2.1 Inledning till integraler - Versionshistorik

KTH.SE:u1rp004j: /* Area under en funktionskurva */

2007-07-09T15:31:57Z

Area under en funktionskurva

← Äldre version		Versionen från 9 juli 2007 kl. 15.31
Rad 37:		Rad 37:
	På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och ''x''-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang. <br>		På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och ''x''-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang. <br>
	Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet ''v'' efter tiden ''t'' i ett ''v-t''-diagram. Vi ser här tre olika fiktiva exempel:		Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet ''v'' efter tiden ''t'' i ett ''v-t''-diagram. Vi ser här tre olika fiktiva exempel:
-	$$v(t)=5,\qquad v(t)= \left \{ \matrix{4, \quad 0 \le t < 5\\ 6, \quad 5 \le t \le 10}\right.\quad\text{och}\quad v(t) =0{,}5\,\mbox{.}$$	+	$$v(t)=5,\qquad v(t)= \left \{ \matrix{4, \quad 0 \le t < 5\\ 6, \quad 5 \le t \le 10}\right.\quad\text{och}\quad v(t) =0{,}5 t\,\mbox{.}$$

	[[Bild:Vt-diagram.gif\|500px\|center\|‎]]		[[Bild:Vt-diagram.gif\|500px\|center\|‎]]

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

2007-06-16T09:23:24Z

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

2007-06-15T14:50:11Z

Korrekturläst (delvis)

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: flyttade 2.1 Inledning integraler till 2.1 Inledning till integraler: Namnbyte

2007-06-15T07:44:31Z

flyttade 2.1 Inledning integraler till 2.1 Inledning till integraler: Namnbyte

← Äldre version

Versionen från 15 juni 2007 kl. 07.44

KTH.SE:u1rp004j den 1 juni 2007 kl. 10.01

2007-06-01T10:01:22Z

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.01
Rad 20:		Rad 20:
	* Kunna räkna ut area under en kurva		* Kunna räkna ut area under en kurva
	* Kunna räkna ut area mellan två kurvor		* Kunna räkna ut area mellan två kurvor
-	* Veta att alla funktioner inte har primitiv funktion som kan skrivas som ett analystiskt slutet uttryck, t ex $e^{x^2}\, , \displaystyle\frac{\sin x}{ x}\, , \sin \sin x\, , ldots$	+	* Veta att alla funktioner inte har primitiv funktion som kan skrivas som ett analystiskt slutet uttryck, t ex $e^{x^2}\, , \displaystyle\frac{\sin x}{ x}\, , \sin \sin x\, , \ldots$
	}}		}}

KTH.SE:u1rp004j den 1 juni 2007 kl. 10.00

2007-06-01T10:00:52Z

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.00
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Innehåll:'''
		+	* Integralens defintion (översiktligt)
		+	* Integralkalkylens huvudsats
		+	* Primitiv funktion till $x^\alpha\, , \frac{1}{x}\,, e^x, \cos x\, , \sin x$
		+	* Primitiv funktion till summa och differens
		+	}}
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Färdigheter:'''
		+
		+	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
		+
		+	* Förstå areatolkning av integralen, dvs "area ovanför $x$-axeln" minus "area under $x$-axeln"
		+	* Förstå andra tolkningar av integralen, t. ex. massa/densitet, fart/sträcka , ström/laddning ,....
		+	* Kunna bestämma primitiv funktion till och bestämd integral av $x^\alpha\, , \frac{1}{x}\,, e^{kx}, \cos kx\, , \sin kx \,, \tan kx $ och summa/differens av sådana termer.
		+	* Kunna räkna ut area under en kurva
		+	* Kunna räkna ut area mellan två kurvor
		+	* Veta att alla funktioner inte har primitiv funktion som kan skrivas som ett analystiskt slutet uttryck, t ex $e^{x^2}\, , \displaystyle\frac{\sin x}{ x}\, , \sin \sin x\, , ldots$
		+	}}

	[[2.1 Övningar\|Övningar]]		[[2.1 Övningar\|Övningar]]

Lina den 15 maj 2007 kl. 12.53

2007-05-15T12:53:55Z

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 12.53
Rad 1:		Rad 1:
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Innehåll:'''
-	* alt 1
-	* alt 2
-	</div>
-

	[[2.1 Övningar\|Övningar]]		[[2.1 Övningar\|Övningar]]
Rad 18:		Rad 11:
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->

-	=Teori=
	==Arean under en funktionskurva==		==Arean under en funktionskurva==
	Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar.		Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar.
Rad 445:		Rad 437:

	</div>		</div>
-
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Råd för inläsning'''
-
-	'''Tänk på att:'''
-
-	text
-
-	'''Lästips'''
-
-	stående
-
-	'''Länktips'''
-
-	stående
-
-	</div>
-
-
-	''' © Copyright 2007, math.se'''
-
-
-

