3.1 Räkning med komplexa tal - Versionshistorik

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

2007-07-01T17:19:32Z

Korrekturläst

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Ekvationer */

2007-06-19T15:44:14Z

Ekvationer

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.44
Rad 198:		Rad 198:
	'''Övning 9'''<br\>		'''Övning 9'''<br\>
	Lös ekvationerna <br\>		Lös ekvationerna <br\>
-	a)       $3z+1-i=z-3+7i$<br\>	+	<ol type="a">
-	b)       $z(-1-i)=6-2i$<br\>	+	<li>       $3z+1-i=z-3+7i$<br\>
-	c)       $3iz-2i=1-z$<br\>	+	<li>       $z(-1-i)=6-2i$<br\>
-	d)       $2z+1-i=\bar z +3 + 2i$<br\><br\>	+	<li>       $3iz-2i=1-z$<br\>
		+	<li>       $2z+1-i=\bar z +3 + 2i$<br\><br\>
		+	</ol>
	<i>Lösning</i>:		<i>Lösning</i>:
		+	<ol type="a">

-	a)	+	<li>
	$3z+1-i=z-3+7i \quad \Leftrightarrow \quad 2z = -4 + 8i \quad \Leftrightarrow		$3z+1-i=z-3+7i \quad \Leftrightarrow \quad 2z = -4 + 8i \quad \Leftrightarrow
	\quad z=\displaystyle\frac{-4 + 8i}{2} =		\quad z=\displaystyle\frac{-4 + 8i}{2} =
	-2 + 4i$<br\><br\>		-2 + 4i$<br\><br\>

-	b)	+	<li>
	$z(-1-i)=6-2i \quad \Leftrightarrow \quad $<br\><br\>		$z(-1-i)=6-2i \quad \Leftrightarrow \quad $<br\><br\>

Rad 215:		Rad 218:
	\frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2}=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i$<br\><br\>		\frac{-6+6i+2i-2i^2}{(-1)^2 -i^2}=\frac{-4+8i}{2}=-2+4i$<br\><br\>

-	c)       $3iz-2i=1-z \quad \Leftrightarrow \quad 3iz+z=1+2i	+	<li>       $3iz-2i=1-z \quad \Leftrightarrow \quad 3iz+z=1+2i
	\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i \quad \Leftrightarrow $<br\><br\>		\quad \Leftrightarrow \quad z(3i+1)=1+2i \quad \Leftrightarrow $<br\><br\>

Rad 221:		Rad 224:
	\frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2}=\frac{7-i}{10}$<br\><br\>		\frac{1-3i+2i-6i^2}{1-9i^2}=\frac{7-i}{10}$<br\><br\>

-	d)       $z=a+bi \Rightarrow$<br\><br\>	+	<li>       $z=a+bi \Rightarrow$<br\><br\>

	$\Rightarrow 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i \quad \Leftrightarrow \quad (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i$<br\><br\>		$\Rightarrow 2(a+bi)+1-i=(a-bi)+3+2i \quad \Leftrightarrow \quad (2a+1)+(2b-1)i=(a+3)+(2-b)i$<br\><br\>
Rad 228:		Rad 231:
	\left\{ \begin{matrix} a=2 \\ b=1 \end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad z=2+i $		\left\{ \begin{matrix} a=2 \\ b=1 \end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad z=2+i $

-		+	</ol>
-		+
	</div>		</div>

Rad 257:		Rad 259:
	<!-- slut teori -->		<!-- slut teori -->
	<!--ej wiki</div></td>-->		<!--ej wiki</div></td>-->
-	<td valign="top">

	<!-- rätt/fel in här -->		<!-- rätt/fel in här -->

-	</td><!--ej i wiki</tr></table>-->	+	<!--ej i wiki</tr></table>-->

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Division */

2007-06-19T15:41:24Z

Division

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.41
Rad 152:		Rad 152:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 6'''<br\>		'''Exempel 6'''<br\>
-		+	<ol type="a">
-	a)      $\displaystyle\frac{4+2i}{1+i}=\frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=	+	<li>      $\displaystyle\frac{4+2i}{1+i}=\frac{(4+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=
	\frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$<br\><br\>		\frac{4-4i+2i-2i^2}{1-i^2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$<br\><br\>
-	b)      $\displaystyle\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2}=	+	<li>      $\displaystyle\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{25(3+4i)}{3^2-16i^2}=
	\frac{25(3+4i}{25}=4+3i$<br\><br\>		\frac{25(3+4i}{25}=4+3i$<br\><br\>
-	c)      $\displaystyle\frac{3-2i}{i}=\frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i+2i^2}{-i^2}=	+	<li>      $\displaystyle\frac{3-2i}{i}=\frac{(3-2i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-3i+2i^2}{-i^2}=
	\frac{-2-3i}{1}=-2-3i$<br\><br\>		\frac{-2-3i}{1}=-2-3i$<br\><br\>
-		+	</ol>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Division */

