1.2. Deriveringsregler - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 12.39

2007-07-17T12:39:33Z

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.39
Rad 161:		Rad 161:

	</div>		</div>
-	<br><br><br><br>	+	<br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 12.38

2007-07-17T12:38:45Z

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.38
Rad 161:		Rad 161:

	</div>		</div>
		+	<br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Derivator av högre ordningar */

2007-07-17T12:37:21Z

Derivator av högre ordningar

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.37
Rad 154:		Rad 154:
	$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $ <br><br>		$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $ <br><br>
	<li>$ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$ <br>		<li>$ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$ <br>
-	$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr)=e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$<br>	+	$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) $<br>
-	$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$	+	$ \phantom{D^2(e^x\sin x)} =e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$<br>
		+	$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) $<br>
		+	$\phantom{D^3 ( e^x \sin x)} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$
	</ol>		</ol>

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Derivering av sammansatta funktioner */

2007-07-17T12:33:35Z

Derivering av sammansatta funktioner

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.33
Rad 123:		Rad 123:
	'''Exempel 4'''		'''Exempel 4'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$<br>	+	<li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x $<br>
		+	$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$ <br>
	$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$ <br><br>		$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$ <br><br>
	<li>$ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$<br>		<li>$ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$<br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Derivering av produkt och kvot */

2007-07-17T12:30:27Z

Derivering av produkt och kvot

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.30
Rad 39:		Rad 39:
	<li>$ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.<br><br>		<li>$ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.<br><br>
	<li>$\displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$. <br><br>		<li>$\displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$. <br><br>	+	<li>$\displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} $
-	<li>$\displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$. <br><br>	+	$\displaystyle \phantom{D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.	+	<li>$\displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}$ <br>$\displaystyle \phantom{D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}} = \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$. <br><br>
		+	<li>$\displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} $<br>
		+	$\displaystyle \phantom{D\,\frac{x\,e^x}{1+x}}= \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.
	</ol>		</ol>

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 12.17

2007-07-17T12:17:10Z

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.17
Rad 24:		Rad 24:
	<tr><td width=600>		<tr><td width=600>
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->
-
	==Derivering av produkt och kvot==		==Derivering av produkt och kvot==
	Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:		Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:
Rad 35:		Rad 34:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 9'''	+	'''Exempel 1'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>$ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$. <br><br>		<li>$ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$. <br><br>
Rad 58:		Rad 57:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 10'''	+	'''Exempel 2'''

	För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är		För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är
Rad 87:		Rad 86:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 11'''	+	'''Exempel 3'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>$ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$<br><br>		<li>$ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$<br><br>
Rad 120:		Rad 119:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 12'''	+	'''Exempel 4'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$<br>		<li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$<br>
Rad 143:		Rad 142:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 13'''	+	'''Exempel 5'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>$ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$ <br>		<li>$ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$ <br>

KTH.SE:u1zpa8nw: Ny sida: NOTOC
{{Info| '''Innehåll:''' * Derivata av en produkt och kvot * Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) * Högre ordningars derivata }} {{Info|...
2007-07-17T12:11:56Z

Ny sida: NOTOC <table><tr><td width="600"> {{Info| '''Innehåll:''' * Derivata av en produkt och kvot * Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) * Högre ordningars derivata }} {{Info|...

Ny sida
NOTOC
<table><tr><td width="600">

{{Info|
'''Innehåll:'''
* Derivata av en produkt och kvot
* Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
* Högre ordningars derivata
}}

{{Info|
'''Färdigheter:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
}}

</td>
<td>

</td></tr>

<tr><td width=600>


==Derivering av produkt och kvot==
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:

<div class="regel">
'''Deriveringsregler för produkter och kvoter:'''
$$\eqalign{D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\cr D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl( g(x)\bigr)^2}}$$
</div>
(Observera att derivering av produkter och kvoter '''inte''' är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<ol type="a">
<li>$ D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (2x +x^2)\,e^x\,$. <br><br>
<li>$ D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x \cos x\,$.<br><br>
<li>$\displaystyle D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x} - (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2} = \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac { \displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,$. <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\frac{x\,e^x}{1+x} = \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x) - x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,$.
</ol>

