2.1. Inledning till integraler - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 14.14

2007-07-17T14:14:31Z

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.14
Rad 391:		Rad 391:

	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>		<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Area mellan kurvor */

2007-07-17T14:12:22Z

Area mellan kurvor

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.12
Rad 320:		Rad 320:

	==Area mellan kurvor==		==Area mellan kurvor==
-	Om $\,f(x) \ge g(x)\,$ i ett intervall $\,a\le x\le b\,$ gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av <br><br>	+	Om $\,f(x) \ge g(x)\,$ i ett intervall $\,a\le x\le b\,$ gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av <br><br><br><br>
	$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}$$		$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}$$
	vilket kan förenklas till		vilket kan förenklas till

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Area mellan kurvor */

2007-07-17T14:10:19Z

Area mellan kurvor

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.10
Rad 320:		Rad 320:

	==Area mellan kurvor==		==Area mellan kurvor==
-	Om $\,f(x) \ge g(x)\,$ i ett intervall $\,a\le x\le b\,$ gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av	+	Om $\,f(x) \ge g(x)\,$ i ett intervall $\,a\le x\le b\,$ gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av <br><br>
	$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}$$		$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}$$
	vilket kan förenklas till		vilket kan förenklas till

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 14.04

2007-07-17T14:04:34Z

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.04
Rad 389:		Rad 389:

	</div>		</div>
		+
		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Area mellan kurvor */

2007-07-17T14:04:12Z

Area mellan kurvor

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.04
Rad 383:		Rad 383:

	Integralerna blir därför		Integralerna blir därför
-	$$\eqalign{A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\cr &=(2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\cr A_2&= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}}$$	+	$$\eqalign{A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} \cr &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}=(2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\cr A_2&= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}}$$

	Den sammanlagda arean blir		Den sammanlagda arean blir

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räkneregler för integraler */

2007-07-17T14:01:22Z

Räkneregler för integraler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.01
Rad 306:		Rad 306:
	<ol type="a" start=3>		<ol type="a" start=3>
	<li>$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx $<br>		<li>$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx $<br>
-	$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx\vphantom{\Biggl(}= \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} = \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = {\textstyle\frac{2}{3}}(3 - \ln 2) = 2 - {\textstyle\frac{2}{3}}\ln 2 $ <br><br>	+	$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx\vphantom{\Biggl(}= \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} $<br>
		+	$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = {\textstyle\frac{2}{3}}(3 - \ln 2) = 2 - {\textstyle\frac{2}{3}}\ln 2 $ <br><br>
	</ol>		</ol>

	[[Bild:Integral14.gif\|200px\|right\|‎]]		[[Bild:Integral14.gif\|200px\|right\|‎]]
	<ol type="a" start=4>		<ol type="a" start=4>
-	<li>$\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl({\textstyle\frac{8}{3}} - 2\bigr) - \bigl({\textstyle\frac{-1}{3}} + 1 \bigr) = 0$<br><br>	+	<li>$\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} $<br>
		+	$\displaystyle\phantom{\int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx}{}= \bigl({\textstyle\frac{8}{3}} - 2\bigr) - \bigl({\textstyle\frac{-1}{3}} + 1 \bigr) = 0$<br>
	(Detta visar att den skuggade arean under ''x''-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför ''x''-axeln.)<br><br><br><br>		(Detta visar att den skuggade arean under ''x''-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför ''x''-axeln.)<br><br><br><br>
	</ol>		</ol>

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 13.57

2007-07-17T13:57:43Z

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 13.57
Rad 305:		Rad 305:

	<ol type="a" start=3>		<ol type="a" start=3>
-	<li>$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx\vphantom{\Biggl(}$<br>	+	<li>$ \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx $<br>
-	$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} = \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = {\textstyle\frac{2}{3}}(3 - \ln 2) = 2 - {\textstyle\frac{2}{3}}\ln 2 $ <br><br>	+	$\displaystyle\phantom{\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx}{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx\vphantom{\Biggl(}= \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} = \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = {\textstyle\frac{2}{3}}(3 - \ln 2) = 2 - {\textstyle\frac{2}{3}}\ln 2 $ <br><br>
	</ol>		</ol>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Räkneregler för integraler */

2007-07-17T13:53:40Z

Räkneregler för integraler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 13.53
Rad 269:		Rad 269:
	# $\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \displaystyle \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}$		# $\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \displaystyle \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}$

-
	Dessutom gäller att area under ''x''-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under ''x''-axeln så blir integralens värde negativt:		Dessutom gäller att area under ''x''-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under ''x''-axeln så blir integralens värde negativt:
-

	<div align="center">[[Bild:Integral11.gif‎\|center]]</div>		<div align="center">[[Bild:Integral11.gif‎\|center]]</div>
-

	$$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx \quad , \quad A_2 = -\displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx$$		$$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx \quad , \quad A_2 = -\displaystyle \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx$$

KTH.SE:u1zpa8nw: flyttade 2.1. Inledning integraler till 2.1. Inledning till integraler

2007-07-17T13:52:33Z

flyttade 2.1. Inledning integraler till 2.1. Inledning till integraler

← Äldre version

Versionen från 17 juli 2007 kl. 13.52

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Beräkning av integraler */

2007-07-17T13:49:25Z

Beräkning av integraler

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 13.49
Rad 178:		Rad 178:
	==Beräkning av integraler==		==Beräkning av integraler==
	För att kunna använda primitiva funktioner vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att om $\,F\,$ är en primitiv funktion till $\,f\,$ så är		För att kunna använda primitiva funktioner vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att om $\,F\,$ är en primitiv funktion till $\,f\,$ så är
		+
	$$\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C$$		$$\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C$$
		+
	där konstanten $\,C\,$ måste väljas så att högerledet blir noll när $\,b=a\,$, dvs.		där konstanten $\,C\,$ måste väljas så att högerledet blir noll när $\,b=a\,$, dvs.
		+
	$$\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0$$		$$\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0$$
		+
	vilket ger att $\,C=-F(a)\,$. Om vi sammanfattar har vi alltså att		vilket ger att $\,C=-F(a)\,$. Om vi sammanfattar har vi alltså att
		+
	$$\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$		$$\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$
		+
	Vi kan naturligtvis här lika gärna välja $\,x\,$ som integrationsvariabel och skriva		Vi kan naturligtvis här lika gärna välja $\,x\,$ som integrationsvariabel och skriva
		+
	$$\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$		$$\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$

	Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg. Först bestämmer man en primitiv funktion och sedan sätter man in integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis		Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg. Först bestämmer man en primitiv funktion och sedan sätter man in integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis
-	$$\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$

		+	$$\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}$$

	<div class="exempel">		<div class="exempel">