2.1. Algebraiska uttryck - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 09:09:19 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.09
Rad 285:		Rad 285:
	Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka.		Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka.
	</div>		</div>
		+
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:30:13 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.30
Rad 246:		Rad 246:
	<li>$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad$ har $\ \text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad$ har $\ \text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)$<br><br>
	Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>		Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>
-	:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>	+	$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>
-	:$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>	+	$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
-	:$=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>	+	$=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
	<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>
	Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>		Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:27:54 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.27
Rad 248:		Rad 248:
	:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>		:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>
	:$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>		:$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
-	:${}=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>	+	:$=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
	<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>
	Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>		Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:27:10 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.27
Rad 247:		Rad 247:
	Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>		Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>
	:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>		:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>
-	:${}=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>	+	:$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
	:${}=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>		:${}=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
	<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:15:49 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.15
Rad 251:		Rad 251:
	<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>
	Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>		Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>
-	:$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 = \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$ <br><br>	+	:$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 $<br><br>
		+	::$=\displaystyle \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$ <br><br>
	::$=\displaystyle \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} -\frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}$<br><br>		::$=\displaystyle \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} -\frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}$<br><br>
	::$=\displaystyle \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)} $<br><br>		::$=\displaystyle \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)} $<br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:11:57 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.11
Rad 247:		Rad 247:
	Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>		Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>
	:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>		:$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>
-	::${}=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>	+	:${}=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
-	::${}=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>	+	:${}=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
	<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>
	Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>		Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rationella uttryck */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:10:04 GMT

Rationella uttryck

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.10
Rad 238:		Rad 238:
	<li>$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad$ har $\ \text{MGN}=(x+1)(x+2)$ <br><br>		<li>$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad$ har $\ \text{MGN}=(x+1)(x+2)$ <br><br>
	Förläng den första termen med $(x+2)$ och den andra termen med $(x+1)$<br/><br/>		Förläng den första termen med $(x+2)$ och den andra termen med $(x+1)$<br/><br/>
-	:$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}$ <br><br>	+	:$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}$ <br><br>
		+	:$\phantom{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}} = \displaystyle \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}$ <br><br>
		+
	<li>$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad$ har $\ \text{MGN}=x^2$<br><br>		<li>$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad$ har $\ \text{MGN}=x^2$<br><br>
	Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare<br/><br/>		Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare<br/><br/>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Kvadreringsreglerna */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:05:58 GMT

Kvadreringsreglerna

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.05
Rad 135:		Rad 135:
	:där $(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$<br><br>		:där $(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$<br><br>
	<li>$(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16$ <br><br>		<li>$(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16$ <br><br>
-	<li>$(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1) = x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1$<br/>	+	<li>$(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1) $<br/>
-	$\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}=2x+2x=4x$ <br><br>	+	$\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1=2x+2x=4x$ <br><br>
	<li>$(2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)$<br/>		<li>$(2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)$<br/>
	$\phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8$ <br><br>		$\phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8$ <br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Kvadreringsreglerna */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:03:57 GMT

Kvadreringsreglerna

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.03
Rad 109:		Rad 109:
	$\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2$ <br><br>		$\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2$ <br><br>
	<li>$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) $<br/>		<li>$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) $<br/>
-	$= 3(2x^2 +x-2xy-y)\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y$ <br><br>	+	$\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}= 3(2x^2 +x-2xy-y)=6x^2 +3x-6xy-3y$ <br><br>
	<li>$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$<br/>		<li>$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$<br/>
	$\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2$ <br>		$\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2$ <br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Kvadreringsreglerna */

KTH.SE:u1zpa8nw — Mon, 16 Jul 2007 14:03:21 GMT

Kvadreringsreglerna

← Äldre version		Versionen från 16 juli 2007 kl. 14.03
Rad 108:		Rad 108:
	<li>$(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2$<br/>		<li>$(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2$<br/>
	$\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2$ <br><br>		$\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2$ <br><br>
-	<li>$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)$<br/>	+	<li>$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) $<br/>
-	$\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y$ <br><br>	+	$= 3(2x^2 +x-2xy-y)\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y$ <br><br>
	<li>$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$<br/>		<li>$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$<br/>
	$\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2$ <br>		$\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2$ <br>