Sommarmatte 1 - Nya sidor [sv]

Hela kursen som PDF

2007-07-23T08:06:24Z

Sammanfattning: /* Förberedande kurs i matematik 1 */

__NOTOC__
==Förberedande kurs i matematik 1==

'''Här kan du ladda ner hela kursen som PDF'''

Här kan du ladda ner hela kursen som en PDF-fil och skriva ut den, om du vill jobba med materialet "offline".

Filen innehåller dock inte examinationen (grundprov, slutprov och inlämningsuppgifter), då dessa är dynamiska och därför måste göras via datorn. PDF:en innehåller facit med svar till alla övningsuppgifter, men fullständiga lösningar till övningsuppgifterna finns endast i webmaterialet.

Välj den version som du önskar:

[[Media: sf0600_20070720.pdf | Länk till hela kursen som PDF, Version 2007-07-20, förminskad storlek, 2 utskriftssidor per A4, 72 sidor (pdf-fil, 1.2 MB) »]]

[[Media: sf0600_fullstorlek_20070720.pdf | Länk till hela kursen som PDF, Version 2007-07-20, fullstorlek, 1 utskriftssida per A4, 140 sidor (pdf-fil, 1.3 MB) »]]

För att spara pdf-filen till din dator kan du t.ex. högerklicka på länken och välja "Spara som ...". (Gäller Windows-användare).

Skriftlig framställning och kommunikation

2007-07-18T12:25:38Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

===Så här lyckas du med Inlämningsuppgift och gruppövning===
[[Bild:799839.jpg|right]]
När du fått alla rätt på både grundprov och slutprov, så ska du gå vidare och arbeta med en inlämningsuppgift. I "Student Lounge" under länk examination kommer du hitta din inlämningsuppgift.

När du skickat in din inlämningsuppgift kommer du automatiskt att bli grupperad med tre andra studenter i kursen som nyligen har skickat in sin inlämningsuppgift och ni får tillsammans ett grupprum. Där kan ni se varandras inlämningsuppgifter och ni får dessutom tillgång till ett eget diskussionsforum.

Gruppuppgiften går ut på att diskutera varandras lösningar på de olika uppgifterna och tillsammans komma fram till en "bästa" förbättrad lösning på samtliga uppgifter. Det är dessa "bästa" lösningar som utgör er gruppinlämning, tillsammans med en redogörelse för hur var och en har jobbat för att komma fram till lösningarna.
{|align="left"
|[[Bild: 791074.jpg‎ |left‎]]
|}

Här är målet att man i gruppen ska diskutera matematik, ställa frågor på sådant man tycker är oklart i de olika lösningarna, förklara hur man själv har tänkt, svara på inlägg från de övriga gruppdeltagarna och hjälpa till att sammanställa. När gruppen är nöjd så lämnar ni in er gruppinlämning, som blir bedömd och kommenterad av examinatorn. Examinatorn kommunicerar med hela gruppen, och om det är något gruppen har missat så har man möjlighet göra nya gruppinlämningar tills allt är klart och godkänt.

För att bli godkänd på gruppuppgiften måste du delta aktivt, t.ex. genom att ställa frågor och hjälpa till att arbeta fram förslag på gruppinlämning. Den individuella inlämningen behöver inte vara perfekt, utan det är i gruppen som de slutliga lösningarna färdigställs. Kör ni fast, eller blir osäkra på något, kan ni alltid ställa frågor till lärarna och få vägledning. Vårt mål är att alla ska klara allting i den här kursen - och att ni ska känna att ni kommer riktigt väl förberedda till era högskolestudier.
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Innehåll

2007-07-18T12:12:54Z

Sammanfattning:

<table>
<tr><td width="400">


'''[[1. Numerisk räkning]]'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="400" align="left"|   1.1 Olika typer av tal
|-
! width="400" align="left"|   1.2 Bråkräkning
|-
! width="400" align="left"|   1.3 Potenser
|}

'''[[2. Algebra]]'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="400" align="left"|   2.1 Algebraiska uttryck
|-
! width="400" align="left"|   2.2 Linjära uttryck
|-
! width="400" align="left"|   2.3 Andragradsuttryck
|}

'''[[Huvudsida|3. Rötter och logaritmer]]'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="400" align="left"|   3.1 Rötter
|-
! width="400" align="left"|   3.2 Rotekvationer
|-
! width="400" align="left"|   3.3 Logaritmer
|-
! width="400" align="left"|   3.4 Logaritmekvationer
|}

'''[[4. Trigonometri]]'''
{|
|-
! colspan="3" align="left" style= "border-bottom:2px solid #E2F1F7;"|
|-
! width="400" align="left"|   4.1 Vinklar och cirklar
|-
! width="400" align="left"|   4.2 Trigonometriska funktioner
|-
! width="400" align="left"|   4.3 Trigonometriska samband
|-
! width="400" align="left"|   4.4 Trigonometriska ekvationer

|}

'''[[5. Skriftlig framställning och kommunikation]]'''

<td valign="top">

[[Bild:bild1.gif‎]]

</td>
</tr>
</table>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Så går examination till

2007-07-18T12:03:50Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">
===Du examineras online===
[[Bild:799796.gif‎|right]]
Examinationen består av två självrättande prov per avsnitt och en inlämningsuppgift samt gruppupgift i slutet av kursen. Varje kursdel motsvarar 0,6 poäng och registreras i Ladok var för sig.
Kursbetyg erhålles när alla fem momenten är godkända. Som betyg på kursen ges U eller G.

====Grundproven och slutproven rättas via datorn====
Till varje avsnitt i kursen finns det både ett grundprov och ett slutprov, länk till proven finns i "Student Lounge". Du kan inte bli underkänd på dessa, utan misslyckas du med någon uppgift, så är det bara att göra om dem tills du får alla rätt.

{|align="left"
|[[Bild:799797.jpg|left‎]]
|}
Slutproven består av tre slumpmässigt genererade frågor som rättas automatiskt av datorn. Här ska du kunna lösa ett problem på papper och skriva in rätt svar på skärmen. '''Du måste svara rätt på samtliga tre frågor i följd för att bli godkänd.'''

Om du svarat fel på någon fråga kan du göra ett nytt försök. Du får nu tre nya varianter på frågorna som du ska lösa (även om du skulle ha klarat någon eller några av de tidigare frågorna ska du alltså klara alla tre frågorna i denna omgång på nytt). Tänk på att det är ditt senaste resultat som registreras i studiestatistiken.

===Inlämningsuppgiften är en viktig del av examinationen===
Inlämningsuppgiften ingår i Del 5 av kursen. Via en länk på kurssidan för inlämningsuppgiften kommer du att kunna ladda ner din individuella inlämningsuppgift. Men, du måste först vara klar med alla grundprov och slutprov. Först då kan du skicka in din lösning till inlämningsuppgiften.

I inlämningsuppgiften ska du kunna presentera en idé eller ett resonemang med egna ord och inte bara med ett svar eller genom att ange ett korrekt alternativ. Din individuella inlämning behöver dock inte vara perfekt, utan det är först i nästa steg - tillsammans med andra deltagare - som de slutliga lösningarna ska färdigställas.

====Gruppövningen lär dig att diskutera matematik med andra====
[[Bild:791049.jpg|right]]
När du skickat in din individuella inlämning kommer du automatiskt att bli grupperad tillsammans med tre andra personer som nyligen skickat in sin individuella inlämning.
Gruppen får ett eget gruppforum i systemet där man kan kommunicera och en knapp för att göra en gemensam gruppinlämning.

Gruppens uppgift är att granska samtliga medlemmars individuella inlämningar och sedan komma överens om en gemensam 'bästa' lösning till var och en av uppgifterna.

Gruppen gör sedan en gruppinlämning och det är dessa lösningar som granskas och kommenteras av dina lärare.
Läraren kommunicerar med hela gruppen, och om det är något gruppen har missat så har man möjlighet göra nya gruppinlämningar tills allt är klart och godkänt.
För att bli godkänd på gruppuppgiften måste du delta aktivt, t.ex. genom att ställa frågor och hjälpa till att arbeta fram förslag på er gemensamma gruppinlämning.

====Vänta med att skicka in din inlämningsuppgift om du ska resa bort====

Ibland kan det ta några dagar att bli grupperad, men oftast går det mycket fortare. Då är det meningen att gruppen direkt ska börja jobba med att lösa uppgiften.

Är du bortrest blir de övriga gruppdeltagarna lidande och kan inte börja jobba med gruppövningen. Därför, om du planerar en resa, ber vi dig vänta med att sända in din inlämningsuppgift till dess du är tillbaka och kan vara aktiv i grupparbetet.

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Så går kursen till

2007-07-18T12:00:28Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">
===Aktuella kunskaper ökar dina chanser att lyckas===

Kurserna är en överbryggning från gymnasiet in i högskolan och går igenom några av de basfärdigheter som vi tycker är viktiga att du har fullt uppdaterade inför dina högskolestudier. Du läser dem helt flexibelt i den takt som passar dig själv.

===Så här är det tänkt att du ska arbeta med kursen:===
[[Bild:799839.jpg‎ |right]]
*Börja med att läsa genomgången till ett avsnitt och tänka igenom exemplen.
*Arbeta därefter med övningsuppgifterna och svara på frågorna i grundprovet som hör till avsnittet. Skulle du fastna, se efter om någon ställt en fråga om just detta i avsnittets forum, annas ställ en fråga själv.
*När du är klar med övningsuppgifterna och grundproven i ett avsnitt så gör du slutprovet för att bli godkänd på avsnittet.
*När du klarat alla slutprov så får du en individuell inlämningsuppgift som du både ska lösa självständigt och skicka in och därefter bearbeta i grupp.

===Din personliga mentor stöder dig===

När du loggat in med ditt användarnamn kommer du till "Student lounge". Där hittar du mailadress och telefonnummer till din personliga mentor som du kan kontakta, om du kör fast på en uppgift eller har något du behöver fråga om.
[[Bild:791050.jpg|right]]
Mentorerna har tagit namn som Albert Einstein, Kurt Gödel, Archimedes osv, men bakom dem finns en hel grupp personer, vilka är lärare och/eller studenter på någon högskola inom MATH.SE. Din mentor vill inget hellre än att hjälpa dig. Vårt gemensamma mål är att alla som börjar på kursen ska klara av den och få en bra grund att stå på inför sina högskolestudier. För oss finns inga dumma frågor, bara dom som inte ställs!

[[Bild:791048.jpg|left‎ ]]

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Välkommen till kursen!

2007-07-18T11:50:54Z

Sammanfattning:

<table><tr><td width="600">
===Nu finns ett enkelt sätt att komma bättre rustad till dina högskolestudier.===

Den här kursen är till för dig som ska läsa ett program där matematik ingår, och som vill vara ordentligt förberedd inför kursstarten. Kursen heter internetmatte och är helt nätbaserad.

Det innebär att du kan planera din läsning själv och alltså få ut så mycket som möjligt av hösten och vintern samtidigt som du pluggar.

[[Bild:762263.jpg|thumb|250px|]]
'''Observera att materialet i denna kurs är utformat för att man ska arbeta med det utan hjälp av miniräknare.'''

När du kommer till högskolan kommer du nämligen ''inte'' att få använda miniräknare på dina "tentor", åtminstone inte på grundkurserna. På högre kurser i matematik har man knappast någon användning för miniräknare, eftersom matematiken då mer handlar om att förstå principer än att utföra räkneoperationer. Det är exempelvis viktigare att förstå varför 7 + 3 är detsamma som 3 + 7, än att kunna utföra additionen och få fram svaret 10.

<div class="inforuta">
'''Så här lyckas du med kursen'''

# Börja med att läsa genomgången till ett avsnitt och tänka igenom exemplen.
# Arbeta sedan med övningsuppgifterna och försök att lösa dem utan miniräknare. Kontrollera att du kommit fram till rätt svar genom att klicka på svarsknappen. Har du inte det, så kan du klicka på lösningsknappen, för att se hur du ska göra.
# Gå därefter vidare och svara på frågorna i grundprovet som hör till avsnittet.
# Skulle du fastna, se efter om någon ställt en fråga om just detta i avsnittets forum. Ställ annars en fråga om du undrar över något. Din lärare (eller en studiekamrat) kommer att besvara den inom några timmar.
# När du är klar med övningsuppgifterna och grundproven i ett avsnitt så ska du göra slutprovet för att bli godkänd på avsnittet. Där gäller det att svara rätt på tre frågor i följd för att kunna gå vidare.
# När du fått alla rätt på både grundprov och slutprov, så är du godkänd på den delen och kan gå vidare till nästa del i kursen.

    PS. Tycker du att innehållet i ett avsnitt känns väldigt bekant, så kan du testa att gå direkt till grundprovet och slutprovet. Du måste få alla rätt på ett prov, men kan göra om proven flera gånger, om du inte lyckas på första försöket. Det är ditt senaste resultat som visas i statistiken.

</div>
<br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br>

<br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br>

<br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br>

Sommarmatte2 PDF-material

2007-07-17T13:17:24Z

Sammanfattning:

https://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/Sommarmatte2_PDF-material

Sommarmatte1 PDF-material

2007-07-17T13:15:09Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
[[Välkommen till kursen!]]<br>
[[Så går kursen till]]<br>
[[Så går examination till]]<br>
[[Skriftlig framställning och kommunikation]]<br>
[[Innehåll]]<br>
[[Facit]]

<table width="100%">
<tr>
<td width="5%"> </td>
<td width="25%" valign="top">
[[1.1. Olika typer av tal]]<br>
[[1.2. Bråkräkning]]<br>
[[1.3. Potenser]]<br>
[[2.1. Algebraiska uttryck]]<br>
[[2.2. Linjära uttryck]]<br>
[[2.3. Andragradsuttryck]]<br>
[[3.1. Rötter]]<br>
[[3.2. Rotekvationer]]<br>
[[3.3. Logaritmer]]<br>
[[3.4. Logaritmekvationer]]<br>
[[4.1. Vinklar och cirklar]]<br>
[[4.2. Trigonometriska funktioner]]<br>
[[4.3. Trigonometriska samband]]<br>
[[4.4. Trigonometriska ekvationer]]
</td>
<td width="5%">
<td width="25%">
[[Övningar 1.1]]<br>
[[Övningar 1.2]]<br>
[[Övningar 1.3]]<br>
[[Övningar 2.1]]<br>
[[Övningar 2.2]]<br>
[[Övningar 2.3]]<br>
[[Övningar 3.1]]<br>
[[Övningar 3.2]]<br>
[[Övningar 3.3]]<br>
[[Övningar 3.4]]<br>
[[Övningar 4.1]]<br>
[[Övningar 4.2]]<br>
[[Övningar 4.3]]<br>
[[Övningar 4.4]]<br>
</td>
</tr>
</table>

4.4. Trigonometriska ekvationer

2007-07-17T08:40:47Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Trigonometriska grundekvationer
*Enklare trigonometriska ekvationer
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Lösa trigonometriska grundekvationer.
*Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
==Grundekvationer==
Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna $\,\sin x = a\,$, $\,\cos x = a\,$ och $\,\tan x = a\,$.

Dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel).

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Lös ekvationen $\ \sin x = \frac{1}{2}\,$.
<br>
<br>
Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.

<div align="center">[[Bild:t_3_5_1.gif||center]]</div>

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\,\frac{1}{2}\,$ är alltså
$$\left\{ \matrix{x=\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x=\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2n\pi}\right.$$
där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $\,y = \sin x\,$ skär linjen $\,y=\frac{1}{2}\,$.

<div align="center">[[Bild:3_5_02.gif‎||center]]</div>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

Lös ekvationen $\ \cos x = \frac{1}{2}\,$.
<br>
<br>
Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.

<div align="center">[[Bild:3_5_03.gif‎||center]]</div>

Vi vet att cosinus blir $\,\frac{1}{2}\,$ för vinkeln $\,\pi/3\,$. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $\,-\pi/3\,$. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}$$

där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

Lös ekvationen $\ \tan x = \sqrt{3}\,$.
<br><br>
En lösning till ekvationen är standardvinkeln $\,x=\pi/3\,$.

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.

<div align="center">[[Bild:t_3_5_2.gif|center]]</div>

Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$, <br>
$\qquad\qquad\qquad\qquad x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}\;$där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.
</div>

==Några mer komplicerade ekvationer==

Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna.

Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t ex leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Lös ekvationen $\ \cos 2x – 4\cos x + 3= 0\,$.
<br>
<br>
Omskrivning med hjälp av formeln $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$ ger
$$(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}$$

vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)

$$\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}$$

Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till

$$(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}$$

Denna ekvation kan bara vara uppfylld om $\,\cos x = 1\,$. Grundekvationen $\,\cos x=1\,$ kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är

$$x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Lös ekvationen $\ \frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0\,$.
<br>
<br>
Enligt den trigonometriska ettan är $\,\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1\,$, dvs. $\,1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x\,$.
Ekvationen kan alltså skrivas
$$\textstyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}$$

Genom att nu bryta ut en faktor $\,\sin x\,$ får vi
$$\sin x\,\cdot\,\bigl(\textstyle\frac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}$$

Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla $\,\sin x = 0\,$ eller $\,\sin x = -\frac{1}{2}\,$, vilka är två vanliga grundekvationer på formen $\,\sin x = a\,$ och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut
$$\left\{\eqalign{x&=n\pi\cr x&=-\pi/6+2n\pi\cr x&=7\pi/6+2n\pi\cr}\right.\qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Lös ekvationen $\ \sin 2x =4 \cos x\,$.
<br>
<br>
Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen
$$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}$$

Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor $\,\cos x\,$, vilket ger
$$\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}$$

Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna
* $\cos x = 0\,$,
* $\sin x = 2\,$.

Men $\,\sin x\,$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\,\sin x = 2\,$ saknar lösningar. Då återstår bara
$\,\cos x = 0\,$, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen $\,x = \pi / 2 + n \cdot \pi\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Lös ekvationen $\ 4 \sin^2\!x – 4 \cos x = 1\,$.
<br>
<br>
Med den trigonometriska ettan kan $\,\sin^2\!x\,$ bytas ut mot $\,1 – \cos^2\!x\,$. Då får vi
$$\eqalign{4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\cr \cos^2\!x + \cos x – \textstyle\frac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\cr}$$

Detta är en andragradsekvation i $\,\cos x\,$, som har lösningarna
$$\textstyle\cos x = -\frac{3}{2} \quad \mbox{och} \quad \cos x= \frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Eftersom värdet av $\,\cos x\,$ ligger mellan $–1$ och $1$ kan ekvationen $\,\cos x=-\frac{3}{2}$ inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen
$$\cos x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{,}$$

som löses enligt exempel 2.

</div>

<div class="inforuta">

'''Tänk på att:'''

Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck.

Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen $\,\sin x = a\,$, $\,\cos x = a\,$ eller $\,\tan x = a\,$ (där $\,a\,$ är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer har oändligt många lösningar.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

4.3. Trigonometriska samband

2007-07-17T08:36:56Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Trigonometriska ettan
*Formeln för dubbla och halva vinkeln
*Additions- och subtraktionsformlerna
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Härleda trigonometriska samband från symmetrier i enhetscirkeln.
*Förenkla trigonometriska uttryck med hjälp av de trigonometriska sambanden.

</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width="600">


=Teori=
Det finns en mängd trigonometriska samband, med vilka man kan översätta mellan sinus-, cosinus- och tangensvärden för en vinkel eller multiplar av en vinkel. Dessa brukar också kallas trigonometriska identiteter, eftersom de endast är olika sätt att beskriva ett och samma uttryck med hjälp av olika trigonometriska funktioner. Här kommer vi att beskriva några av dessa trigonometriska samband. Det finns många fler än vi kan behandla här. De flesta kan härledas utifrån den s k '''trigonometriska ettan''' och additionsformlerna (se nedan), vilka är viktiga att kunna utantill.

[[Bild:3_4_01.gif|right]]
===Trigonometriska ettan===
Detta samband är det mest grundläggande, men är i själva verket ingenting annat än Pythagoras sats, tillämpad i enhetscirkeln. Den rätvinkliga triangeln till höger visar att

$$(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}$$

vilket brukar skrivas $\,\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1\,$.

===Symmetrier===
Med hjälp av enhetscirkeln och spegling kan man tack vare de trigonometriska funktionernas symmetrier hitta en stor mängd samband mellan cosinus och sinus.

<div class="regel">
$$\eqalign{\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\cr \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\cr \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\cr \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\cr}\qquad\quad \eqalign{\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\cr \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\cr \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\cr \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\cr}$$
</div>

Istället för att försöka lära sig alla dessa samband utantill kan det vara bättre att lära sig härleda dem i enhetscirkeln.

'''Spegling i ''x''-axeln'''
{|
|-
| width=50% valign=top |
[[Bild:3_4_03.gif]]
| width=45% valign=top |
<br>
När en vinkel $\,v\,$ speglas i ''x''-axeln blir den $\,-v\,$.

Speglingen påverkar inte ''x''-koordinaten medan ''y''-koordinaten byter tecken
$$\eqalign{\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\cr \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\cr}$$
| width=5% valign=top |

|}

'''Spegling i ''y''-axeln'''
{|
|-
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_4_1.gif]]
| width=45% valign=top |
<br>
Vid spegling i ''y''-axeln ändras vinkeln $\,v\,$ till $\,\pi-v\,$ (spegelbilden bildar vinkeln $\,v\,$ mot den negativa ''x''-axeln).

