2.3. Andragradsuttryck - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 10.21

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 10:21:48 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 10.21
Rad 234:		Rad 234:
	$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$		$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$
	och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är. <br><br>		och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är. <br><br>
-	I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.	+	I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför <br>
		+	$x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.

	<div align="center">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</div>		<div align="center">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 09:15:42 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.15
Rad 246:		Rad 246:

	</div>		</div>
		+
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 09:14:28 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.14
Rad 220:		Rad 220:
	*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.		*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.

-	<div align="center">[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]</div>	+	Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.

-		+	<div align="center">[[Bild:t_3_1_6b.gif]]</div>
-	Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.	+

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 09:13:45 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.13
Rad 196:		Rad 196:
	Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.		Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.

-	<table width="100%">
-	<tr>
-	<td width="40%">
	Om högerledet kvadratkompletteras		Om högerledet kvadratkompletteras
	$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$		$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$
	så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.		så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
-	</td>	+	<br>
-	<td width="5%"> </td>	+	<div align="center">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</div>
-	<td width="50%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>	+
-	<td width="5%"> </td>	+
-	</tr>	+
-	</table>	+

	</div>		</div>
Rad 215:		Rad 208:

	Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.		Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.
-	<table width="100%">	+
-	<tr>	+
-	<td width="47%">	+
	En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen		En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
	$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$		$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$
Rad 229:		Rad 220:
	*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.		*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.

-	</td>	+	<div align="center">[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]</div>
-	<td width="3%"> </td>	+
-	<td width="47%">	+
-	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]	+
-	</td>	+
-	<td width="3%"> </td>	+
-	</tr>	+
-	</table>	+

	Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.		Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.
Rad 247:		Rad 232:
	Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.		Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.

-	<table width="100%">
-	<tr>
-	<td width="47%">
	Vi kvadratkompletterar		Vi kvadratkompletterar
	$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$		$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$
	och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är. <br><br>		och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är. <br><br>
	I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.		I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.
-	</td>	+
-	<td width="3%"> </td>	+	<div align="center">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</div>
-	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</td>	+
-	<td width="3%"> </td>	+
-	</tr>	+
-	</table>	+
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 07:45:29 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.45
Rad 198:		Rad 198:
	<table width="100%">		<table width="100%">
	<tr>		<tr>
-	<td width="47%">	+	<td width="40%">
	Om högerledet kvadratkompletteras		Om högerledet kvadratkompletteras
	$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$		$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$
	så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.		så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
	</td>		</td>
-	<td width="3%"> </td>	+	<td width="5%"> </td>
-	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>	+	<td width="50%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>
-	<td width="3%"> </td>	+	<td width="5%"> </td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 07:44:06 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.44
Rad 203:		Rad 203:
	så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.		så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
	</td>		</td>
-	<td width="6%"> </td>	+	<td width="3%"> </td>
	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>		<td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>
		+	<td width="3%"> </td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
Rad 229:		Rad 230:

	</td>		</td>
-	<td width="6%"> </td>	+	<td width="3%"> </td>
	<td width="47%">		<td width="47%">
	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]		[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]
	</td>		</td>
		+	<td width="3%"> </td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
Rad 253:		Rad 255:
	I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.		I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.
	</td>		</td>
-	<td width="6%"> </td>	+	<td width="3%"> </td>
	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</td>		<td width="47%">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</td>
		+	<td width="3%"> </td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 07:42:25 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.42
Rad 214:		Rad 214:

	Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.		Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.
-	<br>	+	<table width="100%">
-	<br>	+	<tr>
		+	<td width="47%">
	En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen		En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
	$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$		$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$
-	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]	+
	Vänsterledet kvadratkompletteras		Vänsterledet kvadratkompletteras
	$$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$		$$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$
Rad 226:		Rad 227:
	*$x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2+1=3\,$,		*$x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2+1=3\,$,
	*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.		*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.
		+
		+	</td>
		+	<td width="6%"> </td>
		+	<td width="47%">
		+	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>

	Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.		Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.
-
-	<br><br>

	</div>		</div>
Rad 235:		Rad 242:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 8'''		'''Exempel 8'''
-	[[Bild:t_3_1_7b.gif\|right]]	+
	Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.		Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.
-	<br>	+
-	<br>	+	<table width="100%">
		+	<tr>
		+	<td width="47%">
	Vi kvadratkompletterar		Vi kvadratkompletterar
	$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$		$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$
-	och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.	+	och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är. <br><br>
-		+
	I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.		I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför $x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.
-		+	</td>
-	<br><br>	+	<td width="6%"> </td>
-		+	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</td>
		+	</tr>
		+	</table>
	</div>		</div>
-
-

	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 07.37

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 07:37:36 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.37
Rad 193:		Rad 193:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 6'''		'''Exempel 6'''
-

	Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.		Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.
-	<br>
-	<br>

		+	<table width="100%">
		+	<tr>
		+	<td width="47%">
	Om högerledet kvadratkompletteras		Om högerledet kvadratkompletteras
-	$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$	+	$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$
	så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.		så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
	</td>		</td>
-	<td width="3%"></td>	+	<td width="6%"> </td>
	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>		<td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>
	</tr>		</tr>
Rad 217:		Rad 217:
	<br>		<br>
	En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen		En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
-	$x^2-4x+3=0\mbox{.}$	+	$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$
-		+
-	<table	+
	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]		[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]
	Vänsterledet kvadratkompletteras		Vänsterledet kvadratkompletteras
Rad 242:		Rad 240:
	<br>		<br>
	Vi kvadratkompletterar		Vi kvadratkompletterar
-	$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$	+	$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$
	och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.		och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.

Rad 250:		Rad 248:

	</div>		</div>
		+
		+

	<div class="inforuta">		<div class="inforuta">

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 07:34:07 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.34
Rad 193:		Rad 193:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 6'''		'''Exempel 6'''
-	[[Bild:t_3_1_5b.gif\|right]]	+

	Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.		Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
		+
	Om högerledet kvadratkompletteras		Om högerledet kvadratkompletteras
	$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$		$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$
	så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.		så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
-		+	</td>
-	<br><br><br><br><br><br>	+	<td width="3%"></td>
		+	<td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td>
		+	</tr>
		+	</table>

	</div>		</div>
Rad 214:		Rad 218:
	En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen		En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
	$x^2-4x+3=0\mbox{.}$		$x^2-4x+3=0\mbox{.}$
		+
		+	<table
	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]		[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]
	Vänsterledet kvadratkompletteras		Vänsterledet kvadratkompletteras

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Parabler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 07:27:15 GMT

Parabler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.27
Rad 199:		Rad 199:
	<br>		<br>
	Om högerledet kvadratkompletteras		Om högerledet kvadratkompletteras
-	$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$	+	$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$
	så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.		så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.

Rad 213:		Rad 213:
	<br>		<br>
	En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen		En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
-	$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$	+	$x^2-4x+3=0\mbox{.}$
	[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]		[[Bild:t_3_1_6b.gif\|right]]
	Vänsterledet kvadratkompletteras		Vänsterledet kvadratkompletteras
Rad 236:		Rad 236:
	<br>		<br>
	Vi kvadratkompletterar		Vi kvadratkompletterar
-	$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$	+	$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$
	och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.		och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är.