2007-06-19T15:40:50Z

Division

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.40
Rad 164:		Rad 164:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 7'''<br\>		'''Exempel 7'''<br\>
-		+	<ol type="a">
-	a)	+	<li>
	$\displaystyle\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}=\frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=		$\displaystyle\frac{2}{2-i}-\frac{i}{1+i}=\frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=
	\frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}=\frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}=\frac{3-i}{10}$<br\><br\>		\frac{4+2i}{5}-\frac{1+i}{2}=\frac{8+4i}{10}-\frac{5+5i}{10}=\frac{3-i}{10}$<br\><br\>
-	b)	+	<li>
	$\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}=		$\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{2}{1-i}}{2i+\displaystyle\frac{i}{2+i}}=
	\frac{\displaystyle\frac{1-i}{1-i}-\frac{2}{1-i}}{\displaystyle\frac{2i(2+i)}{(2+i)}+\frac{i}{2+i}}=		\frac{\displaystyle\frac{1-i}{1-i}-\frac{2}{1-i}}{\displaystyle\frac{2i(2+i)}{(2+i)}+\frac{i}{2+i}}=
Rad 178:		Rad 178:
	\frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}=\frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}=		\frac{(-1-3i)(3-7i)}{(3+7i)(3-7i)}=\frac{-3+7i-9i+21i^2}{3^2-49i^2}=
	\frac{-24-2i}{58}=\frac{-12-i}{29}$		\frac{-24-2i}{58}=\frac{-12-i}{29}$
-		+	</ol>
-		+
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Komplexkonjugat */

2007-06-19T15:40:08Z

Komplexkonjugat

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.40
Rad 137:		Rad 137:
	<li> För $z$ gäller att <br\><br\>		<li> För $z$ gäller att <br\><br\>
	$\left\{ \begin{matrix} \mbox{Re}\, z = -2 \\ \mbox{Im}\, z = 1 \end{matrix} \right.		$\left\{ \begin{matrix} \mbox{Re}\, z = -2 \\ \mbox{Im}\, z = 1 \end{matrix} \right.
-	\rightarrow \begin{matrix} z+\bar z = 2\,\mbox{Re}\, z = -4 \\ z-\bar z = 2i\,\mbox{Im}\, z = 2i \\	+	\Rightarrow \begin{matrix} z+\bar z = 2\,\mbox{Re}\, z = -4 \\ z-\bar z = 2i\,\mbox{Im}\, z = 2i \\
	\,\,\,\,\,\, z\cdot \bar z = (-2)^2+1^2=5 \end{matrix}$		\,\,\,\,\,\, z\cdot \bar z = (-2)^2+1^2=5 \end{matrix}$
	</ol>		</ol>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Komplexkonjugat */

2007-06-19T15:37:03Z

Komplexkonjugat

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.37
Rad 123:		Rad 123:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 5'''<br\>		'''Exempel 5'''<br\>
-	a) $z=4+3i$<br\>	+	<ol type="a">
		+	<li> $z=4+3i$<br\>


Rad 134:		Rad 135:
	$z \cdot \bar z = 4^2-(3i)^2=16+9=25$<br\>		$z \cdot \bar z = 4^2-(3i)^2=16+9=25$<br\>
	<br\>		<br\>
-	b) För $z$ gäller att <br\><br\>	+	<li> För $z$ gäller att <br\><br\>
	$\left\{ \begin{matrix} \mbox{Re}\, z = -2 \\ \mbox{Im}\, z = 1 \end{matrix} \right.		$\left\{ \begin{matrix} \mbox{Re}\, z = -2 \\ \mbox{Im}\, z = 1 \end{matrix} \right.
	\rightarrow \begin{matrix} z+\bar z = 2\,\mbox{Re}\, z = -4 \\ z-\bar z = 2i\,\mbox{Im}\, z = 2i \\		\rightarrow \begin{matrix} z+\bar z = 2\,\mbox{Re}\, z = -4 \\ z-\bar z = 2i\,\mbox{Im}\, z = 2i \\
	\,\,\,\,\,\, z\cdot \bar z = (-2)^2+1^2=5 \end{matrix}$		\,\,\,\,\,\, z\cdot \bar z = (-2)^2+1^2=5 \end{matrix}$
-		+	</ol>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Komplexkonjugat */

