2.3 Partiell integrering - Versionshistorik

KTH.SE:u1tyze7e: Korrigerat exempel 1

2007-08-08T09:34:04Z

Korrigerat exempel 1

← Äldre version		Versionen från 8 augusti 2007 kl. 09.34
Rad 72:		Rad 72:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Sätt $\,f=x^2\,$ och $\,g=\ln x\,$ eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: $\,F=x^2/2\,$ och $\,g'=1/x\,$. Detta ger oss alltså att	+	Sätt $\,f=x^2\,$ och $\,g=\ln x\,$ eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: $\,F=x^3/3\,$ och $\,g'=1/x\,$. Detta ger oss alltså att
	$$\eqalign{\int x^2 \cdot \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\cr &= \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = {\textstyle\frac{1}{3}}x^3 ( \ln x - {\textstyle\frac{1}{3}} ) + C\,\mbox{.}}$$		$$\eqalign{\int x^2 \cdot \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\cr &= \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = {\textstyle\frac{1}{3}}x^3 ( \ln x - {\textstyle\frac{1}{3}} ) + C\,\mbox{.}}$$

KTH.SE:u1rp004j: /* Partiell integration */

2007-06-25T09:48:47Z

Partiell integration

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.48
Rad 104:		Rad 104:
	<br>		<br>
	I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn $\,e^x\,$ och derivera faktorn $\,\cos x\,$		I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn $\,e^x\,$ och derivera faktorn $\,\cos x\,$
		+
		+	$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\,\mbox{.}$$

	$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}$$		$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}$$

KTH.SE:u1rp004j: /* Partiell integration */

2007-06-25T09:44:48Z

Partiell integration

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 09.44
Rad 105:		Rad 105:
	I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn $\,e^x\,$ och derivera faktorn $\,\cos x\,$		I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn $\,e^x\,$ och derivera faktorn $\,\cos x\,$

-	$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}$$	+	$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}$$

	Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn $\,\cos x\,$ mot $\,\sin x\,$ i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera $\,e^x\,$ och derivera $\,\sin x\,$) då får vi att		Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn $\,\cos x\,$ mot $\,\sin x\,$ i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera $\,e^x\,$ och derivera $\,\sin x\,$) då får vi att

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

2007-06-17T11:51:20Z

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1rp004j den 1 juni 2007 kl. 10.08

2007-06-01T10:08:12Z

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.08
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Innehåll:'''
		+	* Partiell integration
		+	}}
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Färdigheter:'''
		+
		+	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
		+
		+	* Förstå härledning av formeln för partiell integration
		+	* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg
		+	* Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om)
		+
		+	}}
		+

	[[2.3 Övningar\|Övningar]]		[[2.3 Övningar\|Övningar]]

Lina den 15 maj 2007 kl. 12.55

2007-05-15T12:55:16Z

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 12.55
Rad 1:		Rad 1:
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Innehåll:'''
-	* alt 1
-	* alt 2
-	</div>
-

	[[2.3 Övningar\|Övningar]]		[[2.3 Övningar\|Övningar]]
Rad 18:		Rad 11:
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->

-	=Teori=
	==Partiell integration==		==Partiell integration==
	Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas ''partiell integration''. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges.		Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas ''partiell integration''. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges.
Rad 159:		Rad 151:

	</div>		</div>
-
-
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Råd för inläsning'''
-
-	'''Tänk på att:'''
-
-	text
-
-	'''Lästips'''
-
-	stående
-
-	'''Länktips'''
-
-	stående
-
-	</div>
-
-
-	''' © Copyright 2007, math.se'''
-
-

Lina den 30 april 2007 kl. 09.23

2007-04-30T09:23:54Z

← Äldre version		Versionen från 30 april 2007 kl. 09.23
Rad 8:		Rad 8:


-	[[agjöeijö\|Övningar]]	+	[[2.3 Övningar\|Övningar]]

	</td>		</td>
Rad 135:		Rad 135:

	</div>		</div>
-

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Lina: /* Partiell integration */

2007-04-30T09:22:59Z

Partiell integration

← Äldre version		Versionen från 30 april 2007 kl. 09.22
Rad 62:		Rad 62:
	Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .		Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .

