4.1. Vinklar och cirklar - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 09.21

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 09:21:21 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.21
Rad 278:		Rad 278:
	<br>		<br>
	</div>		</div>
		+
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Cirklar */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:18:03 GMT

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.18
Rad 220:		Rad 220:
	{\|		{\|
	\|-		\|-
-	\| width=40% valign=top \|	+	\| width=95% valign=top \|
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>		<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
Rad 228:		Rad 228:
	Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>		Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
	</ol>		</ol>
-	\| width=60% valign=top \|	+	<div align="center">[[Bild:t_3_2_15.gif]]</div>
-	[[Bild:t_3_2_15.gif\|right]]	+
	\|}		\|}

Rad 237:		Rad 236:
	{\|		{\|
	\|-		\|-
-	\| width=40% valign=top \|	+	\| width=95% valign=top \|
	<ol type="a" start=2>		<ol type="a" start=2>
	<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>		<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
Rad 245:		Rad 244:
	$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$		$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$
	</ol>		</ol>
-	\| width=60% valign=top \|	+	<div align="center">[[Bild:t_3_2_16.gif]]</div>
-	[[Bild:t_3_2_16.gif\|right]]	+
	\|}		\|}

Rad 277:		Rad 275:
	Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.		Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.

-	[[Bild:766790.gif\|\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:766790.gif\|\|center]]</div>
-		+	<br>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Cirklar */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:13:51 GMT

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.13
Rad 168:		Rad 168:
	'''Cirkelns ekvation:'''		'''Cirkelns ekvation:'''
	$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$		$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
		+
		+

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Cirklar */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:13:38 GMT

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.13
Rad 168:		Rad 168:
	'''Cirkelns ekvation:'''		'''Cirkelns ekvation:'''
	$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$		$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
		+
		+
		+
		+
		+
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Cirklar */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:13:28 GMT

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.13
Rad 168:		Rad 168:
	'''Cirkelns ekvation:'''		'''Cirkelns ekvation:'''
	$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$		$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$
-
-
-
-
-
-
-
-
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Cirklar */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:12:59 GMT

Cirklar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.12
Rad 137:		Rad 137:
	En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.		En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.

-	[[Bild:3_2_8.gif\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:3_2_8.gif\|center]]</div>

	Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.		Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

-	[[Bild:3_2_10.gif\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:3_2_10.gif\|center]]</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Avståndsformeln */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:12:22 GMT

Avståndsformeln

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.12
Rad 117:		Rad 117:
	Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.		Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

-	[[Bild:3_2_7.gif\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:3_2_7.gif]]</div>

	Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $\|x-a\|$ respektive $\|y-b\|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.		Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $\|x-a\|$ respektive $\|y-b\|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Vinkelmått */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:11:30 GMT

Vinkelmått

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.11
Rad 61:		Rad 61:
	I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.		I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

-	[[Bild:t_3_2_4.gif\|center]]	+	[[Bild:t_3_2_4.gif]]
-		+	<br><br>
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 2'''		'''Exempel 2'''

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Vinkelmått */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:10:54 GMT

Vinkelmått

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 08.10
Rad 38:		Rad 38:
	*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.		*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

-	[[Bild:3_2_1.gif\|\|center]]	+	<div align="center">[[Bild:3_2_1.gif]]</div>

	*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.		*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.

KTH.SE:u1zpa8nw: Ny sida: NOTOC

'''Innehåll:''' Olika vinkelmått (grader, radianer och varv) Pythagoras sats Avståndsformeln i planet Cirkelns ekvation ...
KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 08:10:00 GMT

Ny sida: NOTOC <table><tr><td width="600"> <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' Olika vinkelmått (grader, radianer och varv) Pythagoras sats Avståndsformeln i planet Cirkelns ekvation ...

Ny sida
NOTOC
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
Pythagoras sats
Avståndsformeln i planet
Cirkelns ekvation
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
Omvandla mellan grader, radianer och varv.
Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
Formulera och använda Pythagoras sats.
Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
==Vinkelmått==
Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

[[Bild:3_2_1.gif||center]]

'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.

[[Bild:3_2_2.gif||center]]

Ett helt varv är $\,360^\circ\,$ eller $\,2\pi\,$ radianer och det gör att
$$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$ <br><br>
<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$
</ol>

</div>

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

[[Bild:t_3_2_4.gif|center]]

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li>Vinklarna $\,-55^\circ\,$ och $\,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom
$$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$

<li>Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ och $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom
$$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$

<li> Vinklarna $\,36^\circ\,$ och $\,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
$$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

==Avståndsformeln==
Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att

<div class="regel">
[[Bild:T_3_2_5.gif|right]]
'''Pythagoras sats:'''
$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

[[Bild:3_2_6.gif|right]]

I triangeln till höger är
$$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$
och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med
$$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$

</div>

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.
<div class="regel">
'''Avståndsformeln:'''

Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är
$$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$
</div>

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

[[Bild:3_2_7.gif|center]]

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ och $\,(3,1)\,$ är
$$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$

<li>Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ och $\,(-2,-5)\,$ är
$$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

==Cirklar==
En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.

[[Bild:3_2_8.gif|center]]

Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

[[Bild:3_2_10.gif|center]]

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

En cirkelsektor är given i figuren till höger. [[Bild:t_3_2_9.gif|right]]
<ol type="a">
<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br>
Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer
$$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$
På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
$$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
<li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br>
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$
och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\,$ delar av cirkelns area som är $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs.
$$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$
</ol>

</div>

En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
<div class="regel">
[[Bild:T_3_2_11.gif|right]]
'''Cirkelns ekvation:'''
$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
{|
|-
| width=50% valign=top |
<ol type="a">
<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
</ol>
| width=45% valign=top |
[[Bild:t_3_2_12.gif|right]]
| width=5% valign=top |

|}

{|
|-
| width=50% valign=top |
<ol type="a" start=2>
<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>
</ol>
| width=45% valign=top |
[[Bild:t_3_2_13.gif|right]]
| width=5% valign=top |

|}

{|
|-
| width=60% valign=top |
<ol type="a" start=3>
<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.
</ol>
| width=40% valign=top |
[[Bild:t_3_2_14.gif|right]]

|}
</div>

<div class="exempel">

'''Exempel 7'''
{|
|-
| width=40% valign=top |
<ol type="a">
<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att <br>
$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $ <br>
$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$ <br>
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
</ol>
| width=60% valign=top |
[[Bild:t_3_2_15.gif|right]]
|}

{|
|-
| width=40% valign=top |
<ol type="a" start=2>
<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
Cirkelns ekvation är därför
$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$
</ol>
| width=60% valign=top |
[[Bild:t_3_2_16.gif|right]]
|}

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet
$$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$
$$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$

Vänsterledet är alltså lika med
$$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$

Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.

[[Bild:766790.gif||center]]

</div>