Speglingen påverkar inte ''y''-koordinaten medan ''x''-koordinaten byter tecken
$$\eqalign{\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\cr \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\cr}$$
| width=5% valign=top |

|}

'''Spegling i linjen ''y = x'' '''
{|
|-
| width=50% valign=top |
[[Bild:3_4_05.gif‎]]
| width=45% valign=top |
<br>
Vinkeln $\,v\,$ ändras till vinkeln $\,\pi/2 - v\,$ (spegelbilden bildar vinkeln $\,v\,$ mot den positiva ''y''-axeln).

Speglingen gör att ''x''- och ''y''-koordinaterna byter plats
$$\eqalign{\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\cr \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\cr}$$
| width=5% valign=top |

|}

'''Vridning med vinkeln $\,\mathbf{\pi/2}\,$'''
{|
|-
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_4_2.gif]]
| width=40% valign=top |
<br>
En vridning $\,\pi/2\,$ av vinkeln $\,v\,$ betyder att vinkeln blir $\,v+ \pi/2\,$.

Vridningen gör att ''x''-koordinaten blir ny ''y''-koordinat och ''y''-koordinaten blir ny ''x''-koordinat fast med omvänt tecken
$$\eqalign{\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\cr \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}}$$
| width=10% valign=top |

|}

Alternativt kan man få fram dessa samband genom att spegla och/eller förskjuta graferna. Om man exempelvis vill ha ett samband där $\,\cos v\,$ uttrycks med hjälp av sinus så kan man förskjuta grafen för cosinus så att den passar med sinuskurvan. Detta kan göras på flera olika sätt, men mest naturligt faller det sig att skriva $\,\cos v = \sin (v + \pi / 2)\,$. För att undvika misstag kan man kontrollera att det stämmer för några olika värden på $\,v\,$.

<div align="center">[[Bild:766669.gif‎||center]]</div>

Kontroll: $\ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=0\,$.

==Additions- och subtraktionsformlerna och formler för dubbla vinkeln==
Ofta behöver man behandla uttryck där två eller flera vinklar är inblandade, t.ex. $\,\sin(u+v)\,$. Man behöver då de s.k. additionsformlerna. För sinus och cosinus har formlerna utseendet

<div class="regel">
$$\eqalign{\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\cr \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\cr}$$
</div>

Om man vill veta sinus eller cosinus för dubbla vinkeln, dvs $\,\sin 2v\,$ eller $\,\cos 2v\,$, så kan man skriva uttrycken som $\,\sin(v + v)\,$ eller $\,\cos(v + v)\,$ och använda additionsformlerna ovan och få

<div class="regel">
$$\eqalign{\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\cr \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\cr}$$
</div>

Ur dessa samband kan vi sedan få fram formler för halva vinkeln. Genom att byta ut $\,2v\,$ mot $\,v\,$, och följdaktligen $\,v\,$ mot $\,v/2\,$, i formeln för $\,\cos 2v\,$ får vi att
$$\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}$$

Vill vi ha en formel för $\,\sin(v/2)\,$ så använder vi därefter den trigonometriska ettan för att bli av med $\,\cos^2(v/2)$
$$\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2}\, – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}$$

dvs.

<div class="regel">
$$ \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}$$
</div>

På motsvarande sätt kan vi med den trigonometriska ettan göra oss av med $\,\sin^2(v/2)\,$. Då får vi istället

<div class="regel">
$$\cos^2\!\frac{v}{2}= \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}$$
</div>

<br><br>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Enhetscirkeln är ett ovärderligt hjälpmedel för att hitta trigonometriska samband. Sådana finns det gott om och det är ingen idé att försöka lära sig alla utantill. Det är också tidsödande att behöva slå upp och leta fram dem hela tiden. Därför är det mycket bättre att du lär dig använda enhetscirkeln.

Den allra mest kända trigonometriska formeln är den s k trigonometriska ettan. Den gäller för alla vinklar, inte bara för spetsiga. Den hänger ihop med Pythagoras sats.
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

4.2. Trigonometriska funktioner

2007-07-17T08:21:00Z

Sammanfattning: /* De trigonometriska funktionernas grafer */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens.
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Känna till begreppen spetsig, trubbig och rät vinkel.
*Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln.
*Utantill kunna värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna $\,0\,$, $\,\pi/6\,$ , $\,\pi/4\,$ , $\,\pi/3\,$ och $\,\pi/2\,$.
*Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna i någon kvadrant av enhetscirkeln.
*Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens.
*Lösa trigonometriska problem som involverar rätvinkliga trianglar.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
==Trigonometri i rätvinkliga trianglar==
I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten $\,a\,$ och den närliggande kateten $\,b\,$ för tangens av vinkeln $\,u\,$ och betecknas $\,\tan u\,$.

{|
|-
| width=5% valign=top |
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_3_1.gif]]
| width=45% valign=top |
<br>
$$\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}$$
|}

Värdet på kvoten $\,\frac{a}{b}\,$ är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln $\,u\,$. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Hur hög är flaggstången?              [[Bild:t_3_3_2.gif]]

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med $\,x\,$ nedan).

<div align="center">[[Bild:t_3_3_3.gif|center]]</div>

Från definitionen av tangens har vi att $\; \displaystyle\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}$

och eftersom $\,\tan 40^\circ \approx 0{,}84\,$ så är $\quad x= 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}$
</div>
<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

Bestäm längden av sidan markerad med $\,x\,$ i figuren. [[Bild:t_3_3_4.gif]]

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för $\,u\,$ så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för $\,\tan u\,$.

{|
|-
| width=5% valign=top |
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_3_5.gif]]
| width=45% valign=top |
<br>
$$\tan u = \displaystyle \frac{22}{40}$$
|}

{|
|-
| width=5% valign=top |
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_3_6.gif]]
| width=45% valign=top |
<br>
$$\tan u = \displaystyle \frac{x}{60}$$
|}

Sätter vi de två uttrycken för $\,\tan u\,$ lika fås
$$\frac{22}{40} = \frac{x}{60}$$

vilket ger att $\,x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33\,$.

</div>

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är $\,\cos u = b/c\,$ ("cosinus av $\,u\,$") och $\,\sin u = a/c\,$ ("sinus av $\,u\,$").

{|
|-
| width=5% valign=top |
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_3_7.gif]]
| width=45% valign=top |
$$\eqalign{\cos u &= \displaystyle \frac{b}{c}\cr \sin u &= \displaystyle \frac{a}{c}}$$
|}

Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln $\,u\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>[[Bild:t_3_3_8.gif|left]]I triangeln till vänster är
$$\eqalign{\cos u &= \textstyle\frac{4}{5}\cr \sin u &= \frac{3}{5}\cr}$$
</ol><br><br>
<ol type="a" start=2>
<li>[[Bild:t_3_3_9.gif|left]]Definitionen av sinus ger att
$$\sin 38^\circ = \frac{x}{5}$$
och vet vi att $\,\sin 38^\circ \approx 0{,}616\,$ så får vi att
$$x=5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}$$
</ol>
<ol type="a" start=3>
<li>[[Bild:t_3_3_10.gif|left]]Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan
$$\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}$$
Alltså är
$$x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Bestäm $\,\sin u\,$ i triangeln <div align="center">[[Bild:t_3_3_11.gif|center]]</div>

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

{|
|-
| width=5% valign=top |
| width=50% valign=top |
[[Bild:t_3_3_12.gif|left]]
| width=45% valign=top |
<br><br>
$$1^2= \bigl( \textstyle \frac{1}{2} \bigr)^2 + x^2\quad\Leftrightarrow\quad x= \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$$
|}

och därför är $\,\sin u = \displaystyle \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\,$.

</div>

==Några standardvinklar==
För vissa vinklar 30°, 45° och 60° går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.

[[Bild:t_3_3_13.gif|center]]

Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd $\,x\,$,
$$x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln $45^\circ$.

[[Bild:t_3_3_14.gif|left]]$$\eqalign{\cos 45^\circ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cr \sin 45^\circ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cr \tan 45^\circ &= \displaystyle \frac{1}{1}= 1\cr}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.

[[Bild:t_3_3_15.gif|center]]

Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är $\,x=\sqrt{3}/2\,$. Från en triangelhalva får vi att

<table width="100&">
<tr>
<td>
[[Bild:t_3_3_17.gif|left]]
</td>
<td>
$$\eqalign{\displaystyle\cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\cr \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}\,;\cr \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\cr}\qquad\; \eqalign{\cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\cr \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}\cr \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}}$$
</td>
</tr>
</table>

</div>

==Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar==
För vinklar som är mindre än 0° eller större än 90° definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1).

<div class="regel">
[[Bild:t_3_3_18.gif|right]]
De trigonometriska funktionerna $\,\cos u\,$ och $\,\sin u\,$ är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln $\,u\,$ med den positiva ''x''-axeln.

</div>

Tangensfunktionen definieras som

$$\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}$$

och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus.

<ol type="a">
<li>
[[Bild:3_3_19.gif|left]]
$\cos 104^\circ \approx -0{,}24$ <br><br>
$\sin 104^\circ \approx 0{,}97$ <br><br>
$\tan 104^\circ \approx \displaystyle \frac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0$ <br><br>
</ol>
<ol type="a" start=2>
<li>
[[Bild:3_3_20.gif|left]]
$\cos 201^\circ \approx -0{,}93$ <br><br>
$\sin 201^\circ \approx -0{,}36$ <br><br>
$\tan 201^\circ \approx \displaystyle \frac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4$
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Vilket tecken har

<ol type="a">
<li>[[Bild:t_3_3_21.gif|right]]$\cos 209^\circ$ <br><br>

Eftersom vinkeln $\,209^\circ\,$ kan skrivas som $\,209^\circ = 180^\circ + 29^\circ\,$ så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ ''x''-koordinat, vilket betyder att $\,\cos 209^\circ\,$ är negativ. <br>
<br><br>
<li>[[Bild:t_3_3_22.gif|right]]$\sin 133^\circ$ <br><br>
Vinkeln $\,133^\circ\,$ är lika med $\,90^\circ + 43^\circ\,$ och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv ''y''-koordinat och därför är $\,\sin 133^\circ\,$ positiv. <br>
<br><br>
<li>[[Bild:t_3_3_23.gif|right]]$\tan (-40^\circ)$ <br><br>
Ritas vinkeln $\,-40^\circ\,$ in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. $\,\tan (-40^\circ)\,$ är negativ. <br>
<br><br>
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

Bestäm $\ \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3}\,$.
<br>
<br>
Omskrivningen $\quad \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$

visar att vinkeln $\,2\pi/3\,$ hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln $\,\pi/6\,$ med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att $\,2\pi/3\,$-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten $\,\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2\,$. Alltså är
$$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}$$

<div align="center">[[Bild:t_3_3_24.gif|center]]</div>

</div>

==De trigonometriska funktionernas grafer==
I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.

<div align="center">[[Bild:3_3_03a.gif||center]]</div>

<div align="center">[[Bild:3_3_03b.gif||center]]</div>

<div align="center">[[Bild:766671.gif||center‎]]</div>

I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln.

* Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på $\,2\pi\,$, dvs. det gäller att $\,\cos (x+2\pi) = \cos x\,$ och $\,\sin (x+2\pi) = \sin x\,$. I enhetscirkeln motsvarar $\,2\pi\,$ ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.

*Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på $\,\pi\,$, dvs. $\,\tan (x+\pi) = \tan x\,$. Två vinklar som skiljer sig åt med $\,\pi\,$ ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.

*Förutom en fasförskjutning på $\pi/2$ är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. $\,\cos x = \sin (x+ \pi/2)\,$; mer om detta i nästa kapitel.

Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

Hur många lösningar har ekvationen $\,\cos x = x^2\,$? (där $x$ mäts i radianer)
<br>
<br>
Genom att rita upp graferna $\,y=\cos x\,$ och $\,y=x^2\,$ ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två ''x''-värden för vilka motsvarande ''y''-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.

<div align="center">[[Bild:t_3_3_25.gif||center]]</div>

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning.

Du kan behöva lägga ner mycket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna.

Ta för vana att räkna med exakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttryck.
</div>

4.1. Vinklar och cirklar

2007-07-17T08:10:00Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
*Pythagoras sats
*Avståndsformeln i planet
*Cirkelns ekvation
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Omvandla mellan grader, radianer och varv.
*Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
*Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
*Formulera och använda Pythagoras sats.
*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
*Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
==Vinkelmått==
Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer.

*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är $ ^\circ$.

<div align="center">[[Bild:3_2_1.gif]]</div>

*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså $\,2\pi\,$ radianer eftersom cirkelns omkrets är $\,2\pi r\,$, där $\,r\,$ är cirkelns radie.

[[Bild:3_2_2.gif||center]]

Ett helt varv är $\,360^\circ\,$ eller $\,2\pi\,$ radianer och det gör att
$$\eqalign{&1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer } = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\cr &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}}$$
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li>$30^\circ = 30 \cdot 1^\circ = 30 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }$ <br><br>
<li>$ \displaystyle \frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer } = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,) = \displaystyle \frac{\pi}{8} \cdot \displaystyle \frac{180^\circ}{\pi} = 22{,}5^\circ$
</ol>

</div>

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv.

[[Bild:t_3_2_4.gif]]
<br><br>
<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li>Vinklarna $\,-55^\circ\,$ och $\,665^\circ\,$ anger samma riktning eftersom
$$-55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}$$

<li>Vinklarna $\,\displaystyle\frac{3\pi}{7}\,$ och $\,-\displaystyle\frac{11\pi}{7}\,$ anger samma riktning eftersom
$$\frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}$$

<li> Vinklarna $\,36^\circ\,$ och $\,216^\circ\,$ anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
$$36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

==Avståndsformeln==
Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter $\,a\,$ och $\,b\,$, och hypotenusa $\,c\,$ gäller att

<div class="regel">
[[Bild:T_3_2_5.gif|right]]
'''Pythagoras sats:'''
$$c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

[[Bild:3_2_6.gif|right]]

I triangeln till höger är
$$c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25$$
och därför är hypotenusan $\,c\,$ lika med
$$c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}$$

</div>

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem.
<div class="regel">
'''Avståndsformeln:'''

Avståndet $\,d\,$ mellan två punkter med koordinater $\,(x, y)\,$ och $\,(a, b)\,$ är
$$d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}$$
</div>

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna.

<div align="center">[[Bild:3_2_7.gif]]</div>

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. $|x-a|$ respektive $|y-b|$. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>Avståndet mellan $\,(1,2)\,$ och $\,(3,1)\,$ är
$$d=\sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{ 4+1} = \sqrt{5}\,\mbox{.}$$

<li>Avståndet mellan $\,(-1,0)\,$ och $\,(-2,-5)\,$ är
$$d=\sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

==Cirklar==
En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd $\,r\,$ från en punkt $\,(a,b)\,$.

<div align="center">[[Bild:3_2_8.gif|center]]</div>

Avståndet $\,r\,$ kallas för cirkelns radie och punkten $\,(a,b)\,$ för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

<div align="center">[[Bild:3_2_10.gif|center]]</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

En cirkelsektor är given i figuren till höger. [[Bild:t_3_2_9.gif|right]]
<ol type="a">
<li>Bestäm cirkelbågens längd. <br><br>
Medelpunktsvinkeln $\,50^\circ\,$ blir i radianer
$$50^\circ= 50 \cdot 1^\circ = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer } = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }$$
På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer,
$$3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. } = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }$$
<li>Bestäm cirkelsektorns area. <br><br>
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är $$\frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}$$
och det betyder att dess area är $\,\frac{5}{36}\,$ delar av cirkelns area som är $\,\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi\,$, dvs.
$$\frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }$$
</ol>

</div>

En punkt $\,(x,y)\,$ ligger på cirkeln som har medelpunkt i $\,(a,b)\,$ och radie $\,r\,$ om dess avstånd till medelpunkten är lika med $\,r\,$. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som
<div class="regel">
[[Bild:T_3_2_11.gif|right]]
'''Cirkelns ekvation:'''
$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}$$

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
{|
|-
| width=50% valign=top |
<ol type="a">
<li>$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad$ är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(1,2)\,$ och radie $\,\sqrt{9} = 3\,$.<br><br>
</ol>
| width=45% valign=top |
[[Bild:t_3_2_12.gif|right]]
| width=5% valign=top |

|}

{|
|-
| width=50% valign=top |
<ol type="a" start=2>
<li>$x^2 + (y-1)^2 = 1\quad$ kan skrivas som $\,(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(0,1)\,$ och radie $\,\sqrt{1} = 1\,$.<br><br>
</ol>
| width=45% valign=top |
[[Bild:t_3_2_13.gif|right]]
| width=5% valign=top |

|}

{|
|-
| width=60% valign=top |
<ol type="a" start=3>
<li>$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad$ kan skrivas som $\,(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5\,$ och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i $\,(-1,3)\,$ och radie $\,\sqrt{5} \approx 2{,}236\,$.
</ol>
| width=40% valign=top |
[[Bild:t_3_2_14.gif|right]]

|}
</div>

<div class="exempel">

'''Exempel 7'''
{|
|-
| width=95% valign=top |
<ol type="a">
<li>Ligger punkten $\,(1,2)\,$ på cirkeln $\,(x-4)^2 +y^2=13\,$?<br><br>
Stoppar vi in punktens koordinater $\,x=1\,$ och $\,y=2\,$ i cirkelns ekvation har vi att <br>
$\mbox{VL }= (1-4)^2+2^2 = $ <br>
$=(-3)^2+2^2=9+4=13= \mbox{ HL}\,\mbox{.}$ <br>
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln. <br><br>
</ol>
<div align="center">[[Bild:t_3_2_15.gif]]</div>
|}

{|
|-
| width=95% valign=top |
<ol type="a" start=2>
<li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i $\,(3,4)\,$ och innehåller punkten $\,(1,0)\,$.<br><br>
Eftersom punkten $\,(1,0)\,$ ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från $\,(1,0)\,$ till medelpunkten $\,(3,4)\,$. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
$$c=\sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 }= \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}$$
Cirkelns ekvation är därför
$$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}$$
</ol>
<div align="center">[[Bild:t_3_2_16.gif]]</div>
|}

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är $\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\,$.

Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är $\,(a,b)\,$ och radien är $\,r\,$.

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller $\,x\,$ i vänsterledet
$$ \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1 =\underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1$$
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen).

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller $y$
$$ (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1= (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}$$

Vänsterledet är alltså lika med
$$ (x-1)^2 + (y+2)^2-4 $$

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
$$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}$$

Vi avläser att medelpunkten är $\,(1,-2)\,$ och radien är $\,\sqrt{4}= 2\,$.

<div align="center">[[Bild:766790.gif||center]]</div>
<br>
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.4. Logaritmekvationer

2007-07-17T08:05:09Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
* Logaritmekvationer
* Exponentialekvationer
* Falska rötter.
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
* Lösa ekvationer som innehåller logaritm- eller exponentialuttryck och som kan reduceras till första- eller andragradsekvationer.
* Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


==Grundekvationer==

Ekvationer där logaritmer behövs eller är inblandade förekommer i många olika fall.
Först ges några exempel där lösningen ges nästan direkt genom definitionen av logaritm, dvs.
$$\eqalign{10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\cr e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\cr}$$
(Vi använder oss här enbart av 10-logaritmer eller naturliga logaritmer.)
<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Lös ekvationerna
<ol type="a">
<li>$10^x = 537 \quad$ har lösningen $\,x = \lg 537\,$. <br><br>
<li> $10^{5x} = 537 \quad$ ger att $\,5x= \lg 537\,$, dvs. $\,x=\frac{1}{5} \lg 537\,$. <br><br>
<li> $\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad$ Multiplikation av båda led med $\,e^x\,$ och division med 5 ger att $\,\frac{3}{5}=e^x\,$, vilket betyder att $\,x=\ln\frac{3}{5}\,$.<br><br>
<li> $\lg x = 3 \quad$ Definitionen ger direkt att $\,x=10^3 = 1000\,$. <br><br>
<li> $\lg(2x-4) = 2 \quad$ Från definitionen har vi att $\,2x-4 = 10^2 = 100\,$ och då följer att $\,x = 52\,$.
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li> Lös ekvationen $\ (\sqrt{10}\,)^x = 25\,$.
<br>
<br>
Eftersom $\,\sqrt{10} = 10^{1/2}\,$ är vänsterledet lika med $\,(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}\,$ och ekvationen lyder
$$10^{x/2} = 25\,\mbox{.}$$
Denna grundekvation har lösningen $\,\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25\,$, dvs. $\,x= 2 \lg 25\,$. <br><br>

<li> Lös ekvationen $\ \displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}\,$.
<br>
<br>
Multiplicera båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led
$$ 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}$$
Dividera båda led med 3
$$ \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}$$
Nu ger definitionen direkt att $\,2x = e^{-1/3}\,$, vilket betyder att
$$ x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} $$
</ol>
</div>

I många praktiska tillämpningar rörande exponentiell tillväxt eller avtagande dyker det upp
ekvationer av typen
$$a^x = b\,\mbox{,}$$
där $\,a\,$ och $\,b\,$ är positiva tal. Dessa ekvationer löses enklast genom att ta logaritmen för båda led

$$\lg a^x = \lg b$$

och använda logaritmlagen för potenser

$$x \cdot \lg a = \lg b$$

vilket ger lösningen $\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen $\ 3^x = 20\,$.
<br>
<br>
Logaritmera båda led
$$\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}$$
Vänsterledet kan skrivas som $\,\lg 3^x = x \cdot \lg 3\,$ och då får vi att
$$x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2{,}727)\,\mbox{.}$$<br><br>

<li>Lös ekvationen $\ 5000 \cdot 1{,}05^x = 10\,000\,$.
<br>
<br>
Dividera båda led med 5000
$$1{,}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}$$
Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som $\,\lg 1{,}05^x = x\cdot\lg 1{,}05\,$,
$$x = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \quad ({}\approx 14{,}2)\,\mbox{.}$$<br>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen $\ 2^x \cdot 3^x = 5\,$.
<br>
<br>
Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till $\,2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x\,$ och ekvationen blir
$$6^x = 5\,\mbox{.}$$
Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att
$$x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0{,}898)\,\mbox{.}$$<br><br>

<li>Lös ekvationen $\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}\,$.
<br>
<br>
Logaritmera båda led och använd logaritmlagen $\,\lg a^b = b \cdot \lg a$
$$\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}$$
Samla $\,x\,$ i ena ledet
$$\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}$$
Lösningen är
$$x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

==Några mer komplicerade ekvationer==

Ekvationer som innehåller exponential- eller logaritmuttryck kan ibland behandlas som förstagrads- eller andragradsekvationer genom att betrakta "$\ln x$" eller "$e^x$" som obekant.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Lös ekvationen $\ \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}\,$.
<br>
<br>
Multiplicera båda led med $\,3e^x+1\,$ och $\,e^{-x}+2\,$ för att få bort nämnarna

$$6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}$$

Notera att eftersom $\,e^x\,$ och $\,e^{-x}\,$ alltid är positiva oavsett värdet på $\,x\,$ så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer $\,3e^x+1\,$ och $\,e^{-x} +2\,$ som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen.

