Övn 2 - Versionshistorik

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:2 */

2007-06-25T12:21:16Z

Övning 2.1:2

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 12.21
Rad 59:		Rad 59:


-	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">	+	<div class="svar">
-	<div class=NavHead>Facit </div>	+
-	<div class=NavContent>	+
-	Facit till alla delfrågor	+
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
Rad 79:		Rad 76:
	<tr><td height="5px"/></tr>		<tr><td height="5px"/></tr>
	</table>		</table>
-	</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1 den 25 juni 2007 kl. 12.20

2007-06-25T12:20:18Z

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 12.20
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	==Övning 2.1:1==		==Övning 2.1:1==
	<div class="ovning">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde		<div class="ovning">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.2:4 */

2007-06-25T09:24:07Z

Övning 2.2:4

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.24
Rad 364:		Rad 364:
	<td class="ntext">d)</td>		<td class="ntext">d)</td>
	<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>		<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+	==Övning 2.3:1==
		+	<div class="ovning">Beräkna integralerna
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x e^{-x} \, dx$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int(x+1) \sin x \, dx$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int x^2 \cos x \, dx$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int x \ln x \, dx$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+	<div class="svar">
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$-2(x+1)e^{-x}+C$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$-(x+1)\cos x+\sin x + C$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$2x\cos x + (x^2-2)\sin x + C$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{x^2}{2}\left(\ln x - \frac{1}{2}\right) + C$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+
		+	==Övning 2.3:2==
		+	<div class="ovning">Beräkna integralerna
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int e^{\sqrt x}\, dx$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} x^3 e^{x^2} \, dx$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \tan x \, dx$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \ln x\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	Ledning c) $\displaystyle\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \left(\ln\, f(x)\right)'=\frac{f'(x)}{f(x)}$ <br\>
		+	Ledning d) Använd substitutionen $u=\ln x$
		+	</div>
		+
		+	<div class="svar">
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$2e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x}-1\right)+C$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$-\ln\|\cos x\|+C$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$x(\ln x-1)+C$</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:5 */

2007-06-25T09:22:25Z

Övning 2.1:5

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.22
Rad 199:		Rad 199:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>		<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+	==Övning 2.2:1==
		+	<div class="ovning">
		+	Beräkna integralerna
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left" valign="top">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}$ genom att använda substitution $u=3x-1$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left" valign="top">
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx$ genom att använda substitution $u=x^2+3$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left" valign="top">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx$ genom att använda substitution $u=x^3$</td>
		+	</tr>
		+	<tr><td height="5px"/></tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+	<div class="svar">
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left" valign="top">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{13}{1000}$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left" valign="top">
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left" valign="top">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$</td>
		+	</tr>
		+	<tr><td height="5px"/></tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+	==Övning 2.2:2==
		+	<div class="ovning">Beräkna integralerna
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	Ledning b) Använd substitutionen $u=2x+3$<br\>
		+	Ledning c) Använd substitutionen $u^2=3x+1$<br\>
		+	Ledning d) Använd substitutionen $u^3=1-x$
		+	</div>
		+
		+
		+	<div class="svar">
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$0$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$14$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+
		+	==Övning 2.2:3==
		+	<div class="ovning">Beräkna integralerna
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">e)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{x^2+1}\, dx$</td>
		+	<td class="ntext">f)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	Ledning c) $\displaystyle \frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot \frac{1}{x}= \ln x \cdot (\ln x)'$<br>
		+	Ledning d, e) $\left(\ln \, f(x)\right)'=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$<br>
		+	Ledning f) Använd substitutionen $u=\sqrt x$
		+	</div>
		+
		+	<div class="svar">
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$-\cos x^2+C$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">e)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$</td>
		+	<td class="ntext">f)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+
		+
		+	==Övning 2.2:4==
		+	<div class="ovning">Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	Ledning: Substituera så att $x^2+a = au^2+a =a(u^2+1)$
		+	</div>
		+
		+	<div class="svar">
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">c)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$</td>
		+	<td class="ntext">d)</td>
		+	<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:5 */

2007-06-25T09:19:43Z

Övning 2.1:5

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.19
Rad 191:		Rad 191:


-	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">	+	<div class="svar">
-	<div class=NavHead>Facit </div>	+
-	<div class=NavContent>	+
-	Facit till alla delfrågor	+
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
Rad 204:		Rad 201:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
-	</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:4 */