2007-06-19T15:36:09Z

Komplexkonjugat

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.36
Rad 112:		Rad 112:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 4'''<br\>		'''Exempel 4'''<br\>
-	a) $z=5+i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =5-i $<br\>	+	<ol type="a">
-	b) $z=-3-2i \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =-3+2i $<br\>	+	<li> $z=5+i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =5-i $<br\>
-	c) $z=17\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =17 $<br\>	+	<li> $z=-3-2i \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =-3+2i $<br\>
-	d) $z=i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =-i $<br\>	+	<li> $z=17\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =17 $<br\>
-	e) $z=-5i \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =5i $<br\>	+	<li> $z=i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =-i $<br\>
		+	<li> $z=-5i \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\, \bar z =5i $<br\>
		+	</ol>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Multiplikation */

2007-06-19T15:35:09Z

Multiplikation

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.35
Rad 86:		Rad 86:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 3'''<br\><br\>		'''Exempel 3'''<br\><br\>
-	a) $3(4-i)=12-3i$<br\><br\>	+	<ol type="a">
-	b) $2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i$<br\><br\>	+	<li> $3(4-i)=12-3i$<br\><br\>
-	c) $(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i$<br\><br\>	+	<li> $2i(3-5i)=6i-10i^2=10+6i$<br\><br\>
-	d) $(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13$<br\><br\>	+	<li> $(1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i^2=-1+5i$<br\><br\>
-	e) $(3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i$<br\><br\>	+	<li> $(3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9-4i^2=13$<br\><br\>
-	f) $i^{12}=\left(i^2\right)^6=(-1)^6=1$<br\><br\>	+	<li> $(3+i)^2=3^2+2\cdot3i+i^2=8+6i$<br\><br\>
-	g) $i^{23}=i^{22}\cdot i=\left(i^2\right)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i$<br\>	+	<li> $i^{12}=\left(i^2\right)^6=(-1)^6=1$<br\><br\>
		+	<li> $i^{23}=i^{22}\cdot i=\left(i^2\right)^{11}\cdot i=(-1)^{11}i=-i$<br\>
		+	</ol>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Inledning */

2007-06-19T15:33:21Z

Inledning

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.33
Rad 40:		Rad 40:
	<br\><br\>		<br\><br\>
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 1'''	+	'''Exempel 1'''<br\>
	Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen $x^2-2x+2=0$ så får vi först lösningarna $x_1=1+\sqrt{-1}$ och $x_1=1-\sqrt{-1}$. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet $\sqrt{-1}$. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ så ser vi att summan av $x_1$ och $x_2$ blir $1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2$ , alltså ett högst reellt tal.<br>		Om vi skulle vilja ta reda på summan av rötterna (lösningarna) till ekvationen $x^2-2x+2=0$ så får vi först lösningarna $x_1=1+\sqrt{-1}$ och $x_1=1-\sqrt{-1}$. Dessa rötter innehåller det icke-reella talet $\sqrt{-1}$. Om vi för en stund tillåter oss att räkna med $\sqrt{-1}$ så ser vi att summan av $x_1$ och $x_2$ blir $1+\sqrt{-1} + 1-\sqrt{-1} =2$ , alltså ett högst reellt tal.<br>
	För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.		För att lösa vårt problem var vi här tvungna att tillfälligtvis använda tal som inte är reella för att komma fram till den reella lösningen.

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Addition och subtraktion */

2007-06-19T15:33:07Z

Addition och subtraktion

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 15.33
Rad 73:		Rad 73:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 2'''<br\><br\>		'''Exempel 2'''<br\><br\>
-	a) $(3-5i)+(-4+i)=-1-4i$<br\><br\>	+	<ol type="a">
-	b) $\left(\displaystyle\frac{1}{2}+2i\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{6}+3i\right)=\displaystyle\frac{1}{3}-i$<br\><br\>	+	<li> $(3-5i)+(-4+i)=-1-4i$<br\><br\>
-	c) $\left(\displaystyle\frac{3+2i}{5}\right)-\left(\displaystyle\frac{3-i}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{6+4i}{10}\right)-\left(\displaystyle\frac{15-5i}{10}\right)=\displaystyle\frac{-9-9i}{10}=-0,\!9+0,\!9i$	+	<li> $\left(\displaystyle\frac{1}{2}+2i\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{6}+3i\right)=\displaystyle\frac{1}{3}-i$<br\><br\>
-		+	<li> $\left(\displaystyle\frac{3+2i}{5}\right)-\left(\displaystyle\frac{3-i}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{6+4i}{10}\right)-\left(\displaystyle\frac{15-5i}{10}\right)=\displaystyle\frac{-9-9i}{10}=-0,\!9+0,\!9i$
		+	</ol>
	</div>		</div>