Förenkla båda led
$$6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}$$
där vi använt att $\,e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1\,$. Betraktar vi nu $\,e^x\,$ som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen
$$e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}$$

En logaritmering ger sedan svaret
$$x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Lös ekvationen $\ \displaystyle \frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1\,$.
<br>
<br>
Termen $\,\ln \displaystyle \frac{1}{x}\,$ kan skrivas som $\,\ln \displaystyle \frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x\,$ och då blir ekvationen
$$\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}$$
där vi kan betrakta $\,\ln x\,$ som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med $\,\ln x\,$ (som är skild från noll när $\,x \neq 1\,$) får vi en andragradsekvation i $\,\ln x$
$$1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}$$
$$ (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}$$

Kvadratkomplettering av vänsterledet

$$\eqalign{\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\cr &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\cr}$$

följt av rotutdragning ger att

$$\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}$$

Detta betyder att ekvationen har två lösningar

$$ x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{och} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}$$<br>
</div>

===Falska rötter===

När man löser ekvationer gäller det också att tänka på att argument till logaritmer måste vara positiva och att uttryck av typen $\,e^{(\ldots)}\,$ bara kan anta positiva värden. Risken är annars att man får med falska rötter.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Lös ekvationen $\ \ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)\,$.
<br>
<br>
För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten $\,4x^2-2x\,$ och $\,1-2x\,$ vara lika,

$$4x^2 - 2x = 1 - 2x , \quad \quad \quad \quad (*)$$

och dessutom positiva. Vi löser ekvationen $(*)$ genom att flytta över alla termer i ena ledet

$$4x^2 - 1= 0 $$

och använder rotutdragning. Detta ger att

$$\textstyle x= -\frac{1}{2} \quad \mbox{och} \quad x= \frac{1}{2} \; \mbox{.}$$

Vi kontrollerar nu om båda led i $(*)$ är positiva
* Om $x= -\frac{1}{2}\,$ blir båda led lika med $\,4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\frac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0\,$.
* Om $x= \frac{1}{2}\,$ blir båda led lika med $\,4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \frac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0\,$.

Alltså har logaritmekvationen bara en lösning $\,x= -\frac{1}{2}\,$.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Lös ekvationen $\ e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}\,$.
<br>
<br>
Den första termen kan vi skriva som $\,e^{2x} = (e^x)^2\,$. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med $\,e^x\,$ som obekant
$$(e^x)^2 - e^x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver $\,t\,$ istället för $\,e^x\,$,

$$t^2 -t = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Kvadratkomplettera vänsterledet

$$\eqalign{\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\cr \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\cr}$$

vilket ger lösningarna

$$t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \mbox{och} \quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}$$

Eftersom $\,\sqrt3 > 1\,$ så är $\,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0\,$ och det är bara $\,t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3\,$ som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom $\,e^x\,$ alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att

$$x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)$$

är den enda lösningen till ekvationen.

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.

Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.3. Logaritmer

2007-07-17T07:59:21Z

Sammanfattning: /* Byte av bas */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Logaritmer
*Logaritmlagar
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Känna till begreppen bas och exponent.
*Känna till beteckningarna $\,\ln\,$, $\,\lg\,$, $\,\log\,$ och $\,\log_{\,a}\,$.
*Beräkna enkla logaritmuttryck med hjälp av logaritmens definition.
*Logaritmen är bara definierad för positiva tal.
*Känna till talet $\,e\,$.
*Hantera logaritmlagarna i förenkling av logaritmuttryck.
*Veta när logaritmlagarna är giltiga.
*Uttrycka en logaritm i termer av en logaritm med en annan bas.
*Lösa ekvationer som innehåller exponentialuttryck och som med logaritmering leder till förstagradsekvationer.
*Avgöra vilket av två logaritmuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/argument.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
===Logaritmer med basen 10===
Man använder gärna potenser med basen $10$ för att skriva stora och små tal, t.ex.

$$\eqalign{10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\cr 10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0{,}01\,\mbox{.}}$$

Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att

:::"exponenten för 1000 är 3", eller
:::"exponenten för 0,01 är -2".

Precis så är ''logaritmer'' definierade. Man uttrycker sig på följande sätt:

:::"''logaritmen'' för 1000 är 3" , vilket skrivs $\,\lg 1000 = 3\,$,
:::"''logaritmen'' för 0,01 är -2" , vilket skrivs $\,\lg 0{,}01 = -2\,$.

Mer allmänt kan man uttrycka sig:

:::Logaritmen av ett tal $\,y\,$ betecknas med $\,\lg y\,$ och är den exponent som ska stå i den blåa rutan i likheten

$$10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} $$

Notera här att $\,y\,$ måste vara ett positivt tal för att logaritmen $\,\lg y\,$ ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av 10 som blir negativ eller noll.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li>$ \lg 100000 = 5\quad$ eftersom $\,10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000\,$.<br><br>
<li>$ \lg 0{,}0001 = -4\quad$ eftersom $\,10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0{,}0001\,$.<br><br>
<li>$ \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad$ eftersom $\,10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}\,$.<br><br>
<li>$ \lg 1 = 0\quad$ eftersom $\,10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1\,$.<br><br>
<li>$ \lg 10^{78} = 78\quad$ eftersom $\,10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}\,$. <br><br>
<li>$ \lg 50 \approx 1{,}699\quad$ eftersom $\,10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1{,}699\,}} \approx 50\,$.<br><br>
<li> $ \lg (-10)\,$ existerar inte eftersom $\,10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}$ aldrig kan bli -10 oavsett hur $\,a\,$ väljs.
</ol>

</div>

I det näst sista exemplet kan man snabbt inse att $\,\lg 50\,$ måste ligga någonstans mellan 1 och 2 eftersom $\,10^1 < 50 < 10^2\,$, men för att få fram ett mer exakt värde på det irrationella talet $\,\lg 50 = 1{,}69897\ldots\,$ behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.)

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li>$10^{\textstyle\,\lg 100} = 100$ <br><br>
<li>$ 10^{\textstyle\,\lg a} = a$ <br><br>
<li>$ 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50$
</ol>

</div>

===Olika baser===
Man kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 10 (utom 1!).
Man måste då tydligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen.
Använder man t.ex. 2 som bas skriver man $\,\log_{\,2}\,$ för "2-logaritmen".

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>$\log_{\,2} 8 = 3\quad$ eftersom $\,2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8\,$.<br><br>
<li>$\log_{\,2} 2 = 1\quad$ eftersom $\,2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2\,$. <br><br>
<li>$\log_{\,2} 1024 = 10\quad$ eftersom $\,2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024\,$.<br><br>
<li>$\log_{\,2} \displaystyle\frac{1}{4} = -2\quad$ eftersom $\displaystyle \,2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\,$.
</ol>

</div>

På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>$ \log_{\,3} 9 = 2\quad$ eftersom $\,3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9\,$. <br><br>
<li>$ \log_{\,5} 125 = 3\quad$ eftersom $\,5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125\,$. <br><br>
<li>$ \displaystyle\log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad$ eftersom $\,4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \displaystyle \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\,$. <br><br>
<li>$ \displaystyle\log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad$ eftersom $\,b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \displaystyle \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}\,$ (om $b>0$ och $b\not=1$).
</ol>

</div>

Om basen 10 används, skriver man sällan $\,\log_{\,10}\,$, utan som vi tidigare
sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare.

===Naturliga logaritmer===
I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 10 även
talet $\,e\,$ $({}\approx 2{,}71828 \ldots\,)$. Logaritmer med basen ''e'' kallas
''naturliga logaritmer'' och skrivs ln i stället för $\,\log_{\,e}\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

<ol type="a">
<li>$ \ln 10 \approx 2{,}3\quad$ eftersom $\,e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10\,$. <br><br>
<li>$ \ln e = 1\quad$ eftersom $\,e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e\,$. <br><br>
<li>$ \displaystyle\ln\frac{1}{e^3} = -3\quad$ eftersom $\,e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \displaystyle \frac{1}{e^3}\,$. <br><br>
<li>$ \ln 1 = 0\quad$ eftersom $\,e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1\,$. <br><br>
<li>Om $\,y= e^{\,a}\,$ så är $\,a = \ln y\,$. <br><br>
<li>$ e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5$ <br><br>
<li>$ e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x$
</ol>

</div>

På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 10-logaritmer och naturliga logaritmer.

===Logaritmlagar===
Mellan år 1617 och 1624 publicerade Henry Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till 20 000 och år 1628 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till 100 000.
Anledningen till att man la ned så enormt mycket arbete på sådana tabeller är att man med hjälp av logaritmer kan multiplicera ihop tal bara genom att addera ihop deras logaritmer (addition går mycket snabbare att utföra än multiplikation).

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Beräkna $\,35\cdot 54\,$.
<br>
<br>
Om vi vet att $\,35 \approx 10^{\,1{,}5441}\,$ och $\,54 \approx 10^{\,1{,}7324}\,$ (dvs. $\,\lg 35 \approx 1{,}5441\,$ och $\,\lg 54 \approx 1{,}7324\,$) då kan vi räkna ut att

$$ 35 \cdot 54 \approx 10^{\,1{,}5441} \cdot 10^{\,1{,}7324} = 10^{\,1{,}5441 + 1{,}7324} = 10^{\,3{,}2765}$$

och vet vi sedan att $\,10^{\,3{,}2765} \approx 1890\,$ (dvs. $\,\lg 1890 \approx 3{,}2765\,$) så har vi lyckats beräkna produkten

$$35 \cdot 54 = 1890$$

och detta bara genom att addera ihop exponenterna $\,1{,}5441\,$ och $\,1{,}7324\,$.<br><br>
</div>

Detta är ett exempel på en logaritmlag som säger att

$$\log (ab) = \log a + \log b$$

och som följer av att å ena sidan är

$$a\cdot b =10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\} = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}$$

och å andra sidan är

$$a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}$$

Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande ''logaritmlagar'':

<div class="regel">
$$\eqalign{\log(ab) &= \log a + \log b,\cr \log\displaystyle \frac{a}{b} &= \log a - \log b,\cr \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\cr}$$
</div>

Logaritmlagarna gäller oavsett bas.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

<ol type="a">
<li>$\lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28$<br><br>
<li>$ \lg 6 - \lg 3 = \lg\displaystyle \frac{6}{3} = \lg 2$ <br><br>
<li>$ 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25$ <br><br>
<li>$\lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2$<br>
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

<ol type="a">
<li>$ \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 $<br>
$\phantom{ \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 } = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3$ <br><br>
<li>$\displaystyle\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\frac{1}{\sqrt{e}}$<br>
$\phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{}= \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}$<br><br>
<li>$ \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)$<br>
$\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}= \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3)-\frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$<br>
$\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}= \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}$<br>
$\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}= \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4 $<br>
$\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}= 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3$<br>
$\phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{}= 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}$ <br><br>
<li>$ \lg a^3 - 2 \lg a + \lg \displaystyle \frac{1}{a} =3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}$<br>
$\phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg \displaystyle \frac{1}{a}}{}= (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0$
</ol>

</div>

===Byte av bas===
Ibland kan det vara bra att kunna uttrycka en logaritm som en logaritm av en annan bas.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

<ol type="a">
<li>Uttryck $\,\lg 5\,$ i naturliga logaritmen.
<br>
<br>
Per definition är $\,\lg 5\,$ det tal som uppfyller likheten
$$10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}$$

Logaritmera båda led med ln (naturliga logaritmen)
$$\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}$$

Med hjälp av logaritmlagen $\,\ln a^b = b \ln a\,$ kan vänsterledet skrivas som $\,\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,$ och likheten blir
$$\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}$$

Dela nu båda led med $\,\ln 10\,$ så får vi svaret
$$\lg 5 = \displaystyle \frac{\ln 5}{\ln 10} \qquad (\approx 0{,}699\,,\quad\text{dvs.}\ 10^{0{,}699} \approx 5)\,\mbox{.}$$ <br><br>
<li> Uttryck 2-logaritmen för 100 i 10-logaritmen lg.
<br>
<br>
Om vi skriver upp sambandet som definierar $\,\log_2 100\,$
$$2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100$$

och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (lg) så får vi att
$$\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}$$

Eftersom $\,\lg a^b = b \lg a\,$ så är $\,\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2\,$ och högerledet kan förenklas till $\,\lg 100 = 2\,$. Detta ger oss likheten
$$\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}$$

Division med $\,\lg 2\,$ ger slutligen att
$$\log_{\scriptstyle 2} 100 = \displaystyle \frac{2}{\lg 2} \qquad ({}\approx 6{,}64\,,\quad\text{dvs.}\ 2^{6{,}64}\approx 100 )\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

Den allmänna formeln för byte från en bas $\,a\,$ till en bas $\,b\,$ kan härledas
på samma sätt

$$\log_{\scriptstyle\,a} x = \displaystyle \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}\,\mbox{.}$$

Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer.
Om man exempelvis vill skriva $ 2^5 $ med basen 10 så
skriver man först om 2 med basen 10,
$$2 = 10^{\lg 2}$$

och utnyttjar sedan en av potenslagarna
$$2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}\quad ({}\approx 10^{1,505})\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

<ol type="a">
<li>Skriv $ 10^x $ med basen ''e''.
<br>
<br>
Först skriver vi 10 som en potens av ''e'',
$$10 = e^{\ln 10}$$

och använder sedan potenslagarna
$$ 10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} \approx e^{2{,}3 x}\,\mbox{.}$$ <br><br>

<li>Skriv $\,e^{\,a}\,$ med basen 10.
<br>
<br>
Talet $\,e\,$ kan vi skriva som $\,e=10^{\lg e}\,$ och därför är
$$e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{\,a \cdot \lg e} \approx 10^{\,0{,}434a}\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.

Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.2. Rotekvationer

2007-07-17T07:56:44Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Rotekvationer av typen $\,\sqrt{ax+b}= cx +d $
*Falska rötter
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering.
*Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>

=Teori=
Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.

$$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$

$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$

$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$

För att lösa rotekvationer vill man bli av med rottecknet.
Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen
så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet.
Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen.
När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får
fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella
minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Oavsett om man hade något
positivt eller negativt så har man alltid något positivt efter en kvadrering.
Därför måste man pröva de lösningar som man får fram.
Man behöver verifiera att de inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen,
utan också till den ursprungliga ekvationen.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation

$$x = 2\mbox{.}$$

Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

$$x^2 = 4\mbox{.}$$

Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$.
Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.

</div>

<div class="exempel">

'''Exempel 2'''

Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.
<br>
<br>
Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2,
men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen
som den är får vi
$$4(x - 1) = (1 - x)^2$$
och utvecklar vi kvadraten fås
$$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$
Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas
$$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$

Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln.
Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.

Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:

* $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen är uppfylld!
* $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen är ''inte'' uppfylld!

Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$.

[[Bild:772637.gif||center‎]]

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. '''falska rötter'''. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen.

'''Du ska alltid pröva lösningen i rotekvationer.'''

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.1. Rötter

2007-07-17T07:47:40Z

Sammanfattning: /* Förenkling av rotuttryck */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Kvadratrot och n:te rot
*Rotlagar
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''<br/>
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierat (''n'' udda).
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width="600">


=Teori=

==Kvadratrötter==
[[Bild:761369.gif|right]]
Symbolen $\,\sqrt{a}\,$, kvadratroten ur $\,a\,$, används som bekant för att beteckna
det tal som multiplicerat med sig självt blir $a$.
Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har två lösningar $\,x = 2\,$ och $\,x = -2\,$, eftersom såväl $\,2\cdot 2 = 4\,$ som $\,(-2)\cdot(-2) = 4\,$. Man skulle då kunna tro att $\,\sqrt{4}\,$ kan vara vilket som helst av $\,-2\,$ och $\,2\,$, dvs. $\,\sqrt{4}= \pm 2\,$, men $\,\sqrt{4}\,$ betecknar ''bara'' det positiva talet $2$.

<div class="regel">
Kvadratroten $\sqrt{a}\,$ betecknar det '''icke-negativa tal''' som multiplicerat med sig självt blir $\,a,\,$ dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen $\,x^2 = a\,$.

Kvadratroten ur $\,a\,$ kan även skrivas $\,a^{1/2}\,$.
</div>

Det är därför fel att påstå att $\,\sqrt{4}= \pm 2,\,$
men korrekt att säga att ekvationen $\,x^2 = 4\,$ har lösningarna
$\,x = \pm 2\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''
<ol type="a">
<li>$\sqrt{0}=0 \quad$ eftersom $\,0^2 = 0 \cdot 0 = 0\,$ och $\,0\,$ är inte negativ. <br><br>
<li>$\sqrt{100}=10 \quad$ eftersom $\, 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \,$ och $\,10\,$ är ett positivt tal. <br><br>
<li> $\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad$ eftersom $\,0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \,$ och $\,0{,}5\,$ är positiv. <br><br>
<li>$\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad$ eftersom $\,1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 \,$ och $1{,}4142$ är positiv. <br><br>
<li>Ekvationen $\,x^2=2\,$ har lösningarna $\,x=\sqrt{2}\approx 1{,}414\,$ och $\,x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414\,$.<br><br>
<li>$\sqrt{-4}\quad$ är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal $\,x\,$ som uppfyller $\,x^2=-4\,$.<br><br>
<li>$ \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad$ eftersom $\, \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7\,$.
</ol>
</div>

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några
räkneregler. Eftersom  $ \sqrt{a} = a^{1/2} $  kan vi överföra
potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att
$$\sqrt{9\cdot 4} = (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\,\mbox{.}$$
På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter,
som gäller för alla reella tal $ a, b \ge 0:$

<div class="regel">
$$\eqalign{\sqrt{ab}&=\sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\cr \sqrt{\frac{a}{b}}&= \frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}\cr a\sqrt{b}&=\sqrt{a^2b}}$$
</div>
(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att ''b'' inte är 0.)

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
<ol type="a">
<li>$\sqrt{64\cdot 81}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9 =72$ <br><br>
<li>$ \sqrt{\displaystyle\frac{9}{25}} =\displaystyle\frac{\sqrt{9}}{ \sqrt{25}}= \displaystyle\frac{3}{5}$ <br><br>
<li>$ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} =\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$ <br><br>
<li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ <br><br>
<li>$ \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
</ol>

</div>

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att $\,a\,$ och $\,b \ge 0\,$.
Om $\,a\,$ och $\,b\,$ är negativa (< 0) så är inte $\,\sqrt{a}\,$ och $\,\sqrt{b}\,$
definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

$$-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1$$

men ser då att något inte stämmer.
Anledningen är att  $ \sqrt{-1} $  inte är ett reellt tal,
vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.

==N:te rötter==
Kubikroten ur ett tal $a$ definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger $a$, och betecknas $\sqrt[\scriptstyle 3]{a}$.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<ol type="a">
<li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad$ eftersom $\; 2 \cdot 2 \cdot 2=8$. <br><br>
<li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad$ eftersom $\; 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}027$. <br><br>
<li>$\quad \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad$ eftersom $\; (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8$.
</ol>

</div>

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för postiva heltal $n$ definiera n:te roten ur ett tal $a$ som

* om $\,n\,$ är jämn och $\,a\ge0\,$ är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$,
* om $\,n\,$ är udda så är $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ det tal som multiplicerat med sig självt $\,n\,$ gånger blir $\,a\,$.

