07-17T08:34:20Z

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.34
Rad 60:		Rad 60:
	'''Exempel 2'''		'''Exempel 2'''

-	Bestäm längden av sidan markerad med $\,x\,$ i figuren.	+	Bestäm längden av sidan markerad med $\,x\,$ i figuren. [[Bild:t_3_3_4.gif]]
-		+
-	[[Bild:t_3_3_4.gif\|center]]	+

	Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $\,u\,$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\,\tan u\,$.		Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $\,u\,$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\,\tan u\,$.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* De trigonometriska funktionernas grafer */

2007-07-17T08:31:57Z

De trigonometriska funktionernas grafer

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.31
Rad 297:		Rad 297:
	Genom att rita upp graferna $\,y=\cos x\,$ och $\,y=x^2\,$ ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två ''x''-värden för vilka motsvarande ''y''-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.		Genom att rita upp graferna $\,y=\cos x\,$ och $\,y=x^2\,$ ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två ''x''-värden för vilka motsvarande ''y''-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.

-	[[Bild:t_3_3_25.gif\|\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:t_3_3_25.gif\|\|center]]</div>

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* De trigonometriska funktionernas grafer */

2007-07-17T08:31:27Z

De trigonometriska funktionernas grafer

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.31
Rad 272:		Rad 272:
	I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.		I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.

-	[[Bild:3_3_03a.gif\|\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:3_3_03a.gif\|\|center]]</div>

-	[[Bild:3_3_03b.gif\|\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:3_3_03b.gif\|\|center]]</div>

-	[[Bild:766671.gif\|\|center‎]]	+	<div align="center">[[Bild:766671.gif\|\|center‎]]</div>

	I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är		I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar */

2007-07-17T08:30:46Z

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.30
Rad 265:		Rad 265:
	$$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}$$		$$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}$$

-	[[Bild:t_3_3_24.gif\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:t_3_3_24.gif\|center]]</div>

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar */

2007-07-17T08:30:13Z

Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.30
Rad 196:		Rad 196:
	[[Bild:t_3_3_18.gif\|right]]		[[Bild:t_3_3_18.gif\|right]]
	De trigonometriska funktionerna $\,\cos u\,$ och $\,\sin u\,$ är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln $\,u\,$ med den positiva ''x''-axeln.		De trigonometriska funktionerna $\,\cos u\,$ och $\,\sin u\,$ är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln $\,u\,$ med den positiva ''x''-axeln.
-
-

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Några standardvinklar */

2007-07-17T08:29:56Z

Några standardvinklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.29
Rad 177:		Rad 177:
	Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $\,x=\sqrt{3}/2\,$. Från en triangelhalva får vi att		Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $\,x=\sqrt{3}/2\,$. Från en triangelhalva får vi att

		+	<table width="100&">
		+	<tr>
		+	<td>
	[[Bild:t_3_3_17.gif\|left]]		[[Bild:t_3_3_17.gif\|left]]
-		+	</td>
		+	<td>
	$$\eqalign{\displaystyle\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\cr \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\,;\cr \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\cr \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}}$$		$$\eqalign{\displaystyle\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\cr \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\,;\cr \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\cr \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}}$$
-		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>

	</div>		</div>