4.4 Trigonometriska ekvationer - Versionshistorik

Mikael: /* Grundekvationer */

2007-05-30T13:05:54Z

Grundekvationer

← Äldre version		Versionen från 30 maj 2007 kl. 13.05
Rad 82:		Rad 82:
	Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.		Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.

-	[[Bild:t_3_5_2.gif]]	+	[[Bild:t_3_5_2.gif\|center]]

	Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,		Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,

Tek: Lagt in text om grund- och slutprov

2007-05-16T07:47:49Z

Lagt in text om grund- och slutprov

← Äldre version		Versionen från 16 maj 2007 kl. 07.47
Rad 40:		Rad 40:
	Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.		Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.

-	[[Bild:t_3_5_1.gif]]	+	[[Bild:t_3_5_1.gif\|\|center]]

	I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.		I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.
Rad 182:		Rad 182:
	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''
		+
		+	'''Grund- och slutprov'''
		+
		+	Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
		+

	'''Tänk på att:'''		'''Tänk på att:'''

Lina: /* Grundekvationer */

2007-05-14T14:58:12Z

Grundekvationer

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 14.58
Rad 40:		Rad 40:
	Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.		Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.

-	[[Bild:t_3_5_1]]	+	[[Bild:t_3_5_1.gif]]

	I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.		I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.
Rad 82:		Rad 82:
	Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.		Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.

-	[[Bild:t_3_5_2]]	+	[[Bild:t_3_5_2.gif]]

	Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,		Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,

Lina: /* Grundekvationer */

2007-05-14T14:57:46Z

Grundekvationer

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 14.57
Rad 40:		Rad 40:
	Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.		Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.

-	Bild: figur 3.5.1	+	[[Bild:t_3_5_1]]

	I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.		I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.
Rad 82:		Rad 82:
	Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.		Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.

-	Bild: figur 3.5.2	+	[[Bild:t_3_5_2]]

	Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,		Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,

Lina den 14 maj 2007 kl. 14.53

2007-05-14T14:53:38Z

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 14.53
Rad 206:		Rad 206:

	</div>		</div>
-
-
-	<div class="teori">
-	----
-
-	[[Bild:sommarens_fluga_copyright.gif\|alt Sommarens fluga - plugga matematik på nätet! Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
-	Ger studiepoäng. Kostnadsfritt. Fortlöpande anmälan på www.math.se.
-	Eftertryck förbjudet utan tillåtelse. © 2007 MATH.SE
-	]]
-	</div>
-
-
-

Lina den 14 maj 2007 kl. 12.33

2007-05-14T12:33:09Z

← Äldre version		Versionen från 14 maj 2007 kl. 12.33
Rad 208:		Rad 208:


-	<small>© Copyright 2007, math.se</small>	+	<div class="teori">
		+	----
		+
		+	[[Bild:sommarens_fluga_copyright.gif\|alt Sommarens fluga - plugga matematik på nätet! Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.
		+	Ger studiepoäng. Kostnadsfritt. Fortlöpande anmälan på www.math.se.
		+	Eftertryck förbjudet utan tillåtelse. © 2007 MATH.SE
		+	]]
		+	</div>
		+

Tek den 10 maj 2007 kl. 15.08

2007-05-10T15:08:31Z

← Äldre version		Versionen från 10 maj 2007 kl. 15.08
Rad 4:		Rad 4:
	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
-	*Trigonometriska ekvationer	+	*Trigonometriska grundekvationer
		+	*Enklare trigonometriska ekvationer
	</div>		</div>

Rad 11:		Rad 12:

	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:		Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-	*Lösa ekvationer av typen $\,\cos x = a\,$, $\,\sin x = a\,$ och $\,\tan x = a\,$.	+	*Lösa trigonometriska grundekvationer.
	*Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.		*Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.
	</div>		</div>

Tek: En del ändringar

2007-05-10T14:09:32Z

En del ändringar

(Skillnad mellan versioner)

Lina den 7 maj 2007 kl. 14.04

2007-05-07T14:04:13Z

← Äldre version		Versionen från 7 maj 2007 kl. 14.04
Rad 206:		Rad 206:

	</div>		</div>
		+
		+	[[4.4 Övningar\|Övningar]]

Lina den 26 april 2007 kl. 10.09

2007-04-26T10:09:54Z

← Äldre version		Versionen från 26 april 2007 kl. 10.09
Rad 236:		Rad 236:


-	'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''	+	''' © Copyright 2007, math.se'''