Roten $\,\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,$ kan även skrivas som $\,a^{1/n}\,$.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
<ol type="a">
<li>$ \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad$ eftersom $\,5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\,$. <br><br>
<li>$ \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad$ eftersom $\,(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243\,$. <br><br>
<li>$\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad$ är inte definierat eftersom $\,6\,$ är jämn och $\,-17\,$ är ett negativt tal.
</ol>

</div>

För $n$:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om $\,a, \, b \ge 0\,$.
Observera att om $n$ är udda gäller de även för negativa $\,a\,$ och $\,b\,$, dvs. för alla reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$.

<div class="regel">
$$\eqalign{\sqrt[\scriptstyle n]{ab}&=\sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\cr \sqrt[\scriptstyle n]{\displaystyle\frac{a}{b}}&=\displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\cr a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}&=\sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}}$$
</div>

==Förenkling av rotuttryck==
Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck
väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så
"små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

eftersom man då kan förenkla t.ex.

$$\frac{\sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}$$

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma
sort", t.ex.

$$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} =3\sqrt{2}\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$ <br><br>
<li>$ \displaystyle\frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}$<br><br>
<li>$\sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5}$<br>
$\phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$<br><br>
<li>$\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}$<br/>
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}$<br>
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br>
$\phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}$<br><br>

<li>$\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } =
\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } =
\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } =
\frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} }$<br>
$\phantom{\displaystyle\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} }} \displaystyle = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}} {\sqrt[\scriptstyle3]{2}} =
\frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } =
\sqrt[\scriptstyle3]{2}$ <br><br>
<li>$(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1$ <br>
:där vi använt konjugatregeln $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$ med $\,a=\sqrt{3}\,$ och $\,b=\sqrt{2}\,$.
</ol>

</div>

==Rationella rotuttryck==
När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter
i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med  $ \sqrt{2} $  kan man
exempelvis göra omskrivningen

$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$$

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, $\,(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\,$, och förlänga
med nämnarens s.k. ''konjugerade uttryck''. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

$$\eqalign{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\cr &= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 1}{ (\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\,\mbox{.}}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$ <br><br>
<li>$\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$<br><br>
<li>$\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}$<br><br>
<li>$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2-(\sqrt{3}\,)^2}$<br>
$\displaystyle\phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3}\vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}$
</ol>

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: $\sqrt{x}=x^{1/2}$

</div>

2.3. Andragradsuttryck

2007-07-17T07:23:23Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Kvadratkomplettering
*Andragradsekvationer
*Faktorisering
*Parabler
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Kvadratkomplettera andragradsuttryck.
*Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret.
*Faktorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
*Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer.
*Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttryck antar.
*Skissera parabler genom kvadratkomplettering.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
==Andragradsekvationer==
En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som
$$x^2+px+q=0$$
där $x$ är den obekanta och $p$ och $q$ är konstanter.

Enklare typer av andragradsekvationer kan vi lösa direkt genom rotutdragning.
<div class="regel">
Ekvationen $\,x^2=a\,$ där $a$ är ett postivt tal har två lösningar (rötter) $\,x=\sqrt{a}\,$ och $\,x=-\sqrt{a}\,$.
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li>$x^2 = 4 \quad$ har rötterna $\,x=\sqrt{4} = 2\,$ och $\,x=-\sqrt{4}= -2\,$. <br><br>
<li>$2x^2=18 \quad$ skrivs om till $\,x^2=9\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt9 = 3\,$ och $\,x=-\sqrt9 = -3\,$.<br><br>
<li>$3x^2-15=0 \quad$ kan skrivas som $\,x^2=5\,$ och har rötterna $\,x=\sqrt5 \approx 2{,}236\,$ och $\,x=-\sqrt5 \approx -2{,}236\,$.<br><br>
<li>$9x^2+25=0\quad$ saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur $x$ väljs (kvadraten $x^2$ är alltid större än eller lika med noll).
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen $\ (x-1)^2 = 16\,$. <br><br>
Genom att betrakta $\,x-1\,$ som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
*$x-1 =\sqrt{16} = 4\,$ vilket ger att $\,x=1+4=5\,$,
*$x-1 = -\sqrt{16} = -4\,$ vilket ger att $\,x=1-4=-3\,$. <br><br>
<li>Lös ekvationen $\ 2(x+1)^2 -8=0\,$. <br><br>
Flytta över termen $8$ till högerledet och dela båda led med $2$,
$$(x+1)^2=4 \; \mbox{.}$$
Rotutdragning ger att:
*$x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1$
*$x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3$ <br><br>
</ol>

</div>

För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering.

Om vi betraktar kvadreringsregeln
$$x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2$$
och subtraherar $a^2$ från båda led så får vi

<div class="regel">
'''Kvadratkomplettering:'''
$$x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen $\ x^2 +2x -8=0\,$. <br><br>
De två termerna $\,x^2+2x\,$ kvadratkompletteras (använd $\,a=1\,$ i formeln)
$$\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,$$
där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som
$$(x+1)^2 -9 = 0,$$
vilken vi löser med rotutdragning
*$x+1 =\sqrt{9} = 3\,$ och därmed $\,x=-1+3=2\,$,
*$x+1 =-\sqrt{9} = -3\,$ och därmed $\,x=-1-3=-4\,$. <br><br>
<li>Lös ekvationen $\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0\,$. <br><br>
Dividera båda led med 2
$$x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}$$
Vänsterledet kvadratkompletteras (använd $a=-\frac{1}{2}$)
$$\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1$$
och detta ger oss ekvationen
$$\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\,\mbox{.}$$
Rotutdragning ger att
*$x-\frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\,$,
*$x-\frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad$ d.v.s. $\quad x=\frac{1}{2}-1= -\frac{1}{2}\,$.
</ol>

</div>

<div class="tips">
'''Tips:'''

Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om ekvationen blir uppfylld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För exempel 3a ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänster- och högerleden för VL respektive HL:

* $x = 2\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{HL}\,$.

* $x = -4$ medför att $\,\mbox{VL} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{HL}\,$.

I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppfylld i båda fallen.
</div>

Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen
$$x^2+px+q=0$$
har lösningarna
$$x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$
förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.

Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen $\ x^2-4x=0\,$. <br><br>
I vänsterledet kan vi bryta ut ett $x$
:$x(x-4)=0\,$.
Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
*$x =0,\quad$ eller
*$x-4=0\quad$ d.v.s. $\quad x=4\,$.
</ol>

</div>

==Parabler==
Funktionerna
$$\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}$$
är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som
$$y=ax^2+bx+c$$
där $a$, $b$ och $c$ är konstanter och där $a\ne0$.

Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel $\,y=x^2\,$ och $\,y=-x^2$.

<center>[[Bild:t_3_1_1b.gif]] [[Bild:t_3_1_2b.gif]]</center>

Eftersom uttrycket $\,x^2\,$ är som minst när $\,x=0\,$ har parabeln $\,y=x^2\,$ ett minimum när $\,x=0\,$ och parabeln $\,y=-x^2\,$ ett maximum för $\,x=0\,$.

Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring $y$-axeln eftersom värdet på $\,x^2\,$ inte beror på vilket tecken $x$ har.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
[[Bild:t_3_1_3b.gif|right]]

<ol type="a">
<li>Skissera parabeln $\ y=x^2-2\,$. <br><br>
Jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ har punkter på parabeln ($\,y=x^2-2\,$) $y$-värden som är två enheter mindre, d.v.s. parabeln är förskjuten två enheter neråt i $y$-led. <br><br>
</ol>

<br><br><br><br><br><br><br>

[[Bild:t_3_1_4b.gif|right]]
<ol type="a" start=2>
<li>Skissera parabeln $\ y=(x-2)^2\,$. <br><br>
På parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ behöver vi välja $x$-värden två enheter större jämfört med parabeln $\,y=x^2\,$ för att få motsvarande $y$-värden. Alltså är parabeln $\,y=(x-2)^2\,$ förskjuten två enheter åt höger jämfört med $\,y=x^2\,$.<br><br>
</ol>

<br><br><br><br><br><br><br><br>

[[Bild:766663.gif|right]]
<ol type="a" start=3>
<li>Skissera parabeln $\,y=2x^2\,$. <br><br>
Varje punkt på parabeln $\,y=2x^2\,$ har dubbelt så stort $y$-värde än vad motsvarande punkt med samma $x$-värde har på parabeln $\,y=x^2\,$. Parabeln $\,y=2x^2\,$ är expanderad med faktorn $2$ i $y$-led jämfört med $\,y=x^2\,$.
</ol>

<br><br><br><br><br><br><br><br>

</div>

Med kvadratkomplettering kan vi behandla alla typer av parabler.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Skissera parabeln $\ y=x^2+2x+2\,$.

Om högerledet kvadratkompletteras
$$x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1$$
så ser vi från det resulterande uttrycket $\,y= (x+1)^2+1\,$ att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i $x$-led jämfört med $\,y=x^2\,$ (eftersom det står $\,(x+1)^2\,$ istället för $\,x^2\,$) och en enhet uppåt i $y$-led.
<br>
<div align="center">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</div>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Bestäm var parabeln $\,y=x^2-4x+3\,$ skär $x$-axeln.

En punkt ligger på $x$-axeln om dess $y$-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har $y=0$ har en $x$-koordinat som uppfyller ekvationen
$$x^2-4x+3=0\mbox{.}$$

Vänsterledet kvadratkompletteras
$$x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$$
och detta ger ekvationen
$$(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}$$
Efter rotutdragning får vi lösningarna
*$x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2+1=3\,$,
*$x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad$ d.v.s. $\quad x=2-1=1\,$.

Parabeln skär $x$-axeln i punkterna $\,(1,0)\,$ och $\,(3,0)\,$.

<div align="center">[[Bild:t_3_1_6b.gif]]</div>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Bestäm det minsta värde som uttrycket $\,x^2+8x+19\,$ antar.

Vi kvadratkompletterar
$$x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3$$
och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten $\,(x+4)^2\,$ alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad $x$ är. <br><br>
I figuren till höger ser vi att hela parabeln $\,y=x^2+8x+19\,$ ligger ovanför <br>
$x$-axeln och har ett minimumvärde 3 när $\,x=-4\,$.

<div align="center">[[Bild:t_3_1_7b.gif]]</div>

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

2.2. Linjära uttryck

2007-07-16T14:32:01Z

Sammanfattning: /* Områden i koordinatsystem */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Förstagradsekvationer
*Räta linjens ekvation
*Geometriska problem
*Områden som definieras av olikheter
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
*Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0.
*Skissera räta linjer utgående från ekvationen.
*Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer.
*Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width="600">


=Teori=

==Förstagradsekvationer==
För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer <br>
på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får <br>$x$ ensamt i ena ledet.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li>Lös ekvationen $x+3=7$. <br/><br/>
Subtrahera $3$ från båda led <br>
:$x+3-3=7-3$. <br>
Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att <br>
:$x=7-3=4$. <br><br>
<li>Lös ekvationen $3x=6$. <br><br>
Dividera båda led med $3$ <br>
:$\displaystyle\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,$.<br>
Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att <br>
:$\displaystyle x=\frac{6}{3} = 2$. <br><br>
<li> Lös ekvationen $2x+1=5$<br><br>
Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet <br>
:$2x=5-1$.<br>
Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret <br>
:$\displaystyle x = \displaystyle\frac{4}{2}$.<br>
</ol>

</div>

En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt <br> $x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$).<br>
De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva<br> lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. <br>Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär<br> normalform och därmed får en unik lösning.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

Lös ekvationen $\,2x-3=5x+7$.<br><br>
Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda led
$$2x-3-2x=5x+7-2x$$
och får $x$ samlat i högerledet
$$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$
Nu subtraherar vi 7 från båda led
$$-3 -7 = 3x +7-7$$
och får $3x$ ensamt kvar i högerledet
$$-10=3x\,\mbox{.}$$
Det sista steget är att dividera båda led med $3$
$$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$
och detta ger att
$$x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.<br><br>
Genom att subtrahera båda led med $3x$
$$ax+7-3x=3x-b-3x$$
$$ax+7-3x=-b$$
och sedan med $7$
$$ax+7-3x -7=-b-7$$
$$ax-3x=-b-7$$
har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet.
Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut
$$(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}$$
Dividera båda led med $a-3$
$$x= \displaystyle \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}$$
</div>

Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två <br>
exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

Lös ekvationen $\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.<br><br>
Utveckla kvadratuttrycken i båda leden
$$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$
$$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$
Subtrahera $4x^2$ från båda led
$$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$
Addera $6x$ till båda led
$$9 = 34x +49\; \mbox{.}$$
Subtrahera $49$ från båda led
$$-40=34x\; \mbox{.}$$
Dividera båda led med $34$
$$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Lös ekvationen $\displaystyle\ \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.<br><br>

Flytta över båda termerna i ena ledet
$$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$
Förläng termerna så att de får samma nämnare
$$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0$$
och förenkla täljaren
$$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$
$$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$
$$\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0.$$
Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll),
$$5x+4=0$$
vilket ger att $\,x=-\displaystyle \frac{4}{5}$.

</div>

==Räta linjer==
Funktioner av typen

$\quad y=2x+1$

$\quad y=-x+3$

$\quad y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $

är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen

<div class="regel">
$$y=kx+m$$
</div>

där $k$ och $m$ är konstanter.

Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning <br>
mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.

[[Bild:t_3_1_1a.gif|center]]
Konstanten $k$ kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i <br>
positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Det gäller därmed att om

*$k>0\ $ så lutar linjen uppåt
*$k<0\ $ så lutar linjen nedåt

För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $\,k=0\,$ medan en vertikal linje (parallell <br>
med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

<ol type="a">
<li> Skissera linjen $y=2x-1$. <br><br>
Jämför vi linjens ekvation med $\,y=kx+m\,$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,-1)$. Se figuren till vänster nedan. <br><br>
<li>Skissera linjen $y=2-\frac{1}{2}x$.<br><br>
Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $\,k= -\frac{1}{2}\,$ och att $\,m=2$. Se figuren nedan till höger.
</ol>

[[Bild:t_3_1_3_a.gif|center]]
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?

Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $\,5-2=3\,$ steg i $x$-led motsvaras av $\,3-1=2\,$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvaras av $\,k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}\,$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoefficient $\,k= \frac{2}{3}$.

[[Bild:t_3_1_5a.gif|center]]

</div>

Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se <br>
(t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ <br>
som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.

[[Bild:t_3_1_7a.gif|center]]

Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led <br>
motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, <br>
och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ <br>
steg i $y$-led.

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

<ol type="a">
<li>Linjerna $\,y=3x-1\,$ och $\,y=3x+5\,$ är parallella.
<li>Linjerna $\,y=x+1\,$ och $\,y=2-x\,$ är vinkelräta.
</ol>

</div>

Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen
<div class="regel">
$$ax+by=c$$
</div>
där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

<ol type="a">
<li>Skriv linjen $\,y=5x+7\,$ i formen $\,ax+by=c$.<br><br>
Flytta över $x$-termen till vänsterledet $\ -5x+y=7\,$.<br><br>
<li>Skriv linjen $\,2x+3y=-1\,$ i formen $\,y=kx+m$.<br><br>
Flytta över $x$-termen i högerledet $\ 3y=-2x-1\ $ och dela båda led med $3$
$$y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}$$
</ol>

</div>

===Områden i koordinatsystem===
Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

<ol type="a">
<li>Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y\ge2$. <br><br>
Området ges av alla punkter $(x,y)$ vars $y$-koordinat är $2$ eller större, d.v.s. alla punkter på eller ovanför linjen $y=2$.<br>
[[Bild:766665.gif‎||center]]<br>
<li>Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y<x$. <br><br>
En punkt $(x,y)$ som uppfyller olikheten $y<x$ har en $x$-koordinat som är större än dess $y$-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen $y=x$. <br>
[[Bild:t_3_1_4c.gif|center]] <br>
Bildtext: Att linjen $y=x$ är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det grågrönfärgade området.
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''

Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $2 \le 3x+2y\le 4$.

Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter

$$3x+2y \ge 2 \quad \mbox{och} \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}$$

Flyttar vi över $x$-termerna till högerledet och delar båda led med $2$ får vi

$$y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad \mbox{och} \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}$$

De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen $\,y \ge 1-\frac{3}{2}x\,$ medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen $y\le 2-\frac{3}{2}x$.

[[Bild:t_3_1_1c.gif]] [[Bild:t_3_1_3c.gif]]

Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de gråa områdena ovan har gemensamt.

[[Bild:t_3_1_2c.gif]]

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''

Om vi ritar upp linjerna $\,y=x$, $\,y=-x\,$ och $\,y=2\,$ så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.

[[Bild:797024.gif‎||center]]

Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.

Vi ser att dess $y$-koordinat måste vara mindre än $2$. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av
$ y=0$.

$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.

För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-<br>
koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$. <br>
Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.

Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$
och mindre än $-2$ automatiskt.

Vi ser att basen i triangeln blir $4$ längdenheter och höjden $2$ längdenheter.

Arean av denna triangel blir alltså $ 4\cdot 2/2=4$areaenheter.

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att...'''

Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.

</div>

2.1. Algebraiska uttryck

2007-07-16T13:01:58Z

Sammanfattning: /* Rationella uttryck */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
*Distributiva lagen
*Kvadreringsreglerna
*Konjugatregeln
*Rationella uttryck
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Förenkla komplicerade algebraiska uttryck.
*Faktorisera uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
*Utveckla uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=

==Distributiva lagen==
[[Bild:761301.gif|right]]
Den distributiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes.

[[Bild:t_2_1_1.gif|center]] <br\>

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li>$4 (x+y) = 4x + 4y$<br><br>
<li>$2(a-b) = 2a -2b$ <br><br>
<li>$x \left(\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \displaystyle\frac{1}{x} + x \cdot \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{\not{x}}{\not{x}} + \displaystyle\frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \displaystyle\frac{1}{x}$ <br><br>
<li> $a(x+y+z) = ax + ay + az$
</ol>

</div>

Med den distributiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hantera minustecken framför parentesuttryck. Regeln säger att en parentes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parentesen byter tecken.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li>$-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y$
<br>
<br>
<li>$-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x$ <br>
:där vi i sista ledet använt att $-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x=x$<br><br>
<li> $-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3$<br/>
$\phantom{-(x+y-y^3)}{}=-x-y+y^3$
<br>
<br>
<li>$x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2$<br/>
$\phantom{x^2-2x-(3x+2)}{}= x^2 -5x -2$
<br>
<br>
</ol>

</div>

Om den distributiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
<li>$3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)$<br><br>
<li>$xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)$<br><br>
<li>$2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \displaystyle \frac{-(x-y)}{x-y} = \displaystyle \frac{-1}{1} = -1$ <br><br>
</ol>

</div>

==Kvadreringsreglerna==
Den distributiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar

$$(a+b)(c+d)$$

och ser $a+b$ som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi

$$\eqalign{{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= {\phantom{(a+b)}}\,c + {\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}$$

Sedan kan $c$ och $d$ multipliceras in i respektive parentes

$$(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}$$

Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är:

[[Bild:t_2_1_2.gif|center]]

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
<li>$(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2$<br/>
$\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2$ <br><br>
<li>$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) $<br/>
$\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}= 3(2x^2 +x-2xy-y)=6x^2 +3x-6xy-3y$ <br><br>
<li>$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$<br/>
$\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2$ <br>
:där vi använt att $-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 =1\cdot x^2 = x^2$.
</ol>

</div>

Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när $\,a+b\,$ och $\,c+d\,$ är samma uttryck

<div class="regel">
'''Kvadreringsreglerna'''
$$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$$
</div>

Dessa formler kallas för första och andra kvadreringsregeln.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

<ol type="a">
<li>$(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4$ <br><br>
<li>$(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9$ <br>
:där $(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$<br><br>
<li>$(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16$ <br><br>
<li>$(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1) $<br/>
$\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1=2x+2x=4x$ <br><br>
<li>$(2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)$<br/>
$\phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8$ <br><br>
<li>$(x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)$<br/>
$\phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4$<br/>
$\phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8$<br><br>
</ol>

</div>

Kvadreringsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttryck.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

<ol type="a">
<li>$x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2$ <br><br>
<li>$x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2$ <br><br>
<li>$x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2 $ <br><br>
</ol>

</div>

==Konjugatregeln==

Ett tredje specialfall av den första formeln i förra avsnittet är konjugatregeln

<div class="regel">
'''Konjugatregeln:'''
$$(a+b)(a-b) = a^2 -b^2$$
</div>

Denna formel kan vi få fram direkt genom att utveckla vänsterledet

$$(a+b)(a-b)= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

<ol type="a">
<li>$(x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2$ <br><br>
<li>$(x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2$ <br><br>
<li>$(y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2$ <br><br>
<li>$x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4)= (x^2+4)(x^2-2^2)$<br/>
$\phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)$<br><br>
</ol>

</div>

==Rationella uttryck==
Räkning med algebraiska uttryck som innehåller bråk liknar till stor del vanlig bråkräkning.