</div>

==Derivering av sammansatta funktioner==

En funktion $\,y=f(g)\,$ där variabeln $\,g\,$ i sin tur är beroende av en variabel $\,x\,$ får formen $\,y=f \bigl( g(x)\bigr)$ och kallas sammansatt funktion.
Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln $\,x\,$, använder man följande regel:
$$y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr) \cdot g'(x)\,\mbox{.}$$
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter $y=f(u)$ och $u=g(x)$ kan kedjeregeln skrivas
$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}$$
Man brukar säga att den sammansatta funktionen $\,y\,$ består av den ''yttre'' funktionen $\,f\,$ och den ''inre'' funktionen $\,g\,$. Analogt kallas $\,f^{\,\prime}\,$ för den ''yttre derivatan'' och $\,g'\,$ den ''inre derivatan''.

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

För funktionen $y=(x^2 + 2x)^4$ är

:::{| class="wikitable" cellpadding="0px" cellspacing="0px" align="center"
|-
|style="text-align:left"| $y=u^4\quad$
|style="text-align:left" | yttre funktionen, och
|style="text-align:left"| $\quad u=x^2 + 2x\quad$
|style="text-align:left" | inre funktion.
|-
|style="text-align:left"| $\displaystyle \frac{dy}{du} = 4 u^3\quad$
|style="text-align:left" | yttre derivatan, och
|style="text-align:left"| $\quad\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x + 2\quad$
|style="text-align:left" | inre derivatan.
|}

Derivatan av funktionen $\,y\,$ med avseende på $\,x\,$ blir enligt kedjeregeln
$$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{du} \cdot \displaystyle \frac{du}{dx} = 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}$$

</div>

När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret

$$(\text{yttre derivata})\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}$$

Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''
<ol type="a">
<li>$ f(x) = \sin (3x^2 + 1)$<br><br>
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&\cos (3x^2 +1)\cr \text{Inre derivatan:}&6x\end{array}$<br><br>
$\,f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos (3x^2 +1)$
<br><br>

<li>$ y = 5 \, e^{x^2}$ <br><br>
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&5 \, e^{x^2}\cr \text{Inre derivatan:}&2x\end{array}$<br><br>
$\,y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}$
<br><br>

<li>$ f(x) = e^{x\cdot \sin x}$ <br><br>
$\begin{array}{ll} \text{Yttre derivatan:}&e^{x\cdot \sin x}\cr \text{Inre derivatan:}&1\cdot \sin x + x \cos x\end{array}$<br><br>
$\,f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)$
<br><br>

<li>$ s(t) = t^2 \cos (\ln t) $ <br><br>
$ s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t) + t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot \displaystyle \frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)$ <br><br>

<li>$ D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = D\,e^{\ln a \cdot x} = e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a $ <br><br>

<li>$ D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \displaystyle \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}$

</ol>

</div>

Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen $y= f \bigl( g(h(x))\bigr)$ har derivatan
$$y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}$$

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''
<ol type="a">
<li>$ D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3 = 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x =3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)$<br>
$ \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x$ <br><br>
<li>$ D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr) = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)$<br>
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x)$<br>
$\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3\cdot (2x-3) $ <br><br>
<li>$ D\,\sin^4 (x^2 -3x) = D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4 = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x)$<br>
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x)$<br>
$\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)$ <br><br>
<li>$\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr) = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot D\,(x^3-1)$<br>
$\displaystyle\phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}$
</ol>

</div>

==Derivator av högre ordningar==
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv. <br>
Andraderivatan brukar betecknas $f^{\,\prime\prime}$ (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas $\,f^{\,(3)}\,$, $\,f^{\,(4)}\,$ osv.

Även beteckningarna $\,D^2 f\,$, $\,D^3 f\,$, $\,\ldots\,$ och $\,\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}\,$, $\,\displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}\,$, $\,\ldots\,$ är vanliga.

<div class="exempel">
'''Exempel 13'''
<ol type="a">
<li>$ f(x) = 3\,e^{x^2 -1}$ <br>
$ f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}$ <br>
$ f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) $ <br><br>
<li>$ y = \sin x\,\cos x$ <br>
$ \displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}$ <br>
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $ <br><br>
<li>$ D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$ <br>
$ D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr)=e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)= 2\,e^x \cos x\vphantom{\biggl(}$<br>
$D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )$
</ol>

</div>