	<!-- slut teori -->		<!-- slut teori -->

Lina den 27 april 2007 kl. 14.44

2007-04-27T14:44:53Z

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 14.44
Rad 51:		Rad 51:
	'''Exempel 1'''		'''Exempel 1'''

-	//illustration	+	[[Bild:Integral2.gif\|500px\|center\|‎]]

	Anm: Eftersom arean kan approximeras med en (eller flera) rektangel så kan produkten av koordinataxlarnas enheter visa areans enhet och därmed ge en vink om vad arean symboliserar:		Anm: Eftersom arean kan approximeras med en (eller flera) rektangel så kan produkten av koordinataxlarnas enheter visa areans enhet och därmed ge en vink om vad arean symboliserar:

Lina: /* Samband mellan integral och primitiv funktion */

2007-04-27T14:39:42Z

Samband mellan integral och primitiv funktion

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 14.39
Rad 167:		Rad 167:


-	[[Bild:Integral8.gif‎\|400px\|center\|]]	+	[[Bild:Integral8.gif‎\|300px\|center\|]]

	$$A(x) = \int_{a} f(t) \, dt$$		$$A(x) = \int_{a} f(t) \, dt$$
Rad 175:		Rad 175:


-	[[Bild:Integral9.gif‎ ‎\|400px\|center\|]]	+	[[Bild:Integral9.gif‎ ‎\|300px\|center\|]]

Lina: /* Area mellan kurvor */

2007-04-27T14:38:13Z

Area mellan kurvor

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 14.38
Rad 372:		Rad 372:
	'''Lösning'''		'''Lösning'''

		+	[[Bild:Integral17.gif\|150px\|right]]
	Eftersom $e^x + 1 > 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ i hela intervallet		Eftersom $e^x + 1 > 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2}$ i hela intervallet
	blir områdets area		blir områdets area
Rad 378:		Rad 379:
	:$= \left [ e^x + \displaystyle\frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{1} = \left ( e + \displaystyle \frac{1}{6} \right) - \left( e^{-1} - \displaystyle \frac{1}{6} \right) = e - \displaystyle\frac{1}{e} + \displaystyle\frac{1}{3} \; (a{.}e{.})$		:$= \left [ e^x + \displaystyle\frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{1} = \left ( e + \displaystyle \frac{1}{6} \right) - \left( e^{-1} - \displaystyle \frac{1}{6} \right) = e - \displaystyle\frac{1}{e} + \displaystyle\frac{1}{3} \; (a{.}e{.})$

-	//illustration	+

	</div>		</div>
Rad 391:		Rad 392:
	'''Lösning'''		'''Lösning'''

		+	[[Bild:Integral18.gif\|150px\|right]]
	Kurvornas skärningspunkter:		Kurvornas skärningspunkter:

-	$x^2 = x^{\frac{1}{3}} \quad \rightarrow \quad x^6 = x \quad \rightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0 \quad \rightarrow \quad x=0 \quad \text{eller} \quad x=1$	+	$x^2 = x^{\frac{1}{3}} \quad \rightarrow \quad x^6 = x \quad \rightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0$ <br>
-		+	$\quad \rightarrow \quad x=0 \quad \text{eller} \quad x=1$
-	//illustration	+


Rad 412:		Rad 413:
	'''Lösning'''		'''Lösning'''

		+	[[Bild:Integral19.gif\|200px\|right]]
	Området måste delas upp i två integraler:		Området måste delas upp i två integraler:

	$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{b} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx$ och $A_2 = \displaystyle \int_{b}^{c} (2- x) \, dx$		$A_1 = \displaystyle \int_{a}^{b} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx$ och $A_2 = \displaystyle \int_{b}^{c} (2- x) \, dx$
-
-	//illustration

	Skärningspunkt $a$:		Skärningspunkt $a$:
Rad 433:		Rad 433:
	$x = 2$		$x = 2$

-	$A_1 = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - x ^{-2}) \, dx =$	+	$A_1 = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - \displaystyle \frac{1}{x^2}) \, dx = \displaystyle \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2 - x ^{-2}) \, dx = \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = \left[ 2x + \displaystyle \frac{1}{x} \right ]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} =$

-	$= \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = \left[ 2x + \displaystyle \frac{1}{x} \right ]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} = (2+ 1) - ( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}$	+	$ =(2+ 1) - ( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}$

	$A_2= \displaystyle \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = (4-2) - (2- \displaystyle \frac{1}{2}) = \displaystyle \frac{1}{2}$		$A_2= \displaystyle \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \displaystyle \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = (4-2) - (2- \displaystyle \frac{1}{2}) = \displaystyle \frac{1}{2}$