Multiplikation och division av bråkuttryck följer samma räkneregler som gäller för vanliga bråktal,

<div class="regel">
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{och} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

<ol type="a">
<li>$\displaystyle\frac{3x}{x-y} \cdot \displaystyle\frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \displaystyle \frac{a^2}{x(x+1)}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \displaystyle \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}$ <br><br>
</ol>

</div>

Förlängning av ett bråkuttryck innebär att vi multiplicerar täljare och nämnare med samma faktor

$$\displaystyle \frac{x+2}{x+1} = \displaystyle \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }= \dots$$

Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt

$$\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }= \displaystyle \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \displaystyle \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2}= \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}= \left\{\,\text{konjugatregeln}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}$ <br><br>
</ol>

</div>

När bråkuttryck adderas eller subtraheras behöver de, om så är nödvändigt, förlängas så att de får samma nämnare innan täljarna kan kombineras ihop,

$$\displaystyle \frac{1}{x} - \displaystyle \frac{1}{x-1} = \displaystyle \frac{1}{x} \cdot \displaystyle \frac{x-1}{x-1} - \displaystyle \frac{1}{x-1} \cdot \displaystyle \frac{x}{x} = \displaystyle \frac{x-1}{x(x-1)} - \displaystyle \frac{x}{x(x-1)} = \displaystyle \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \displaystyle \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}$$

Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad$ har $\ \text{MGN}=(x+1)(x+2)$ <br><br>
Förläng den första termen med $(x+2)$ och den andra termen med $(x+1)$<br/><br/>
:$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}$ <br><br>
:$\phantom{\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}} = \displaystyle \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}$ <br><br>

<li>$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad$ har $\ \text{MGN}=x^2$<br><br>
Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare<br/><br/>
:$\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad$ har $\ \text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)$<br><br>
Den första termen förlängs med $x(x+2)$ medan den andra termen förlängs med $(x+1)^2$<br/><br/>
$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} = \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$ <br><br>
$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
$=\displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har $\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)$<br><br>
Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren $x(x-1)(x+1)$<br/><br/>
:$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 $<br><br>
::$=\displaystyle \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$ <br><br>
::$=\displaystyle \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} -\frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}$<br><br>
::$=\displaystyle \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)} $<br><br>
::$= \displaystyle \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)} $
</ol>

</div>

Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''

<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\,\mbox{MGN} = (x+2)(x-2)\,\right\}$ <br><br>
:${}= \displaystyle \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)}$<br><br>
:${}= \displaystyle \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{ \displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}$ <br><br>
:${}= \displaystyle \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}$
</ol>

</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Var noggrann. Om du gör ett fel på ett ställe så kommer resten av uträkningen också vara fel.

Använd många mellanled. Om du är osäker på en uträkning utför då hellre enkla steg än ett stort steg.

Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka.
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

1.3. Potenser

2007-07-16T12:41:34Z

Sammanfattning: /* Jämförelse av potenser */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
* Positiv heltalsexponent
* Negativ heltalsexponent
* Rationell exponent
* Potenslagar
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

*Känna till begreppen bas och exponent.
*Beräkna uttryck med heltalsexponent.
*Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
*Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
*Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.
</div>

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


=Teori=
==Potenser==
Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt
för upprepad addition av samma tal, t.ex.
$$
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}
$$

På ett liknande sätt används potenser som ett kortare
skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:
$$
4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}
$$

Siffran 4 kallas för potensens ''bas'' och siffran 5 dess ''exponent''.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
<br>
<br>
<li>$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$
<br>
<br>
<li>$0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$
<br>
<br>
<li>$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16$, men
$ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
<br>
<br>
<li>$ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$, men
$ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$

</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
$
<br>
<br>
<li>$(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$

$
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
$

</ol>

</div>

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

<div class="regel">
$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$

</div>

==Potenslagar==
Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar
beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att
$$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8$$

vilket generellt kan skrivas
<div class="regel">
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}$$
</div>

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas
$$
\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
2^{7-3}=2^4\mbox{.}
$$

Den allmänna regeln blir
<div class="regel">
$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}$$
</div>

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare
en användbar räkneregel. Vi ser att
$$
(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}
$$

och
$$
(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.}
$$

Allmänt kan detta skrivas
<div class="regel">
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} $$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<br>
<br>
<ol type="a">

<li>$
2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
$
<br>
<br>
<li>$
5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
$
<br>
<br>
<li>$
3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
$
<br>
<br>
<li>$
10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
$

</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
<br>
<br>
<ol type="a">

<li>$\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
$
<br>
<br>
<li>$\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9
$

</ol>

</div>

Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
$$
\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad
\frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}
$$

För att räknereglerna för potenser ska stämma gör
man alltså den naturliga definitionen att för alla ''a'' som inte är 0 gäller att

<div class="regel">
$$ a^0 = 1\mbox{.} $$
</div>

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är
större än den i täljaren. Vi får t.ex.
$$
\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad
\frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
\frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
$$

Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa
exponenten betyda att
$$
3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
$$

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla
tal ''a'' som inte är 0 gäller att

<div class="regel">
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}$$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$
\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
$
<br>
<br>
<li>$
3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
$
<br>
<br>
<li>$
0{,}001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
$
<br>
<br>
<li>$
0{,}008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
$
<br>
<br>
<li>$
\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
$
<br>
<br>
<li>$
\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
$
<br>
<br>
<li>$
0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
$
</ol>

</div>

Om basen i ett potensuttryck är $-1$ så blir uttrycket alternerande $-1$ eller $+1$ beroende på exponentens värde
$$
\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr
(-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr
(-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr
(-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr
\quad\hbox{o.s.v.}}
$$

Regeln är att $(-1)^n$ är lika med $-1$ om $n$ är udda och lika med $+1$ om $n$ är jämn.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$
(-1)^{56} = 1\quad$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
<br>
<br>
<li>$
\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1\quad$ eftersom 11 är ett udda tal
<br>
<br>
<li>$
\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = $<br\>$- 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
</ol>
</div>

==Byte av bas==
Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt
försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att
välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna
igen potenser av dessa tal, exempelvis

$$4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots$$

$$9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots$$

$$25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots$$

Men även

$$
\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
$$

$$
\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
$$

$$
\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots
$$

o.s.v.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>Skriv $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16$ som en potens med basen 2.
<br/>
<br/>
$8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4 $<br><br>$= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
<br/>
<br/>
<li>Skriv $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$ som en potens av basen 3.
<br/>
<br/>
:$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$
<br/>
:$\displaystyle\qquad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$
<br/>
<br/>
<li>Skriv $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$ så enkelt som möjligt:
<br/>
<br/>
$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} \; = \; \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} \; = \; \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} $<br\>
$\displaystyle \; = \; \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)} \; = \; \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} \displaystyle \; = \; \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } $<br\>
$\; = \; 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} \; = \; 3^1 \cdot 2^8\; = \; 3\cdot 2^8$
<br/>
</ol>
</div>

==Rationell exponent==

Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande
de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?

Eftersom exempelvis
$$2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$$
så måste  $ 2^{1/2} $  vara samma sak som $\,\sqrt{2}\,$ i och med att $\,\sqrt2\,$ definieras som det tal som uppfyller $\,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\,$ .

Allmänt kan vi göra definitionen

<div class="regel">
$$a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}$$
</div>

Vi måste då förutsätta att $a\ge 0$, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.

Man ser också att exempelvis
$$5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5$$

som innebär att $\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,$ vilket kan generaliseras till att

<div class="regel">
$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}$$
</div>

Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att

<div class="regel">
$$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$

eller

$$a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} $$
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
<br>
<br>
<li>$
1000^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10}
$
<br>
<br>
<li>$
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}}
= \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
$
<br>
<br>
<li>$
\displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
$

</ol>
</div>

==Jämförelse av potenser==

Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser,
kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$ eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$.
<br>
<br>
<li>$ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.
<br>
<br>
<li>$ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.

</ol>
</div>

Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$ eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$.
<br>
<br>
<li>$ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.
</ol>
</div>

Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra
storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra
$125^2$ med $36^3$
kan man göra omskrivningarna
$$
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
$$

varefter man kan konstatera att $36^3 > 125^2$.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
<br>
<br>
Avgör vilket tal som är störst av
<br>
<br>
<ol type="a">
<li>$ 25^{1/3} $  och  $ 5^{3/4} $
<br>
<br>
Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är

::$25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}$

och då ser vi att

::$5^{3/4} > 25^{1/3} $

eftersom $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$.
<br>
<br>
<li>$(\sqrt{8}\,)^5 $  och $128$
<br>
<br>
Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$

::$ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}$

::$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = $
::$ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$

Detta betyder att

::$(\sqrt{8}\,)^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}$

::$128 = 2^7 = 2^{14/2}$

och därför är

::$(\sqrt{8}\,)^5 > 128 $

i och med att $\frac{15}{2} > \frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.
<br>
<br>
<li>$ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27}\,)^{4/5}$
<br>
<br>
Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$,

::$(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}$

::$(\sqrt{27}\,)^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}$

Nu ser vi att

::$(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} $

eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv.
<br>
<br>
<li>$ 3^{1/3} $  och
 $ 2^{1/2}$
<br>
<br>
Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare

::$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$ och $\quad \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .

Då har vi att

::$3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$

::$2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$

och vi ser att

::$ 3^{1/3} > 2^{1/2} $

eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv.
</ol>
</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>

1.2. Bråkräkning

2007-07-16T12:22:33Z

Sammanfattning: /* Blandade uttryck */

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

<div class="inforuta">
'''Innehåll:'''
* Addition och subtraktion av bråktal
* Multiplikation och division av bråktal
</div>

<div class="inforuta">
'''Lärandemål:'''
<br>Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Beräkna uttryck som innehåller bråktal, de fyra räknesätten och parenteser.
*Förkorta bråk så långt som möjligt.
*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).
</div>
</td>
<td>
</td></tr>
<tr><td width=600>


=Teori=
==Förlängning och förkortning==

Ett rationellt tal kan skrivas på många sätt, beroende på
vilken nämnare man väljer att använda. Exempelvis har vi att

$$
0{,}25=\displaystyle \frac{25}{100}=\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{2}{8}=\displaystyle \frac{3}{12}=\displaystyle \frac{4}{16}\quad\textrm{o.s.v.} $$

Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller
dividerar täljare och nämnare med samma tal. Dessa operationer kallas
<i>förlängning</i> respektive <i>förkortning</i>.

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

Förlängning:
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\displaystyle \frac{10}{15}$
<li>$\displaystyle \frac{5}{7}=\displaystyle \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4}=\displaystyle \frac{20}{28}$
</ol>

Förkortning:

<ol type="a" start=3>
<li>$\displaystyle \frac{9}{12}=\displaystyle \frac{9/3}{12/3}=\displaystyle \frac{3}{4}$
<li>$\displaystyle \frac{72}{108}=\displaystyle \frac{72/2}{108/2}=\displaystyle \frac{36}{54}=\displaystyle \frac{36/6}{54/6}=\displaystyle \frac{6}{9}=\displaystyle \frac{6/3}{9/3}=\displaystyle \frac{2}{3}$
</ol>
</div>

Man bör alltid ange ett bråk förkortat så långt som möjligt.
Detta kan vara arbetsamt när stora tal är inblandade, varför man redan under
en pågående uträkning bör försöka hålla bråk i
så förkortad form som möjligt.

==Addition och subtraktion av bråk==

Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare.
Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk
med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{5}+\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}+\displaystyle \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\displaystyle \frac{9}{15}+\displaystyle \frac{10}{15}=\displaystyle \frac{9+10}{15}=\displaystyle \frac{19}{15} $<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{5}{6}-\displaystyle \frac{2}{9}=\displaystyle \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}-\displaystyle \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2}=\displaystyle \frac{15}{18}-\displaystyle \frac{4}{18}=\displaystyle \frac{15-4}{18}=\displaystyle \frac{11}{18}$
</ol>
</div>

Det viktiga är här att åstadkomma en gemensam nämnare, men man bör
sträva efter att hitta en så låg gemensam nämnare som möjligt.
Idealet är att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN).
Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade
nämnarna med varandra. Detta är dock inte alltid nödvändigt.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{7}{15}-\displaystyle \frac{1}{12}=
\displaystyle \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12}-\displaystyle \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}
$<br><br>

$=\displaystyle \frac{84}{180}-\displaystyle \frac{15}{180}
=\displaystyle \frac{69}{180}
=\displaystyle \frac{69/3}{180/3}
=\displaystyle \frac{23}{60}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{7}{15}-\displaystyle \frac{1}{12}
=\displaystyle \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}-\displaystyle \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5}
$<br><br>

$=\displaystyle \frac{28}{60}-\displaystyle \frac{5}{60}=\displaystyle \frac{23}{60}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{3}{4}-\displaystyle \frac{1}{6}=
\displaystyle \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6}+\displaystyle \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6}-\displaystyle \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}
$<br><br>

$=\displaystyle \frac{24}{192}+\displaystyle \frac{144}{192}-\displaystyle \frac{32}{192}
=\displaystyle \frac{136}{192}
=\displaystyle \frac{136/8}{192/8}
=\displaystyle \frac{17}{24}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{1}{8}+\displaystyle \frac{3}{4}-\displaystyle \frac{1}{6}=
\displaystyle \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3}+\displaystyle \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6}-\displaystyle \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4}
=\displaystyle \frac{3}{24}+\displaystyle \frac{18}{24}-\displaystyle \frac{4}{24}
=\displaystyle \frac{17}{24}$
</ol>
</div>

Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om
nämnarna är av rimlig storlek. Att allmänt bestämma den minsta gemensamma
nämnaren kräver att man studerar vilka primtal som ingår som faktorer i
respektive nämnare.

<div class="exempel">

'''Exempel 4'''
<ol type="a">
<li>Beräkna $\displaystyle\ \frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42}$.<br/><br/>

Delar vi upp 60 och 42 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 42 genom att multiplicera ihop deras faktorer men undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt
$$\left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\mbox{.}$$

Vi kan då skriva
$$\frac{1}{60}+\displaystyle \frac{1}{42} =\frac{1\cdot 7}{60\cdot 7}+\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5}
=\frac{7}{420}+\displaystyle \frac{10}{420}=\frac{17}{420}$$
</li>

<li>Beräkna $\displaystyle\ \frac{2}{15}+\displaystyle \frac{1}{6}-\displaystyle \frac{5}{18}$.<br/><br/>

Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 15, 6 och 18
$$\left.\eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3}\right\}\quad\Rightarrow\quad \mbox{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\mbox{.}$$

Vi kan då skriva
$$\frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5}-\frac{5\cdot 5}{18\cdot 5}=\frac{12}{90}+\frac{15}{90}-\frac{25}{90}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$$
</li>
</ol>
</div>

==Multiplikation==
När ett bråk multipliceras med ett heltal, multipliceras endast täljaren
med heltalet. Det är uppenbart att om t.ex. $ \displaystyle \frac{1}{3} $ 
multipliceras med 2 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{2}{3}$, dvs.

$$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2=\displaystyle \frac{1\cdot 2}{3}=\displaystyle \frac{2}{3}$$

Om två bråk multipliceras med varandra, multipliceras täljarna med varandra
och nämnarna med varandra.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<ol type="a">
<li>$8\cdot \displaystyle \frac{3}{7}=\displaystyle \frac{8\cdot 3}{7} = \displaystyle \frac{24}{7}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{1}{5}=\displaystyle \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \displaystyle \frac{2}{15}$
</ol>
</div>

Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är
möjligt att förkorta bråket. Detta utförs genom att <i>stryka</i> eventuella
gemensamma faktorer i täljare och nämnare.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Jämför uträkningarna:
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \displaystyle \frac{6}{15} = \displaystyle \frac{6/3}{15/3} = \displaystyle \frac{2}{5}$ <br><br>

<li>$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \displaystyle \frac{2}{5}$
</ol>
</div>

Att stryka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med 3 i ett tidigare skede.

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7}= \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1}= \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}$ <br><br>
<li>$\displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21}
=\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7}
=\frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}}
=\frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3}
= \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}
=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 3}
=\frac{8}{9}$
</ol>
</div>

==Division==

Om $ \displaystyle \frac{1}{4} $  delas i 2 så blir svaret $ \displaystyle \frac{1}{8} $.

Om $ \displaystyle \frac{1}{2} $  delas i 5 så blir resultatet $ \displaystyle \frac{1}{10} $
.
Vi har alltså att

$$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \displaystyle \frac{1}{4\cdot 2} = \displaystyle \frac{1}{8} \qquad \mbox{ och } \qquad
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \displaystyle \frac{1}{2\cdot 5} = \displaystyle \frac{1}{10}$$

När ett bråk divideras med ett heltal, multipliceras alltså nämnaren med heltalet.

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 =\displaystyle \frac{3}{5\cdot 4} = \displaystyle \frac{3}{20}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 =\displaystyle \frac{^2\not{6}}{7\cdot \not{3}} =\displaystyle \frac{2}{7}$
</ol>
</div>

När ett tal divideras med ett bråk, multipliceras talet med bråket inverterat
("uppochnervänt"). Att t.ex. dividera med  $ \displaystyle \frac{1}{2} $  är ju
samma sak som att multiplicera med  $ \displaystyle \frac{2}{1} $  dvs. 2.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<ol type="a">
<li>$\displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} =3\cdot \displaystyle \frac{2}{1} =\displaystyle \frac{3\cdot 2}{1}= 6$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} =5\cdot \displaystyle \frac{7}{3} =\displaystyle \frac{5\cdot 7}{3} =\displaystyle \frac{35}{3}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} =\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{8}{5} =\displaystyle \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} =\displaystyle \frac{16}{15}$<br><br>
<li>$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} =
\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \displaystyle \frac{10}{9}=
\displaystyle \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}}\cdot \displaystyle \frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} =
\displaystyle \frac{5}{2\cdot 3} =
\displaystyle \frac{5}{6}$
</ol>

</div>

Hur kan bråkdivision förvandlas till multiplikation?
Förklaringen är att om ett bråk multipliceras med sitt
inverterade bråk blir produkten alltid 1, t.ex.

$$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \displaystyle \frac{3}{2} = \displaystyle \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot \displaystyle \frac{\not{3}}{\not{2}} = 1
\qquad \mbox{eller} \qquad
\displaystyle \frac{9}{17}\cdot \displaystyle \frac{17}{9}= \displaystyle \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot \displaystyle \frac{\not{17}}{\not{9}} = 1$$

Om man i en bråkdivision förlänger täljare och nämnare
med nämnarens inverterade bråk, får man alltid 1 i nämnaren
och resultatet blir täljaren multiplicerad med den ursprungliga
nämnarens inverterade bråk.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} \; = \;
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} \; = \;
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} \; = \;
\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}$
</div>

==Bråk som andelar==
Rationella tal är alltså tal som kan skrivas i bråkform, omvandlas
till decimalform, eller markeras på en tallinje. I vårt vardagliga
språkbruk används också bråk när man beskriver andelar
av något. Här nedan ges några exempel. Lägg märke till
hur vi använder ordet "<i>av</i>", vilket kan betyda såväl
multiplikation som division.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
<ol type="a">
<li>Olle satsade 20 kr och Stina 50 kr.
<br>Olles andel är  $ \displaystyle \frac{20}{50 + 20} =\displaystyle \frac{20}{70} = \displaystyle \frac{2}{7} $ och han bör alltså få   $\displaystyle \frac{2}{7}$ av vinsten.<br><br>

<li>Hur stor del utgör 45 kr av 100 kr? <br><br>
'''Svar:''' 45 kr är  $ \displaystyle \frac{45}{100}=\displaystyle \frac{9}{20} $  av 100 kr. <br><br>

<li>Hur stor del utgör $ \displaystyle \frac{1}{3}$ liter av $\displaystyle\frac{1}{2}$ liter? <br><br>
'''Svar:''' $ \displaystyle \frac{1}{3}$ liter är
$\displaystyle \frac{\displaystyle
\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}}= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot\displaystyle \frac{2}{1}=\displaystyle
\frac{2}{3} $  av  $ \displaystyle \frac{1}{2}$ liter.<br><br>

<li>Hur mycket är  $\displaystyle \frac{5}{8} $  av 1000? <br><br>
'''Svar:''' $\displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000=\displaystyle \frac{5000}{8}=625$<br><br>

<li>Hur mycket är  $\displaystyle \frac{2}{3}$  av  $\displaystyle
\frac{6}{7}$ ? <br><br>
'''Svar:''' $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{6}{7} = \displaystyle \frac{2}{\not{3}} \cdot \displaystyle \frac{2 \cdot \not{3}}{7} =\displaystyle \frac{2 \cdot 2}{7}=\displaystyle \frac{4}{7}$
</ol>
</div>

==Blandade uttryck==
När bråk förekommer i räkneuttryck gäller naturligtvis metoderna
för de fyra räknesätten som vanligt, samt prioriteringsreglerna (multiplikation/division
före addition/subtraktion). Kom också ihåg att täljare och nämnare i
ett divisionsuttryck beräknas var för sig innan divisionen utförs ("osynliga parenteser").