2007-06-25T09:19:12Z

Övning 2.1:4

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.19
Rad 172:		Rad 172:
	<tr><td height="5px"/></tr>		<tr><td height="5px"/></tr>
	</table>		</table>
-	</div>
-
-
-
-
-	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-	<div class=NavHead>Lösning b </div>
-	<div class=NavContent>
-	Lösning till delfråga b<br>
-
-	Det första som vi behöver göra är att ta reda på var kurvan $y = -x^2+2x+2$ skär x-axeln, så vi sätter $y=0$ och löser andragradsekvationen;
-
-	$$-x^2+2x+2 = 0 \Rightarrow$$
-	$$ x^2-2x-2 = 0 \Rightarrow $$
-	$$ x = 1 \pm \sqrt{1+2} \Rightarrow$$
-	$$x_1 = 1-\sqrt{3} \qquad x_2 = 1+\sqrt{3} $$
-
-	Vi kan försäkra oss om att kurvan ligger ovanför x-axeln mellan dessa punkter, eftersom t.ex. punkten $x=0$ ger ett positivt värde. Vi kan nu ställa upp integralen som
-
-	$$ \int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} -x^2 + 2x +2 dx $$
-
-	De primitiva funktionerna till $-x^2$, $2x$ och $2$ är $-\frac{x^3}{3}$, $x^2$ resp. $2x$, så vi får
-
-	$$ \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 2x \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} = \left[ x( x + 2 - \frac{x^2}{3} ) \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} $$
-
-
-	Nu är det bara att sätta in gränserna och vi får det enorma uttrycket
-
-	$$ (1+\sqrt{3})( (1+\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3} ) - (1-\sqrt{3})( (1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1-\sqrt{3})^2}{3} ) $$
-	<br>
-
-	För att inte tappa bort oss, så räknar vi ut de olika termerna var för sig.
-
-	Vänstra uttrycket blir;
-
-	$$ (1+\sqrt{3})( (1+\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3} ) = $$
-	$$ (1+\sqrt{3})( 3+\sqrt{3} - \frac{1+2\sqrt{3}+3}{3} ) = $$
-	$$ (1+\sqrt{3})( 3+\sqrt{3} - \frac{4}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} ) = $$
-	$$ (1+\sqrt{3})( \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} ) = $$
-	$$ \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}^2}{3} = $$
-	$$ \frac{8}{3} + 2\sqrt{3} $$
-
-
-	Högra uttrycket räknas ut på nästan samma sätt;
-
-	$$ (1-\sqrt{3})( (1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1-\sqrt{3})^2}{3} ) = $$
-	$$ (1-\sqrt{3})( 3-\sqrt{3} - \frac{1-2\sqrt{3}+3}{3} ) = $$
-	$$ (1-\sqrt{3})( 3-\sqrt{3} - \frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} ) = $$
-	$$ (1-\sqrt{3})( \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} ) = $$
-	$$ \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}^2}{3} = $$
-	$$ \frac{8}{3} - 2\sqrt{3} $$
-
-	Sammanlagt får vi då $\displaystyle{ (\frac{8}{3} + 2\sqrt{3})-(\frac{8}{3} - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} }$.
-	<br>
-	Svaret på uppgiften är alltså $\displaystyle{ 4.\sqrt{3} }$ a.e.
-
-	</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:4 */

2007-06-25T09:18:08Z

Övning 2.1:4

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.18
Rad 150:		Rad 150:


-	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">	+	<div class="svar">
-	<div class=NavHead>Facit </div>	+
-	<div class=NavContent>	+
-	Facit till alla delfrågor	+
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
Rad 176:		Rad 173:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
-	</div>	+

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:3 */

2007-06-25T09:17:32Z

Övning 2.1:3

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.17
Rad 103:		Rad 103:


-	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">	+	<div class="svar">
-	<div class=NavHead>Facit </div>	+
-	<div class=NavContent>	+
-	Facit till alla delfrågor	+
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
Rad 123:		Rad 120:
	<tr><td height="5px"/></tr>		<tr><td height="5px"/></tr>
	</table>		</table>
-	</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:1 */

2007-06-25T09:16:58Z

Övning 2.1:1

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.16
Rad 18:		Rad 18:
	</div>		</div>

-		+	<div class="svar">
-	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">	+
-	<div class=NavHead>Facit </div>	+
-	<div class=NavContent>	+
-	Facit till alla delfrågor	+
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
Rad 39:		Rad 35:
	<tr><td height="5px"/></tr>		<tr><td height="5px"/></tr>
	</table>		</table>
-	</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1xsetv1: Ny sida: ==Övning 2.1:1==
Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde

a)

Övn 2 - Versionshistorik

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:2 */

KTH.SE:u1xsetv1 den 25 juni 2007 kl. 12.20

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.2:4 */

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:5 */

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:5 */

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:4 */

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:4 */

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:3 */

KTH.SE:u1xsetv1: /* Övning 2.1:1 */

KTH.SE:u1xsetv1: Ny sida: ==Övning 2.1:1== Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde a)

KTH.SE:u1xsetv1: Ny sida: ==Övning 2.1:1==
Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde

a)