-	$ \int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$	+	$ \displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$

	$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$		$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$
Rad 140:		Rad 140:
	'''Exempel 5'''		'''Exempel 5'''

-	Beräkna $ \int \ln \sqrt{x} \, dx$ .	+	Beräkna $ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx$ .


Rad 149:		Rad 149:
	Sätt $\left [ \matrix{u= \sqrt{x} \\ du= (1/2 \sqrt{x})\, dx = (1/2u)\, dx \\ 2u\, du = dx} \right]$ .		Sätt $\left [ \matrix{u= \sqrt{x} \\ du= (1/2 \sqrt{x})\, dx = (1/2u)\, dx \\ 2u\, du = dx} \right]$ .

-	$$\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du$$	+	$ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \displaystyle \int \ln u \cdot 2u \, du$

	Partiell integration:		Partiell integration:
Rad 155:		Rad 155:
	Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .		Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .

-	$ \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C =$	+	$ \displaystyle \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \displaystyle \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \displaystyle \int u\, du = u^2 \ln u - \displaystyle \frac{u^2}{2} + C =$

-	$= x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right) + C$	+	$= x \ln \sqrt{x} - \displaystyle \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \displaystyle \frac{1}{2} \right) + C$

	</div>		</div>

Lina: /* Partiell integration */

2007-04-30T09:21:06Z

Partiell integration

← Äldre version		Versionen från 30 april 2007 kl. 09.21
Rad 62:		Rad 62:
	Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .		Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .

-	$$ \int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$$	+	$ \int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$

-	$$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$$	+	$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$

	</div>		</div>
Rad 155:		Rad 155:
	Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .		Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .

-	$$ \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C =$$	+	$ \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C =$

-	$$= x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right) + C$$	+	$= x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right) + C$

	</div>		</div>

Lina: /* Partiell integration */

2007-04-30T09:20:23Z

Partiell integration

← Äldre version		Versionen från 30 april 2007 kl. 09.20
Rad 62:		Rad 62:
	Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .		Sätt $\left[\matrix{ f'= x^2 \\ g= \ln x} \right]$ , vilket ger $\left[\matrix {f = x^3/3 \\ g'= 1/x}\right]$ .

-	$$ \int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$$	+	$$ \int x^2 \cdot \ln x \, dx = \displaystyle \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \displaystyle \frac{1}{x} \, dx = \displaystyle\frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \int x^2 \, dx =$$
		+
		+	$$= \displaystyle \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle \frac{x^3}{3} + C = \displaystyle \frac{x^3}{3} \left( \ln x - \displaystyle \frac{1}{3} \right) + C$$

	</div>		</div>
Rad 118:		Rad 120:
	'''Exempel 4'''		'''Exempel 4'''

-	</div>
	Beräkna integralen $\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx$ .		Beräkna integralen $\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx$ .
-


Rad 130:		Rad 130:
	Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^{-x} \\ g = 2x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= - e^{-x} \\ g' = 2} \right]$ .		Sätt $\left [ \matrix{ f' = e^{-x} \\ g = 2x} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= - e^{-x} \\ g' = 2} \right]$ .

-	$ \displaystyle \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \displaystyle \int_{0}^{1} 2 e^{-x} = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \left[ -2 e^{-x} \right]_{0}^{1} = (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2) = - \displaystyle \frac{2}{e} - \displaystyle \frac{2}{e} + 2 = 2 - - \displaystyle \frac{4}{e}$	+	$ \displaystyle \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \displaystyle \int_{0}^{1} 2 e^{-x} = \left[ -2x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \left[ -2 e^{-x} \right]_{0}^{1} =$

-	\|-	+	$= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2) = - \displaystyle \frac{2}{e} - \displaystyle \frac{2}{e} + 2 = 2 - - \displaystyle \frac{4}{e}$
-	\|}	+
		+	</div>


Rad 154:		Rad 155:
	Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .		Sätt $\left [ \matrix{ f' = 2u \\ g = \ln u} \right]$ , vilket ger $\left[ \matrix{f= u^2 \\ g' = 1/u} \right]$ .

-	$$ \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right) + C$$	+	$$ \int \ln u \cdot 2u \, du = u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C =$$
		+
		+	$$= x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \left( \ln \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right) + C$$

	</div>		</div>