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''
<ol type="a">

<li>$ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{3}{4}}\; = \;
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4}+\displaystyle \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}\; = \;
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12}+\displaystyle \frac{9}{12}}\; = \;
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}}\; = \;
1\cdot\displaystyle \frac{12}{17}\; = \;
\displaystyle \frac{12}{17}$<br><br>

<li>$ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\displaystyle \frac{1}{6}}
\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}+\displaystyle \frac{1}{6}}
\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{8}{6}-\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6}+\displaystyle \frac{1}{6}}
\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}}
\; = \; \displaystyle \frac{7}{\not{6}}\cdot\displaystyle \frac{\not{6}}{9}
\; = \; \displaystyle \frac{7}{9}$<br><br>

<li>$\displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2}
\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{2 \cdot 3}{3}}
\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{15}{5}-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-\displaystyle \frac{6}{3}}
\; = \; \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}}$ <br\>
$\; = \; \displaystyle \frac{12}{5}\cdot\left(-\displaystyle \frac{3}{4}\right)
\; = \; -\displaystyle \frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \displaystyle \frac{3}{\not{4}}
\; = \; -\displaystyle \frac{3\cdot 3}{5}
\; = \; -\displaystyle \frac{9}{5}$<br><br>

<li>$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5}
\cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}/\frac{1}{5}-\displaystyle\frac{
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}}\; = \;
\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}}-\frac{3\cdot1}{5\cdot3}
}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{5}{1}-\displaystyle\frac{
\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}}
\; = \;
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle
\frac{10}{3}-\displaystyle
\frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}}\; = \; $
  $ \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{6}{5}-\displaystyle \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3}+
\displaystyle \frac{1}{24}}\; = \;
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\displaystyle \frac{1}{24}}\; = \;
\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}}\; = \;
\displaystyle \frac{24}{81}\; = \;
\displaystyle \frac{8}{27}$
</ol>
</div>

<div class="inforuta">
'''Tänk på att:'''

Sträva alltid efter att skriva ett uttryck i enklast möjliga form. Vad som är "enklast" beror dock oftast på sammanhanget.

Det är viktigt att du verkligen behärskar bråkräkning. Att du kan hitta en gemensam nämnare, förkorta och förlänga etc. Principerna är nämligen grundläggande när man ska räkna med rationella uttryck som innehåller variabler och för att du ska kunna hantera andra matematiska uttryck och operationer.

Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler ($x,y,$ ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner, speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

1.1. Olika typer av tal

2007-07-16T11:54:20Z

Sammanfattning: /* Decimalform */ ändrade på bilden /Johan T

__NOTOC__
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Naturliga tal
* Negativa tal
* Prioriteringsregler och parenteser
* Rationella tal
* Något om irrationella tal
* Reella tal
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser.
* Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal.
* Omvandla bråktal till decimalform och omvänt.
* Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken.
* Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler.
}}
</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width="600">


=Teori=
==Räkneoperationer med tal==

Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text:

[[Bild:t_1_1_1.gif|center]]

När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas
$$3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}$$

När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig
$$5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}$$

Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden
mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.

När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig
$$3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4=5 \cdot 4 \cdot 3= 60 \,\mbox{.}$$

Vid division är ordningen av betydelse
$$\displaystyle \frac{6}{3}=2 \quad \mbox{medan} \quad \displaystyle\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}$$

==Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)==
När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:

*Parenteser (parentesen "längst in" först)
*Multiplikation och division (från vänster till höger)
*Addition och subtraktion (från vänster till höger)

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
<li style="padding-bottom:5pt;">$3-(2\cdot {(3+2)}-5) = 3-({\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-{(10-5)} = 3-5 = -2$</li>
<li style="padding-bottom:5pt">$3-2\cdot {(3+2)}-5 = 3-{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = {\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12$</li>
<li>$\displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5-\displaystyle{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+{(2-4)}) = $<br\> $5+3\cdot{(5-(-2))}-3\cdot{(2+(-2))}=$<br\>
$5+3\cdot{(5+2)}-3\cdot{(2-2)}=$<br\>
$5+{\vphantom{()}3\cdot 7} - {\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26$</li>
</ol>

</div>

==="Osynliga" parenteser===
Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
<li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{7+5}{2} =\frac{12}{2} = 6$</li>
<li style="padding-bottom:5pt;">$\displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2$</li>
<li>$\displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2$</li>
</ol>

</div>

Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare.

Divisionen
$$\displaystyle \frac{8+4}{2+4}$$

måste skrivas $(8 + 4 )/(2 + 4)$ på miniräknaren för att det korrekta svaret $2$
ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva $8 + 4/2 + 4$, vilket av miniräknaren tolkas
som $8 + 2 + 4 = 14$.

==Olika typer av tal==

De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm.,
kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:

<div align="center">[[Bild:762280.gif‎ ||center||530px]]</div>

De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs
tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med '''R'''. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid
större än ett tal till vänster.
Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal:

''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven '''N''')

De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...

''Heltal'' ('''Z''')

De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

''Rationella tal'' ('''Q''')

Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex.
$$-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{o.s.v.}$$

Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom
$$-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{o.s.v.}$$

Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex.
$$2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{o.s.v.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<ol type="a">
<li style="padding-bottom:5pt;"> Att multiplicera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning och förändrar inte talets värde
$$\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} =\frac{5}{15}\quad\mbox{o.s.v.}$$
</li>

<li>Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde
$$\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} =\frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{o.s.v.}$$
</li>
</ol>
</div>

''Irrationella tal''

De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel
på irrationella tal är de flesta rötter, som $\sqrt{2}$ och $\sqrt{3}$ men även talet $\pi$ t.ex.

===Decimalform===

Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler.
Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger
antalet ental, tiotal, hundratal, osv.
<br\>
[[Bild:t_1_1_2.gif|center]]
<br\>
<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
$$1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}$$
</div>

Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen.
Således är talet $ \frac{3}{4} $ samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75.

Läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen liggande stolen] på wikipedia.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

<ol type="a">
<li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}$</li>
<li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333333... = 0{,}\underline{3}$</li>
<li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666... = 0{,}41\underline{6}$</li>
<li>$\displaystyle\frac{1}{7} =0{,}142857142857... = 0{,}\underline{142857}$</li>
</ol>
(understrykningen markerar decimaler som upprepas)
</div>

Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs.
decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas
i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer
dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster
i sin decimalutveckling.

Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal.

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Talen $\pi$ och $\sqrt{2}$ är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
<ol type="a">
<li style="padding-bottom:3pt;">$\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\, \ldots $</li>
<li>$\sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \,688\, \ldots $</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

<ol type="a">
<li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}600\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $</li>
<li style="padding-bottom:3pt;">$\displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} $</li>
<li>$\displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400} $</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Talet $x=0{,}215151515...$ är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt

Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger

::$\quad 10x = 2{,}151515\ldots$

och multiplicerar vi talet med $10\cdot 10\cdot 10 = 1000$ flyttas decimalkommat tre steg åt höger

::$\quad 1000x = 215{,}1515\ldots$

Nu ser vi att $1000x$ och $10x$ har samma decimalutveckling så differensen mellan talen

::$\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\ldots -2{,}151515\ldots $

blir ett heltal

::$\quad 990x = 213\mathrm{.}$

Alltså är

::$\quad\displaystyle x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}$
</div>

===Avrundning===

Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så
avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som
gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt
medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.

Vi använder symbolen $\approx$ (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett.

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''

Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
<ol type="a">
<li style="padding-bottom:3pt;">$1{,}0004 \approx 1,000$</li>
<li style="padding-bottom:3pt;">$0{,}9999 \approx 1{,}000$</li>
<li style="padding-bottom:3pt;">$2{,}9994999 \approx 2{,}999$</li>
<li>$2{,}99950 \approx 3{,}000$</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
<ol type="a">
<li style="padding-bottom:3pt;">$\pi \approx 3{,}1416 $</li>
<li>$\displaystyle\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 $</li>
</ol>
</div>

==Jämförelse av tal==

Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna
> (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med).
Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom
att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk
med gemensam nämnare.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
<ol type="a">
<li> Vilket är störst av talen $\ \displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\ 0,33$ ?<br/><br/>

Vi har att

$$x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{och}\quad\displaystyle y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}$$

Alltså är $x>y$ eftersom $100/300 > 99/300$.<br/>

Alternativt så kan man se att $1/3>0{,}33 $ eftersom $ 1/3=0{,}3333\ldots > 0{,}33$.</li>

<li> Vilket tal är störst av $\ \displaystyle \frac{2}{5}\ $och $\ \displaystyle \frac{3}{7}$ ?<br/><br/>

Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35:

$$\frac{2}{5} = \frac{14}{35}\quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}$$

Alltså är $\ \displaystyle\frac{3}{7}>\frac{2}{5}\ $ eftersom $\ \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}$.</li>
</ol>
</div>

<div class="inforuta">

'''Att tänka på'''

Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel.

</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Facit

2007-07-16T08:25:38Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Svar 1.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-7$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$11$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-25$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-19$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="33%">rationella talen</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">i)   </td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">j)   </td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">k)   </td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
<td class="ntext">l)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{3}<2<\frac{7}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{21}{34}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$1{,}167$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$2{,}250$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$0{,}286$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$1{,}414$</td>
</tr>

</table>
</div>

'''Svar 1.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och lika med $\,314/100 = 157/50\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och är lika med $\,31413/9999 = 10471/3333\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och lika med $\,1999/9990\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är irrationellt.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{93}{28}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{35}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{30}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{47}{60}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{47}{84}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {30}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {8}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {84}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {225}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{19}{100}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{240}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{6}{7}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{16}{21}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{6}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{105}{4}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-5$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{8}{55}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%"><tr><td class="ntext">$\displaystyle \frac{152}{35}$</td></tr></table>
</div>

'''Svar 1.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$72$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-125$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{27}{8}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^6$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{-2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^0$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$3^{-1}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$3^5$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$3^4$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$3^{-3}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$3^{-3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$4$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$625$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$16$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{3750}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$27$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2209$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$9$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{25}{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 1.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$256^{1/3}>200^{1/3}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}4^{-3}>0{,}5^{-3}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}2^{5}>0{,}2^{7}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}>400^{1/3}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$125^{1/2}>625^{1/3}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3^{40}>2^{56}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3x^2-3x$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$xy+x^2y-x^3y$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-4x^2+x^2y^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^3y-x^2y+x^3y^2$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-14x+49$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$16y^2+40y+25$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$9x^6-6x^3y^2+y^4$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$9x^{10}+30x^8+25x^6$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-5x^2+20$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$10x-11$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$54x$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$81x^8-16$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2a^2+2b^2$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(x+6)(x-6)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$5(x+2)(x-2)$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(x+3)^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(x-5)^2$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-2x(x+3)(x-3)$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(4x+1)^2$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$5\,$ framför $\,x^2\,$, $\,3\,$ framför $\,x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$2\,$ framför $\,x^2\,$, $\,1\,$ framför $\,x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">$\textrm{c)    }$</td>
<td class="ntext" width="100%">$6\,$ framför $\,x^2\,$, $\,2\,$ framför $\,x$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{1-x}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle \frac{1}{y(y+2)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3(x-2)(x-1)$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2(y+2)}{y^2+4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2y$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{b}{a(a-b)   }$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{a(a+b)   }{4b}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x+5)}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x^4-x^3+x^2+x-1}{x^2(x-1)}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{ax(a+1-x)}{(a+1)^2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.1:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x}{(x+3)(x+1)}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2(x-3)}{x}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x+2}{2x+3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=6$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)    </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\displaystyle\frac{3}{2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\displaystyle\frac{13}{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{5}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=2$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-2$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=9$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{7}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)    </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{4}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)    </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td>a)   </td>
<td width="100%">$-2x+y=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td>b)   </td>
<td width="100%">$y=-\displaystyle\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"\></tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$y=-3x+9$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$y=-3x+1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$y=3x+5$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+5$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$k = \displaystyle\frac{8}{5}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(-\frac{5}{3},0\bigr)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(0,5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(0,-\frac{6}{5}\bigr)$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(12,-13)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\bigr)$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_7a.gif‎]] </td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_7b.gif‎]] </td>
</tr><tr>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_7c.gif‎]] </td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_8a.gif‎]]</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_8b.gif‎]]</td>
</tr><tr>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_8c.gif‎]]</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.2:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$4\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$5\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$6\,$ a.e.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$(x-1)^2-1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$(x+1)^2-2$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-(x-1)^2+6$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%"> saknar (reella)    lösning</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$3< x<4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$b=-5$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{4}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">saknar max</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td>Se lösningen i
webmaterialet när du loggat in till kursen.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 2.3:10'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td>Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen</td>
</tr>
</table>
</div>
'''Svar 3.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$2^{1/2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$7^{5/2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3^{4/3}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3^{1/4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">ej definierad</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$5^{11/6}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$12$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$2$</td>
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-5$</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sqrt{5}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2-\sqrt{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$0{,}4$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$0{,}3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-4\sqrt{2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sqrt{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{7^{2/3}}{7}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3-\sqrt{7}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$6+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+\sqrt{10}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle \frac{5+4\sqrt{3}}{23}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{6}+\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}-\displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{10}-\displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{5}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{5\sqrt{3}+7\sqrt{2}-\sqrt{6}-12}{23}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{5}-\sqrt{7}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-\sqrt{35}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{17}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.1:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]6 > \sqrt[\scriptstyle3]5$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$7 > \sqrt7$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt7 > 2{,}5$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]2\cdot3 > \sqrt2\bigl(\sqrt[\scriptstyle4]3\,\bigr)^3$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=5$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\left \{ \eqalign{ x_1 & = 3 \cr x_2 & = 4\cr } \right.$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Saknar lösning.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{5}{4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=3$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-2$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=4$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$4$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-3$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$2$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$10$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-2$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{7}{3}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$4$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{5}{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-\displaystyle \frac{1}{2}\lg{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$5$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$e^2$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%" >
<tr align="left"><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$1{,}262$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$1{,}663$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$4{,}762$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.4:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\ln 13$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\displaystyle\frac{\ln 2 - \ln 13}{1+\ln 3}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\displaystyle\frac{\ln 7 - \ln 3}{1-\ln 2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.4:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1&=\sqrt2 \cr x_2&=-\sqrt2 } \right. $</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\ln \left(\displaystyle\frac{\sqrt17}{2}-\frac{1}{2}\right)$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">Saknar lösning</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 3.4:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\,\displaystyle\frac{1}{\ln{2}}\pm\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{\ln{2}}\right)^2-1}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{5}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=50$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=5$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x=15$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$5 \textrm{ l.e.}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$(2,0)$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$(x-1)^2+(y-2)^2=4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$(x-2)^2+(y+1)^2=13$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$.</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. </td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">Endast punkten (1, -1). </td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">
$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ </td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.1:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$</td>
</tr>
</table>

</div>

'''Svar 4.1:10'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=9$ dm</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%"> $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%"> $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$v=30 ^\circ$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{3}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x= \sqrt{3}-1$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.2:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
du loggat in till kursen</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.3:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
du loggat in till kursen</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">lösning saknas</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$
</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$
</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">
$x=n\pi$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$
</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$
</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr
x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi
}\right.$
</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr
x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ
}\right.$
</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr
x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ
}\right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%" cellpadding="10px">
<tr>
<td align="left">
$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$
</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr
x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3}
}\right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$x=n\pi$
</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$
</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr
x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr
}\right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{ \matrix{
x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr
x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{ \matrix{
x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr
x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7}
}\right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Svar 4.4:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi
}\right.$
</td>
</tr>
</table>
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 4.4

2007-07-16T08:17:40Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 4.4:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=1$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=2$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.4:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationen
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.4:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationen
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(x+40^\circ)   }=\sin{65^\circ}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{15^\circ}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.4:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.
</div>

'''Övning 4.4:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationen
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{x}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\tan{x}=\tan{4x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.4:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationen
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin 2x = -\sin x$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.4:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationen
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}+\sin{x}=1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{3x}=\sin{4x}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.4:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationen
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 4.3

2007-07-16T08:16:43Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 4.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
</div>

'''Övning 4.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Visa följande trigonometriska samband
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext>a)   </td>
<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext>b)   </td>
<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext>c)   </td>
<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext>d)   </td>
<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.3:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext>
Visa "Feynmans likhet"
$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
</td>
</tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 4.2

2007-07-16T08:16:15Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 4.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
<table width="100%">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1d.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1e.gif]]</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1f.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.
<table width="100%">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2d.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2e.gif]]</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2f.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%"> $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{2\pi}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{9\pi}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%"> $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\pi}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\cos{135^\circ}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\tan{225^\circ}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\cos{330^\circ}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\tan{495^\circ}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
<table width="100%">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
<table width="100%">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
<table width="100%">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.2:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
<table width="100%">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 4.1

2007-07-16T08:15:26Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 4.1:1'''
<div class="ovning">
Skriv i grader och radianer
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Omvandla till radianer
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$45^\circ$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$135^\circ$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$-63^\circ$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$270^\circ$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:O4_1_3a.gif‎]]</td>
<td class="ntext">b)    </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:O4_1_3b.gif‎]]</td>
<td class="ntext">c)    </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:O4_1_3c.gif‎]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skissera följande cirklar
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2=9$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(x-1)^2+(y-2)^2=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skissera följande cirklar
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2+2x+y^2-2y=1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2+4y=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2-2x+y^2+6y=-3$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2-2x+y^2+2y=-2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 4.1:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
</div>

'''Övning 4.1:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
</div>

'''Övning 4.1:10'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr>
<td align="center">
[[Bild:Uppg_4_1_10.gif]]
</td>
</tr><tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.4

2007-07-16T08:10:58Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 3.4:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$e^x=13$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$13e^x=2\cdot3^{-x}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3e^x=7\cdot2^x$</td>
<tr><td height="5px"/></tr>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.4:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{\scriptstyle x^{\scriptstyle2}-2}=1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{2x}+e^x=4$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3e^{x^{\scriptstyle2}}=2^x$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.4:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2^{-x^{\scriptstyle2}}=2e^{2x}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\ln{(x^2+3x)}=\ln{(3x^2-2x)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\ln{x}+\ln{(x+4)}=\ln{(2x+3)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.3

2007-07-16T08:09:40Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 3.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm $\,x\,$ om
<table width="100%" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$10^x=1\,000$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$10^x=0{,}1$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{10^x}=100$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{10^x}=0{,}000\,1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna
<table width="100%" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{ 0{,}1}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{ 10\,000}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg {0{,}001}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg {1}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$10^{\lg{2}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{10^3}$</td>
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$10^{-\lg{0{,}1}}$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{\displaystyle \frac{1}{10^2}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna
<table width="100%" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_2{8}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_9{\displaystyle \frac{1}{3}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_2{0{,}125}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_3{\left(9\cdot3^{1/3}\right)}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{\log_{\scriptstyle2}{4}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_2{4}+\log_2{\displaystyle \frac{1}{16}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_3{12}-\log_3{4}$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_a{\bigl(a^2\sqrt{a}\,\bigr)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla
<table width="100%" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\lg{50}-\lg{5}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\lg{23}+\lg{\displaystyle \frac{1}{23}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\lg{27^{1/3}}+\displaystyle \frac{\lg{3}}{2}+\lg{\displaystyle \frac{1}{9}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla
<table width="100%" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{e^3}+\ln{e^2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{8}-\ln{4}-\ln{2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(\ln{1})\cdot e^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{e}-1$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{\displaystyle \frac{1}{e^2}}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\left(e^{\ln{e}}\right)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
[[Bild:miniraknare.gif||right]]
Använd miniräknaren till höger för att beräkna med tre decimaler (Knappen <tt>LN</tt> betecknar den naturliga logaritmen i basen ''e''):
<table width="100%" >
<tr align="left"><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\log_3{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\lg{46}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\log_3{\log_2{(3^{118})}}$</td>
</tr>
<tr align="left"><td height="40px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.2

2007-07-16T08:08:27Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 3.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{x-4}=6-x\,$.
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{2x+7}=x+2\,$.
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{3x-8}+2=x\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{1-x}=2-x\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{3x-2}=2-x\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}=4\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 3.1

2007-07-16T08:07:43Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 3.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skriv i potensform
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{7^5}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\bigl(\sqrt[\scriptstyle3]{3}\,\bigr)^4$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{\sqrt{3}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{3^2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{\left(-3\right)^2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{-3^2}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{5}\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{5}\cdot5$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt[\scriptstyle3]{8}$</td>
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt[\scriptstyle3]{-125}$</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(\sqrt{5}-\sqrt{2}\,\bigr)\bigl(\sqrt{5}+\sqrt{2}\,\bigr)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{16+\sqrt{16}}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}}\bigl(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,\bigr)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{0{,}16}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]{0{,}027}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{50}+4\sqrt{20}-3\sqrt{18}-2\sqrt{80}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{48}+ \sqrt{12} +\sqrt{3} -\sqrt{75}$</td>
<td class="ntext"></td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skriv som ett uttryck utan rottecken i nämnaren.
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{12}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle3]{7}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{3+\sqrt{7}}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skriv som ett uttryck utan rottecken i nämnaren.
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{5}-2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\left(\sqrt{3}-2\right)^2-2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}-\displaystyle \frac{1}{2}}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{5\sqrt{7}-7\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \sqrt{153}-\sqrt{68}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 3.1:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Avgör vilket tal som är störst av
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]5\ $ och $\ \sqrt[\scriptstyle3]6$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt7\ $ och $\ 7$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt7\ $ och $\ 2{,}5$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt2\bigl(\sqrt[\scriptstyle4]3\,\bigr)^3\ $ och $\ \sqrt[\scriptstyle3]2\cdot3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 1.3

2007-07-16T08:02:05Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 1.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$2^3\cdot3^2$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$3^5\cdot9^{-2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$(-5)^3$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\Bigl(\displaystyle \frac{2}{3}\Bigr)^{-3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:2'''

<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skriv som en potens av 2
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2\cdot4\cdot8$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}25$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:3'''

<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skriv som en potens av 3
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$\displaystyle \frac{1}{3}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$243$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$9^2$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$\displaystyle \frac{1}{27}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="20%">$\displaystyle \frac{3}{9^2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:4'''

<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{9}\cdot2^{-7}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3^{13}\cdot9^{-3}\cdot27^{\,-2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{5^{12}}{5^{-4}}\cdot(5^{2})^{-6}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{2^{\scriptstyle3}}\cdot(-2)^{\scriptstyle-4}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$625\cdot(5^{8}+5^{9})^{-1}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:5'''

<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$4^{1/2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$4^{-1/2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$9^{3/2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\left(47^{2/3} \right) ^{3}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3^{1{,}4}\cdot3^{0{,}6}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\bigl( 125 ^{1/3} \bigr)^2\cdot \bigl( 27^{1/3} \bigr)^{-2}\cdot9^{1/2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Avgör vilket tal som är störst av
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$256^{1/3}\ $ och $\ 200^{1/3}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}5^{-3}\ $ och $\ 0{,}4^{-3}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}2^5\ $ och $\ 0{,}2^{7}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$400^{1/3}\ $ och $\ \bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$125^{1/2}\ $ och $\ 625^{1/3}$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{56}\ $ och $\ 3^{40}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 1.2

2007-07-16T08:01:38Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 1.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-25px; margin-bottom:-10px;">
Skriv på gemensamt bråkstreck
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{7}{4}+\frac{11}{7}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2}{7}-\frac{1}{5}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{2}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{8}{7}+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-25px; margin-bottom:-10px;">
Bestäm minsta gemensamma nämnare
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{10}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{8}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{12}-\frac{1}{14}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{45}+\frac{1}{75}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-25px; margin-bottom:-10px;">
Beräkna följande uttryck genom att använda minsta gemensamma nämnare:
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{3}{20}+\frac{7}{50}-\frac{1}{10}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{24}+\frac{1}{40}-\frac{1}{16}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-25px; margin-bottom:-10px;">
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{7}{10}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{7}}{\displaystyle\frac{3}{8}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{3}{10}}$</td>
</tr><tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-25px; margin-bottom:-10px;">
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{7}\displaystyle -\frac{1}{15}}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle+\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle-\frac{1}{2}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{10}\displaystyle-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{7}{8}\displaystyle-\frac{3}{16}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.2:6'''

<div class="ovning" style="margin-top:-25px; margin-bottom:-10px;">
Förenkla $\ \quad\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{\displaystyle 3+\frac{1}{2}}\displaystyle + \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle -\frac{1}{3}}}{\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle - \frac{3}{\displaystyle 2-\frac{2}{7}}}$
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 1.1

2007-07-16T08:01:10Z

Sammanfattning:

__NOTOC__

'''Övning 1.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)   
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3-7-4+6-5$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-4)+(6-5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6)-5)$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6))-5$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)   
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-(7-4))(6-5)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(((7-4)+6)-5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-4\cdot(6-5)$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-(4+6)/(-5)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.1:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen?
rationella talen? irrationella talen? Förenkla först!
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$8$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-4$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$8-4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$4-8$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$8(-4)$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(-8)(-4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{4}{-8}$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{-8}{-4}$</td>
<td class="ntext">i)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">j)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \Bigl(\frac{4}{\sqrt{2}}\Bigr)^2$</td>
<td class="ntext">k)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-\pi$</td>
<td class="ntext">l)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\pi+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Ordna följande tal i storleksordning
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle 2,\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{3}\ $ och $\ \displaystyle \frac{7}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{5},\ -\frac{3}{10}\ $ och $\ \displaystyle -\frac{1}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{8}\ $ och $\ \displaystyle \frac{21}{34}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 1.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{7}{6}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{9}{4}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{7}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br>
'''Övning 1.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Vilka av följande tal är rationella? Ange dem som en kvot mellan heltal.
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$3,14$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$3{,}1416\,1416\,1416\,\dots$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$0{,}2\,001\,001\,001\,\dots\,$ (därefter är var tredje decimal en 1:a och övriga 0)</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$0{,}10\,100\,1000\,10000\,1\dots\, $ (en 1:a, en 0:a, en 1:a, två 0:or, en 1:a, tre 0:or osv.)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 2.1

2007-07-16T08:00:35Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 2.1:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Utveckla
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3x(x-1)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(1+x-x^2)xy$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-x^2(4-y^2)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^3y^2\left(\displaystyle \frac{1}{y} - \frac{1}{xy}+1\right)$</td>
<td class="ntext">e)    </td>
<td class="ntext" width="33%">$(x-7)^2$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(5+4y)^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(y^2-3x^3)^2$</td>
<td class="ntext">h)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$(5x^3+3x^5)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Utveckla och förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(x-4)(x-5)-3x(2x-3)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(1-5x)(1+15x)-3(2-5x)(2+5x)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(3x+4)^2-(3x-2)(3x-8)$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(3x^2+2)(3x^2-2)(9x^4+4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(a+b)   ^2+(a-b)   ^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:3'''

<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Faktorisera så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-36$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$5x^2-20$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2+6x+9$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-10x+25$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$18x-2x^3$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$16x^2+8x+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm koefficienterna framför $\,x\,$ och $\,x^2\,$ när följande uttryck utvecklas
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$(x+2)(3x^2-x+5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$(1+x+x^2+x^3)(2-x+x^2+x^4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$(x-x^3+x^5)(1+3x+5x^2)(2-7x^2-x^4)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{x-x^2}-\displaystyle \frac{1}{x}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{y^2-2y}-\displaystyle \frac{2}{y^2-4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{(3x^2-12)(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{(y^2+4y+4)(2y-4)}{(y^2+4)(y^2-4)}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\left(x-y+\displaystyle\frac{x^2}{y-x}\right)$ $\left(\displaystyle\frac{y}{2x-y}-1\right)$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{x}{x-2}+\displaystyle \frac{x}{x+3}-2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2a+b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{a-b+\displaystyle\frac{b^2}{a+b}}{1-\left(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}\right)^2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{2}{x+5}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x+\displaystyle \frac{1}{x-1}+\displaystyle \frac{1}{x^2}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{ax}{a+1}-\displaystyle \frac{ax^2}{(a+1)^2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.1:8'''

<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck
<table width="100%">
<tr>
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\displaystyle\ \frac{x}{x+1}\ }{\ 3+x\ }$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+x}}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 2.2

2007-07-16T07:59:52Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 2.2:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x-2=-1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2x+1=13$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{3}x-1=x$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$5x+7=2x-6$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{5x}{6}-\displaystyle\frac{x+2}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{8x+3}{7}-\displaystyle\frac{5x-7}{4}=2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(x+3)^2-(x-5)^2=6x+4$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(x^2+4x+1)^2+3x^4-2x^2=(2x^2+2x+3)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös ekvationerna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{x+3}{x-3}-\displaystyle\frac{x+5}{x-2}=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{4x}{4x-7}-\displaystyle\frac{1}{2x-3}=1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{6x-1}{3x-3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)    </td>
<td class="ntext" width="100%"> $\left(\displaystyle\frac{2}{x}-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4x}+\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{2}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{1}{3}\right)=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td>a)   </td>
<td width="100%">Skriv ekvationen för linjen $\,y=2x+3\,$ på formen $\,ax+by=c\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td>b)   </td>
<td width="100%">Skriv ekvationen för linjen $\,3x+4y-5=0\,$ på formen $\,y=kx+m\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"\></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\,(2,3)\,$ och $\,(3,0)\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient $\,-3\,$ och går genom punkten $\,(1,-2)\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(-1,2)\,$ och är parallell med linjen $\,y=3x+1\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(2,4)\,$ och är vinkelrät mot linjen $\,y=2x+5\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm riktningskoefficienten, $\,k\,$, för den räta linje som skär ''x''-axeln i punkten $\,(5,0)\,$ och ''y''-axeln i punkten $\,(0,-8)\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Finn skärningspunkten mellan följande linjer
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$y=3x+5\ $ och ''x''-axeln</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$y=-x+5\ $ och ''y''-axeln</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$4x+5y+6=0\ $ och ''y''-axeln</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x+y+1=0\ $ och $\ x=12$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$2x+y-1=0\ $ och $\ y-2x-2=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skissera grafen till följande funktioner
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=3x-2$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=2-x$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y \geq x $</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y < 3x -4 $</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$2x+3y \leq 6 $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.2:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Beräkna arean av den triangel som
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">har hörn i punkterna $\,(1,4)\,$, $\,(3,3)\,$ och $\,(1,0)\,$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">begränsas av linjerna $\ x=2y\,$, $\ y=4\ $ och $\ y=10-2x\,$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">beskrivs av olikheterna $\ x+y \geq -2\,$, $\ 2x-y \leq 2\ $ och $\ 2y-x \leq 2\,$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övningar 2.3

2007-07-16T07:58:56Z

Sammanfattning:

__NOTOC__
'''Övning 2.3:1'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Kvadratkomplettera följande uttryck
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$x^2-2x$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$x^2+2x-1$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$5+2x-x^2$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="25%">$x^2+5x+3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:2'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+3=0$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y^2+2y-15=0$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y^2+3y+4=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$4x^2-28x+13=0$</td>
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$5x^2+2x-3=0$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$3x^2-10x+8=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:3'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Lös följande ekvationer direkt
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)=0$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(x-3)(x+5)=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$5(3x-2)(x+8)=0$</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)-x(2x-9)=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$</td>
<td class="ntext">f)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:4'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm en andragradsekvation som har rötterna
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$-1\ $ och $\ 2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">$3\ $ och $\ \sqrt{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:5'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt.</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="100%">Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:6'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm det minsta värde som följande polynom antar
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-2x+1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+2$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-5x+7$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:7'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Bestäm det största värde som följande polynom antar
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$1-x^2$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$-x^2+3x-4$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2+x+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:8'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Skissera grafen till följande funktioner
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2+1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=(x-1)^2+2$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2-6x+11$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:9'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-1$</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-5x+6$</td>
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="33%">$y=3x^2-12x+9$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

'''Övning 2.3:10'''
<div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;">
Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $</td>
<td class="ntext">b)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$1 \geq x \geq y^2 $</td>
<td class="ntext">d)   </td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2 \leq y \leq x $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

Övn 2.2

2007-07-16T07:56:57Z

Sammanfattning: Tar bort sidans innehåll

Övn 2.1

2007-07-16T07:52:38Z

Sammanfattning: Tar bort sidans innehåll

Övn 1.3

2007-07-16T07:48:45Z

Sammanfattning: Tar bort sidans innehåll

Övn 1.2

2007-07-16T07:46:37Z

Sammanfattning: Tar bort sidans innehåll

Övn 1.1

2007-07-16T07:35:30Z

Sammanfattning: Tar bort sidans innehåll

Övn 1

2007-06-25T08:41:21Z

Sammanfattning:

__NOTOC__

==Övning 1.1:1==
<div class="ovning">
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-7-4+6-5$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-4)+(6-5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6)-5)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6))-5$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">

<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-7$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$11$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

==Övning 1.1:2==
<div class="ovning">
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-(7-4))(6-5)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(((7-4)+6)-5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-4\cdot(6-5)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-(4+6)/(-5)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-25$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-19$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:3==
<div class="ovning">
Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen?
rationella talen? irrationella talen? Förenkla först!
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-4$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8-4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4-8$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8(-4)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(-8)(-4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{4}{-8}$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{-8}{-4}$</td>
<td class="ntext">i)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">j)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \Bigl(\frac{4}{\sqrt{2}}\Bigr)^2$</td>
<td class="ntext">k)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\pi$</td>
<td class="ntext">l)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\pi+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">rationella talen</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">i)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">j)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">k)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
<td class="ntext">l)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:4==
<div class="ovning">
Ordna följande tal i storleksordning
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle 2,\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{3}\ $ och $\ \displaystyle \frac{7}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{5},\ -\frac{3}{10}\ $ och $\ \displaystyle -\frac{1}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{8}\ $ och $\ \displaystyle \frac{21}{34}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{3}<2<\frac{7}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{21}{34}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:5==
<div class="ovning">
Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{7}{6}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{9}{4}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{7}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1{,}167$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2{,}250$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$0{,}286$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1{,}414$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.1:6==
<div class="ovning">
Vilka av följande tal är rationella? Ange dem som en kvot mellan heltal.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$3,14$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$3{,}1416\,1416\,1416\,\dots$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$0{,}2\,001\,001\,001\,\dots\,$ (därefter är var tredje decimal en 1:a och övriga 0)</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">$0{,}10\,100\,1000\,10000\,1\dots\, $ (en 1:a, en 0:a, en 1:a, två 0:or, en 1:a, tre 0:or osv.)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och lika med $\,314/100 = 157/50\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och är lika med $\,31413/9999 = 10471/3333\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och lika med $\,1999/9990\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är irrationellt.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:1==
<div class="ovning">
Skriv på gemensamt bråkstreck
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{7}{4}+\frac{11}{7}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2}{7}-\frac{1}{5}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{2}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{8}{7}+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{93}{28}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{35}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{30}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{47}{60}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{47}{84}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:2==
<div class="ovning">
Bestäm minsta gemensamma nämnare
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{10}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{8}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{12}-\frac{1}{14}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2}{45}+\frac{1}{75}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {30}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {8}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {84}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle {225}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:3==
<div class="ovning">
Beräkna följande uttryck genom att använda minsta gemensamma nämnare:
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{3}{20}+\frac{7}{50}-\frac{1}{10}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{24}+\frac{1}{40}-\frac{1}{16}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{19}{100}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{240}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:4==
<div class="ovning">
Förenkla följande uttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{7}{10}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{7}}{\displaystyle\frac{3}{8}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{3}{10}}$</td>
</tr><tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{6}{7}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{16}{21}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{6}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:5==
<div class="ovning">
Förenkla följande uttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{7}\displaystyle -\frac{1}{15}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle+\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle-\frac{1}{2}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{10}\displaystyle-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{7}{8}\displaystyle-\frac{3}{16}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{105}{4}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-5$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{8}{55}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.2:6==

<div class="ovning">
Förenkla $\ \,\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{\displaystyle 3+\frac{1}{2}}\displaystyle + \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle -\frac{1}{3}}}{\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle - \frac{3}{\displaystyle 2-\frac{2}{7}}}$
</div>

<div class="svar">
<table align="center" width="100%"><tr><td class="ntext" align="center">$\displaystyle \frac{152}{35}$</td></tr></table>
</div>

==Övning 1.3:1==

<div class="ovning">
Beräkna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2^3\cdot3^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3^5\cdot9^{-2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$(-5)^3$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\Bigl(\displaystyle \frac{2}{3}\Bigr)^{-3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$72$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-125$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{27}{8}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:2==

<div class="ovning">
Skriv som en potens av 2
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2\cdot4\cdot8$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}25$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^6$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{-2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:3==

<div class="ovning">
Skriv som en potens av 3
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="20%">$\displaystyle \frac{1}{3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="20%">$243$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="20%">$9^2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="20%">$\displaystyle \frac{1}{27}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="20%">$\displaystyle \frac{3}{9^2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="20%">$3^{-1}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="20%">$3^5$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="20%">$3^4$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="20%">$3^{-3}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="20%">$3^{-3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:4==

<div class="ovning">
Beräkna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{9}\cdot2^{-7}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3^{13}\cdot9^{-3}\cdot27^{\,-2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{5^{12}}{5^{-4}}\cdot(5^{2})^{-6}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{2^{\scriptstyle3}}\cdot(-2)^{\scriptstyle-4}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$625\cdot(5^{8}+5^{9})^{-1}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$625$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$16$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{3750}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:5==

<div class="ovning">
Beräkna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4^{1/2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4^{-1/2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$9^{3/2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\left(47^{2/3} \right) ^{3}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3^{1{,}4}\cdot3^{0{,}6}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\bigl( 125 ^{1/3} \bigr)^2\cdot \bigl( 27^{1/3} \bigr)^{-2}\cdot9^{1/2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$27$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2209$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$9$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{25}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 1.3:6==
<div class="ovning">
Avgör vilket tal som är störst av
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$256^{1/3}\ $ och $\ 200^{1/3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}5^{-3}\ $ och $\ 0{,}4^{-3}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}2^5\ $ och $\ 0{,}2^{7}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$400^{1/3}\ $ och $\ \bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$125^{1/2}\ $ och $\ 625^{1/3}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{56}\ $ och $\ 3^{40}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$256^{1/3}>200^{1/3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}4^{-3}>0{,}5^{-3}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0{,}2^{5}>0{,}2^{7}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}>400^{1/3}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$125^{1/2}>625^{1/3}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3^{40}>2^{56}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

Övn 4

2007-06-25T07:52:02Z

Sammanfattning: /* Övning 4.1:10 */ (Lade till bild i uppgiften. /Johan T)

__NOTOC__
==Övning 4.1:1==
<div class="ovning">
Skriv i grader och radianer
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:2==
<div class="ovning">
Omvandla till radianer
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$45^\circ$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$135^\circ$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-63^\circ$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$270^\circ$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:3==
<div class="ovning">
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:O4_1_3a.gif‎]]</td>
<td class="ntext">b) </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:O4_1_3b.gif‎]]</td>
<td class="ntext">c) </td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:O4_1_3c.gif‎]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=50$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=5$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=15$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:4==
<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$5 \textrm{ l.e.}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(2,0)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:5==
<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(x-1)^2+(y-2)^2=4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(x-2)^2+(y+1)^2=13$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:6==
<div class="ovning">
Skissera följande cirklar
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2=9$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(x-1)^2+(y-2)^2=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:7==
<div class="ovning">
Skissera följande cirklar
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2+2x+y^2-2y=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2+4y=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2-2x+y^2+6y=-3$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2-2x+y^2+2y=-2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$.</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. </td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">Endast punkten (1, -1). </td>
</tr>

<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:8==
<div class="ovning">
Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">
$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ </td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.1:9==
<div class="ovning">
På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

==Övning 4.1:10==
<div class="ovning">
En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).

<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr>
<td align="center">
[[Bild:Uppg_4_1_10.gif]]
</td>
</tr><tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=9$ dm</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

==Övning 4.2:1==
<div class="ovning">
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1d.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1e.gif]]</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1f.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%"> $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:2==
<div class="ovning">
Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2b.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2c.gif]]</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2d.gif]]</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2e.gif]]</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2f.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%"> $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$v=30 ^\circ$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:3==
<div class="ovning">
Bestäm
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%"> $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{2\pi}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{9\pi}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%"> $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:4==
<div class="ovning">
Bestäm
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\pi}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:5==
<div class="ovning">
Bestäm
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\cos{135^\circ}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\tan{225^\circ}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\cos{330^\circ}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\tan{495^\circ}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:6==
<div class="ovning">
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x= \sqrt{3}-1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:7==
<div class="ovning">
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:8==
<div class="ovning">
En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.2:9==
<div class="ovning">
Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="center">
<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:1==
<div class="ovning">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:2==
<div class="ovning">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:3==
<div class="ovning">
Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:4==
<div class="ovning">
Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:5==
<div class="ovning">
För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:6==
<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:7==
<div class="ovning">
Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:8==
<div class="ovning">
Visa följande trigonometriska samband
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext>a)</td>
<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext>b)</td>
<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext>c)</td>
<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext>d)</td>
<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
du loggat in till kursen</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.3:9==
<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext>
Visa "Feynmans likhet"
$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
du loggat in till kursen</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:1==
<div class="ovning">
För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=1$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">lösning saknas</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:2==
<div class="ovning">
Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$
</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$
</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">
$x=n\pi$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$
</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$
</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr
x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:3==
<div class="ovning">
Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{15^\circ}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi
}\right.$
</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr
x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ
}\right.$
</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr
x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ
}\right.$
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:4==
<div class="ovning">
Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellpadding="10px">
<tr>
<td align="left">
$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$
</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:5==
<div class="ovning">
Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{x}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\tan{x}=\tan{4x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr
x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3}
}\right.$
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:6==
<div class="ovning">
Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin 2x = -\sin x$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$x=n\pi$
</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$
</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr
x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr
}\right.$
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:7==
<div class="ovning">
Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}+\sin{x}=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\cos{3x}=\sin{4x}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{ \matrix{
x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr
x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{ \matrix{
x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr
x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7}
}\right.$
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 4.4:8==
<div class="ovning">
Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi
}\right.$
</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">
$\left\{\eqalign{
x&=n\pi\cr
x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi
}\right.$
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

Övn 3

2007-06-21T15:33:24Z

Sammanfattning:

__NOTOC__

==Övning 3.1:1==

<div class="ovning">
Skriv i potensform
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{7^5}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\bigl(\sqrt[\scriptstyle3]{3}\,\bigr)^4$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{\sqrt{3}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2^{1/2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$7^{5/2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3^{4/3}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3^{1/4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:2==

<div class="ovning">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{3^2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{\left(-3\right)^2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{-3^2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{5}\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{5}\cdot5$</td>
</tr>

<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{18}\cdot\sqrt{8}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt[\scriptstyle3]{8}$</td>
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt[\scriptstyle3]{-125}$</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">ej definierad</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$5^{11/6}$</td>
</tr>

<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="25%">$12$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2$</td>
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-5$</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

==Övning 3.1:3==

<div class="ovning">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(\sqrt{5}-\sqrt{2}\,\bigr)\bigl(\sqrt{5}+\sqrt{2}\,\bigr)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{16+\sqrt{16}}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{\displaystyle \frac{2}{3}}\bigl(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,\bigr)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sqrt{5}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2-\sqrt{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:4==

<div class="ovning">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{0{,}16}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]{0{,}027}$</td>
</tr>

<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{50}+4\sqrt{20}-3\sqrt{18}-2\sqrt{80}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{48}+ \sqrt{12} +\sqrt{3} -\sqrt{75}$</td>
<td class="ntext"></td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0{,}4$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0{,}3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-4\sqrt{2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2\sqrt{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:5==

<div class="ovning">
Skriv som ett uttryck utan rottecken i nämnaren.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{12}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle3]{7}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{3+\sqrt{7}}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{7^{2/3}}{7}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3-\sqrt{7}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:6==

<div class="ovning">
Skriv som ett uttryck utan rottecken i nämnaren.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{2}+3}{\sqrt{5}-2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\left(\sqrt{3}-2\right)^2-2}$</td>
</tr>

<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}-\displaystyle \frac{1}{2}}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$6+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+\sqrt{10}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle \frac{5+4\sqrt{3}}{23}$</td>
</tr>

<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{6}+\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}-\displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{10}-\displaystyle \frac{2}{5}\sqrt{5}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{5\sqrt{3}+7\sqrt{2}-\sqrt{6}-12}{23}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:7==

<div class="ovning">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{5\sqrt{7}-7\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \sqrt{153}-\sqrt{68}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{5}-\sqrt{7}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\sqrt{35}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{17}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.1:8==

<div class="ovning">
Avgör vilket tal som är störst av
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]5\ $ och $\ \sqrt[\scriptstyle3]6$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt7\ $ och $\ 7$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt7\ $ och $\ 2{,}5$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt2\bigl(\sqrt[\scriptstyle4]3\,\bigr)^3\ $ och $\ \sqrt[\scriptstyle3]2\cdot3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">

<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]6 > \sqrt[\scriptstyle3]5$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$7 > \sqrt7$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt7 > 2{,}5$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\sqrt[\scriptstyle3]2\cdot3 > \sqrt2\bigl(\sqrt[\scriptstyle4]3\,\bigr)^3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:1==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{x-4}=6-x\,$.
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=5$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:2==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{2x+7}=x+2\,$.
</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:3==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{3x-8}+2=x\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$\left \{ \eqalign{ x_1 & = 3 \cr x_2 & = 4\cr } \right.$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:4==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{1-x}=2-x\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Saknar lösning.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:5==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{3x-2}=2-x\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.2:6==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">Lös ekvationen $\ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}=4\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{5}{4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.3:1==
<div class="ovning">
Bestäm $\,x\,$ om
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$10^x=1\,000$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$10^x=0{,}1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{10^x}=100$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{10^x}=0{,}000\,1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=4$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.3:2==

<div class="ovning">
Beräkna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{ 0{,}1}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{ 10\,000}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg {0{,}001}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg {1}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="25%">$10^{\lg{2}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{10^3}$</td>
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="25%">$10^{-\lg{0{,}1}}$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\lg{\displaystyle \frac{1}{10^2}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$4$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-3$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="25%">$3$</td>
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="25%">$10$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.3:3==

<div class="ovning">
Beräkna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_2{8}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_9{\displaystyle \frac{1}{3}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_2{0{,}125}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_3{\left(9\cdot3^{1/3}\right)}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{\log_{\scriptstyle2}{4}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_2{4}+\log_2{\displaystyle \frac{1}{16}}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_3{12}-\log_3{4}$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\log_a{\bigl(a^2\sqrt{a}\,\bigr)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{7}{3}$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{5}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.3:4==

<div class="ovning">
Förenkla
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\lg{50}-\lg{5}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\lg{23}+\lg{\displaystyle \frac{1}{23}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\lg{27^{1/3}}+\displaystyle \frac{\lg{3}}{2}+\lg{\displaystyle \frac{1}{9}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\displaystyle \frac{1}{2}\lg{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.3:5==

<div class="ovning">
Förenkla
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{e^3}+\ln{e^2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{8}-\ln{4}-\ln{2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(\ln{1})\cdot e^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{e}-1$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\ln{\displaystyle \frac{1}{e^2}}$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\left(e^{\ln{e}}\right)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$5$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.3:6==

<div class="ovning">
[[Bild:miniraknare.gif||right]]
Använd miniräknaren till höger för att beräkna med tre decimaler (Knappen <tt>LN</tt> betecknar den naturliga logaritmen i basen ''e''):
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\log_3{4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\lg{46}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\log_3{\log_2{(3^{118})}}$</td>
</tr>
<tr align="left"><td height="40px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$1{,}262$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$1{,}663$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$4{,}762$</td>
</tr>
<tr align="left"><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:1==

<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^x=13$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$13e^x=2\cdot3^{-x}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3e^x=7\cdot2^x$</td>
<tr><td height="5px"/></tr>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\ln 13$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\displaystyle\frac{\ln 2 - \ln 13}{1+\ln 3}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\displaystyle\frac{\ln 7 - \ln 3}{1-\ln 2}$</td>
<tr><td height="5px"/></tr>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:2==

<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2^{\scriptstyle x^2-2}=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$e^{2x}+e^x=4$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3e^{x^2}=2^x$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1&=\sqrt2 \cr x_2&=-\sqrt2 } \right. $</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x=\ln \left(\displaystyle\frac{\sqrt17}{2}-\frac{1}{2}\right)$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">Saknar lösning</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 3.4:3==

<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2^{-x^2}=2e^{2x}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\ln{(x^2+3x)}=\ln{(3x^2-2x)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\ln{x}+\ln{(x+4)}=\ln{(2x+3)}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\,\displaystyle\frac{1}{\ln{2}}\pm\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{\ln{2}}\right)^2-1}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{5}{2}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

Övn 2

2007-06-21T15:07:32Z

Sammanfattning: /* Övning 2.3:10 */

__NOTOC__

==Övning 2.1:1==
<div class="ovning">
Utveckla
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3x(x-1)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(1+x-x^2)xy$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-x^2(4-y^2)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^3y^2\left(\displaystyle \frac{1}{y} - \frac{1}{xy}+1\right)$</td>
<td class="ntext">e) </td>
<td class="ntext" width="33%">$(x-7)^2$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(5+4y)^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(y^2-3x^3)^2$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(5x^3+3x^5)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3x^2-3x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$xy+x^2y-x^3y$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-4x^2+x^2y^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^3y-x^2y+x^3y^2$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-14x+49$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$16y^2+40y+25$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">$9x^6-6x^3y^2+y^4$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">$9x^{10}+30x^8+25x^6$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:2==
<div class="ovning">
Utveckla och förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(x-4)(x-5)-3x(2x-3)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(1-5x)(1+15x)-3(2-5x)(2+5x)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3x+4)^2-(3x-2)(3x-8)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3x^2+2)(3x^2-2)(9x^4+4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(a+b)^2+(a-b)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-5x^2+20$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$10x-11$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$54x$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$81x^8-16$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2a^2+2b^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:3==

<div class="ovning">
Faktorisera så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-36$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$5x^2-20$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2+6x+9$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-10x+25$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$18x-2x^3$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$16x^2+8x+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(x+6)(x-6)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$5(x+2)(x-2)$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(x+3)^2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(x-5)^2$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-2x(x+3)(x-3)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(4x+1)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:4==
<div class="ovning">
Bestäm koefficienterna framför $\,x\,$ och $\,x^2\,$ när följande uttryck utvecklas
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(x+2)(3x^2-x+5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(1+x+x^2+x^3)(2-x+x^2+x^4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$(x-x^3+x^5)(1+3x+5x^2)(2-7x^2-x^4)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$5\,$ framför $\,x^2\,$, $\,3\,$ framför $\,x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$2\,$ framför $\,x^2\,$, $\,1\,$ framför $\,x$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">$\textrm{c) }$</td>
<td class="ntext" width="100%">$6\,$ framför $\,x^2\,$, $\,2\,$ framför $\,x$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:5==
<div class="ovning">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{x-x^2}-\displaystyle \frac{1}{x}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{y^2-2y}-\displaystyle \frac{2}{y^2-4}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{(3x^2-12)(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{(y^2+4y+4)(2y-4)}{(y^2+4)(y^2-4)}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{1-x}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-\displaystyle \frac{1}{y(y+2)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3(x-2)(x-1)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2(y+2)}{y^2+4}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:6==
<div class="ovning">
Förenkla så långt som möjligt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left(x-y+\displaystyle\frac{x^2}{y-x}\right)$ $\left(\displaystyle\frac{y}{2x-y}-1\right)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{x}{x-2}+\displaystyle \frac{x}{x+3}-2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{2a+b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{a-b+\displaystyle\frac{b^2}{a+b}}{1-\left(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}\right)^2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2y$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{b}{a(a-b)}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{a(a+b)}{4b}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:7==
<div class="ovning">
Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{2}{x+5}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x+\displaystyle \frac{1}{x-1}+\displaystyle \frac{1}{x^2}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{ax}{a+1}-\displaystyle \frac{ax^2}{(a+1)^2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x+5)}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x^4-x^3+x^2+x-1}{x^2(x-1)}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{ax(a+1-x)}{(a+1)^2}$</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.1:8==

<div class="ovning">
Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr>
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\displaystyle\ \frac{x}{x+1}\ }{\ 3+x\ }$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+x}}}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x}{(x+3)(x+1)}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{2(x-3)}{x}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x+2}{2x+3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:1==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x-2=-1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2x+1=13$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{3}x-1=x$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$5x+7=2x-6$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=6$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c) </td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\displaystyle\frac{3}{2}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-\displaystyle\frac{13}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:2==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{5x}{6}-\displaystyle\frac{x+2}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{8x+3}{7}-\displaystyle\frac{5x-7}{4}=2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(x+3)^2-(x-5)^2=6x+4$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(x^2+4x+1)^2+3x^4-2x^2=(2x^2+2x+3)^2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle\frac{5}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x=-2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:3==
<div class="ovning">
Lös ekvationerna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{x+3}{x-3}-\displaystyle\frac{x+5}{x-2}=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{4x}{4x-7}-\displaystyle\frac{1}{2x-3}=1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{6x-1}{3x-3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d) </td>
<td class="ntext" width="100%"> $\left(\displaystyle\frac{2}{x}-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4x}+\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{2}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{1}{3}\right)=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$x=9$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{7}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c) </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{4}{5}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d) </td>
<td class="ntext" width="100%">$x=\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:4==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td>a)</td>
<td width="100%">Skriv ekvationen för linjen $\,y=2x+3\,$ på formen $\,ax+by=c\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td>b)</td>
<td width="100%">Skriv ekvationen för linjen $\,3x+4y-5=0\,$ på formen $\,y=kx+m\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"\></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td>a)</td>
<td width="100%">$-2x+y=3$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td>b)</td>
<td width="100%">$y=-\displaystyle\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"\></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:5==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\,(2,3)\,$ och $\,(3,0)\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient $\,-3\,$ och går genom punkten $\,(1,-2)\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(-1,2)\,$ och är parallell med linjen $\,y=3x+1\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(2,4)\,$ och är vinkelrät mot linjen $\,y=2x+5\,$.</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm riktningskoefficienten, $\,k\,$, för den räta linje som skär ''x''-axeln i punkten $\,(5,0)\,$ och ''y''-axeln i punkten $\,(0,-8)\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$y=-3x+9$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$y=-3x+1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$y=3x+5$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">$y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+5$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="100%">$k = \displaystyle\frac{8}{5}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:6==

<div class="ovning">
Finn skärningspunkten mellan följande linjer
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$y=3x+5\ $ och ''x''-axeln</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$y=-x+5\ $ och ''y''-axeln</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$4x+5y+6=0\ $ och ''y''-axeln</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x+y+1=0\ $ och $\ x=12$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$2x+y-1=0\ $ och $\ y-2x-2=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(-\frac{5}{3},0\bigr)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(0,5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(0,-\frac{6}{5}\bigr)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(12,-13)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\bigl(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\bigr)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:7==

<div class="ovning">
Skissera grafen till följande funktioner
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=3x-2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=2-x$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=2$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_7a.gif‎]] </td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_7b.gif‎]] </td>
</tr><tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_7c.gif‎]] </td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:8==

<div class="ovning">
Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y \geq x $</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y < 3x -4 $</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$2x+3y \leq 6 $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_8a.gif‎]]</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_8b.gif‎]]</td>
</tr><tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">[[Bild:Svar_o2_2_8c.gif‎]]</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.2:9==

<div class="ovning">
Beräkna arean av den triangel som
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">har hörn i punkterna $\,(1,4)\,$, $\,(3,3)\,$ och $\,(1,0)\,$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">begränsas av linjerna $\ x=2y\,$, $\ y=4\ $ och $\ y=10-2x\,$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">beskrivs av olikheterna $\ x+y \geq -2\,$, $\ 2x-y \leq 2\ $ och $\ 2y-x \leq 2\,$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$4\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$5\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$6\,$ a.e.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:1==

<div class="ovning">
Kvadratkomplettera följande uttryck
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$x^2-2x$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$x^2+2x-1$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$5+2x-x^2$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$x^2+5x+3$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$(x-1)^2-1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$(x+1)^2-2$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$-(x-1)^2+6$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:2==

<div class="ovning">
Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+3=0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y^2+2y-15=0$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y^2+3y+4=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4x^2-28x+13=0$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$5x^2+2x-3=0$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$3x^2-10x+8=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%"> saknar (reella) lösning</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:3==

<div class="ovning">
Lös följande ekvationer direkt
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)=0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(x-3)(x+5)=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$5(3x-2)(x+8)=0$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)-x(2x-9)=0$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:4==

<div class="ovning">
Bestäm en andragradsekvation som har rötterna
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$-1\ $ och $\ 2$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$3\ $ och $\ \sqrt{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:5==

<div class="ovning">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt.</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$3< x<4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$b=-5$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:6==

<div class="ovning">
Bestäm det minsta värde som följande polynom antar
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-2x+1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+2$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2-5x+7$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{4}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:7==

<div class="ovning">
Bestäm det största värde som följande polynom antar
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1-x^2$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-x^2+3x-4$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$x^2+x+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{4}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">saknar max</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:8==

<div class="ovning">
Skissera grafen till följande funktioner
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2+1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=(x-1)^2+2$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2-6x+11$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td>Se lösningen i
webmaterialet när du loggat in till kursen.</td>
</tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:9==

<div class="ovning">
Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-1$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-5x+6$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$y=3x^2-12x+9$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

==Övning 2.3:10==

<div class="ovning">
Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1 \geq x \geq y^2 $</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x^2 \leq y \leq x $</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td>Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen</td>
</tr>
</table>
</div>

Övn 2.3

2007-06-21T14:56:26Z

Sammanfattning: Tar bort sidans innehåll

Sammanställning övningar

2007-06-21T13:10:15Z

Sammanfattning:

__NOTOC__

[[övn 1|1 Numerisk räkning]]

[[övn 2|2 Algebra]]

[[övn 3|3 Rötter och algoritmer]]

[[övn 4|4 Trigonometri]]

U

2007-06-21T12:59:39Z

Sammanfattning:

__NOTOC__

[[Sammanställning övningar]]

=utskrift=
==Övning 1.1:1==
<div class="ovning">
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-7-4+6-5$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-4)+(6-5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6)-5)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6))-5$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class="svar">

<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-7$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$11$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>

</div>

==Övning 1.1:2==
<div class="ovning">
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$(3-(7-4))(6-5)$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3-(((7-4)+6)-5)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-4\cdot(6-5)$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-(4+6)/(-5)$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-1$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-25$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-19$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_2a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_2b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_2c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_2d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 1.1:3==
<div class="ovning">
Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen?
rationella talen? irrationella talen? Förenkla först!
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-4$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8-4$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">$4-8$</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">$8(-4)$</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">$(-8)(-4)$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{4}{-8}$</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{-8}{-4}$</td>
<td class="ntext">i)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">j)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \Bigl(\frac{4}{\sqrt{2}}\Bigr)^2$</td>
<td class="ntext">k)</td>
<td class="ntext" width="33%">$-\pi$</td>
<td class="ntext">l)</td>
<td class="ntext" width="33%">$\pi+1$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr><td height="5px"/></tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">e)</td>
<td class="ntext" width="33%">heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">g)</td>
<td class="ntext" width="33%">rationella talen</td>
<td class="ntext">h)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">i)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
</tr>
<tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">j)</td>
<td class="ntext" width="33%">naturliga talen, heltalen, rationella talen</td>
<td class="ntext">k)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
<td class="ntext">l)</td>
<td class="ntext" width="33%">irrationella talen</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning e) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga e)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3e.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning f) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga f)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3f.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning g) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga g)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3g.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning h) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga h)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3h.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning i) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga i)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3i.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning j) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga j)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3j.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning k) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga k)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3k.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning l) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga l)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_3l.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 1.1:4==
<div class="ovning">
Ordna följande tal i storleksordning
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle 2,\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{3}\ $ och $\ \displaystyle \frac{7}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{5},\ -\frac{3}{10}\ $ och $\ \displaystyle -\frac{1}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{8}\ $ och $\ \displaystyle \frac{21}{34}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{3}<2<\frac{7}{3}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$</td>
</tr>
<tr>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{21}{34}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_4a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_4b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_4c-1(2).gif]]
</td>
</tr>
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_4c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 1.1:5==
<div class="ovning">
Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{7}{6}$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{9}{4}$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{7}$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$\sqrt{2}$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1{,}167$</td>
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="25%">$2{,}250$</td>
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="25%">$0{,}286$</td>
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="25%">$1{,}414$</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_5a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_5b.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_5c.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_5d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

==Övning 1.1:6==
<div class="ovning">
Vilka av följande tal är rationella? Ange dem som en kvot mellan heltal.
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">$3,14$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">$3{,}1416\,1416\,1416\,\dots$</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">$0{,}2\,001\,001\,001\,\dots\,$ (därefter är var tredje decimal en 1:a och övriga 0)</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">$0{,}10\,100\,1000\,10000\,1\dots\, $ (en 1:a, en 0:a, en 1:a, två 0:or, en 1:a, tre 0:or osv.)</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Facit </div>
<div class=NavContent>
Facit till alla delfrågor
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td class="ntext">a)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och lika med $\,314/100 = 157/50\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och är lika med $\,31413/9999 = 10471/3333\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">c)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är rationellt och lika med $\,1999/9990\,$.</td>
</tr>
<tr align="left">
<td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="100%">Talet är irrationellt.</td>
</tr>
<tr><td height="5px"/></tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning a) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga a)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_6a.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning b) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga b)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_6b-1(2).gif]]
</td>
</tr>
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_6b-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning c) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga c)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_6c-1(2).gif]]
</td>
</tr>
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_6c-2(2).gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
<div class=NavHead>Lösning d) </div>
<div class=NavContent>
Lösning till delfråga d)
<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left">
<td width="100%" align="center">
[[Bild:1_1_6d.gif]]
</td>
</tr>
</table>
</div>
</div>

Trasiga länkar

2007-05-11T08:40:07Z

Sammanfattning:

==1.2 Bråkräkning==

'''Länktips'''

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex13_brakaddition/Ex13Applet.html Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk. ]

==2.3 Andragradsuttryck==

'''Länktips'''

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex1_ekvation/Ex1Applet_text.htm Experimentera - När väger ekvationens led lika?]

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/AndragrEkv_traning/AndEkv.html Träna på andragradsekvationer och slå ditt personliga rekord.]

==3.2 Rotekvationer==

'''Lästips'''

[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/01_kursoversikt/index.asp Läs mer om Algebra i Theducations Gymnasielexikon]

==4.1 Vinklar och cirklar==

'''Lästips'''

[http://www.theducation.se/kurser/gymab/bgeometri_sam/bgeometri_sam.htm Sammanfattning av Geometri B ur Theducations gymnasielexikon]

'''Länktips'''

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex31_randvinkelsatsen/index.html Experimentera med Randvinkelsatsen]

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex24_avstand_pythagoras/index.html Experimentera med Pythagoras sats]

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex38_fyrhorning/fyrhorning.html Experimentera med vinkelsumman i en fyrhörning]

==4.2 Trigonometriska samband==

'''Lästips'''

[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/43_trig_formler/432_addisionsformlerna/index.asp Läs mer om trigonometriska formler i Theducations gymnasielexikon]

[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/43_trig_formler/432_addisionsformlerna/index.asp Läs mer om area-, sinus och cosinussatserna i Theducations gymnasielexikon]

==4.4 Trigonometriska ekvationer==

'''Lästips'''

[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/44_trig_ekvationer/index.asp Läs mer om trigonometriska ekvationer i Theducations gymnasielexikon ]

[http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/44_trig_ekvationer/445_typ_asinx/index.asp Träna på trigonometriska räkneexempel i Theducations gymnasielexikon]

'''Länktips'''

[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex45_derivatasinus/Ex45Applet.html Experimentera med derivatan av sin x]