3.2 Polär form - Versionshistorik

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

2007-07-03T07:35:24Z

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

2007-07-02T18:19:40Z

Korrekturläst (delvis)

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

2007-07-02T14:40:33Z

Korrekturläst (delvis)

← Äldre version		Versionen från 2 juli 2007 kl. 14.40
Rad 57:		Rad 57:
	<br/>		<br/>
	Vi har att		Vi har att
-	$$\eqalign{\overline{z}&=2-i\cr \overline{w}&=-3+i\cr z-w&=2+i-(-3-i)=5+2i\cr \overline{z} -\overline{w} &= 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w}\,)}$$	+	*$\overline{z}=2-i$
		+	*$\overline{w}=-3+i$
		+	*$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
		+	*$\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$
	[[Bild:komplext-talplan-4.gif\|\|center\|]]		[[Bild:komplext-talplan-4.gif\|\|center\|]]
	</div>		</div>
Rad 63:		Rad 66:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 2'''<br\>		'''Exempel 2'''<br\>
-	Markera i det komplexa talplanet alla tal $z$ som uppfyller följande villkor: <br\>	+	Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller följande villkor: <br\>
-	<b>A:</b> $\mbox{Re} \, z \ge 3$<br\>	+	<ol type="a">
-	<b>B:</b> -1 < $\mbox{Im} \, z \le 2$<br\><br\>	+	<li>$\mathop{\rm Re} z \ge 3$</li>
-	<i>Lösning</i>:<br\>	+	<li>$ -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2$</li>
-	[[Bild:komplext-talplan-9.gif]]	+	</ol>
		+	<br/>
		+	Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.
		+	[[Bild:komplext-talplan-9.gif\|\|center\|]]
	</div>		</div>

	==Absolutbelopp==		==Absolutbelopp==
-	De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet. <br\>	+	De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet.
-	För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $z=1-i$ och $w=-1+i$ . Med hjälp av begreppet <i>absolutbelopp</i> kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.<br\><br\>	+
-	För ett komplext tal $z=a+bi$ definieras absolutbeloppet $\|z\|$ som <br\><br\>	+	För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $\,z=1-i\,$ och $\,w=-1+i\,$ . Med hjälp av begreppet <i>absolutbelopp</i> kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.
-	<div class="regel">$$\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$$</div>	+
-	Vi ser att $\|z\|$ är ett reellt tal och att $\|z\|\ge 0$. För reella tal $(b = 0)$ gäller att $\|z\|=\sqrt{a^2}=\|a\|$ , vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal.	+
-	Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $z=a+bi$ (punkten $(a, b)$) till $z = 0$ (origo), enligt Pythagoras sats.<br\>	+	För ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ definieras absolutbeloppet $\,\|z\|\,$ som <br\><br\>
-	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-5.gif]]</div>	+	<div class="regel">$$\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}$$</div>
		+	Vi ser att $\,\|z\|\,$ är ett reellt tal och att $\,\|z\|\ge 0\,$. För reella tal är $\,b = 0\,$ och då gäller att $\,\|z\|=\sqrt{a^2}=\|a\|\,$, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal.
		+	Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $\,z=a+bi\,$ (punkten $\,(a, b)\,$) till $\,z = 0\,$ (origo), enligt Pythagoras sats.<br\>
		+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-5.gif\|\|center\|]]</div>

	==Avstånd mellan komplexa tal==		==Avstånd mellan komplexa tal==
-	Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $s$ mellan två komplexa tal $z=a+bi$ och $w=c+di$ <br>(se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas <br\>	+	Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+bi\,$ och $\,w=c+di\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas <br\>
-	<div class="regel">$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$$</div>	+	<div class="regel">$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}$$</div>
-	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-6.gif]]</div><br>	+	[[Bild:komplext-talplan-6.gif\|\|center\|]]<br>
-	Eftersom $z-w=(a-c)+(b-d)i$, så får man att <br>	+	Eftersom $\,z-w=(a-c)+(b-d)i\,$, så får man att <br>
-	<div align="center">$\|z-w\|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}=$ avståndet mellan talen $z$ och $w$.</div>	+	<center>$\|z-w\|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}$avståndet mellan talen $\,z\,$ och $\,w\,$.</center>
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 3'''<br\>	+	'''Exempel 3'''<br/><br/>
-	Markera följande talmängder i det komplexa talplanet: <br\>	+	Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:
-	<b>A: </b> $\,\, \|z\|=2$<br\>	+	<br/>
-	<b>B: </b> $\,\, \|z-3\|=1$<br\>	+	<br/>
-	<b>C: </b> $\,\, \|z+2-i\|\le 2$<br\>	+	<ol type="a">
-	<b>D: </b> $\,\, \frac{1}{2}\le \|z-(2+3i)\|\le 1$<br\><br\>	+	<li>$\,\, \|z\|=2$
-	<i>Lösning</i>:<br\>	+	<br/>
-	<b>A: </b> alla tal vars avstånd till origo är $2$. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.<br\>	+	<br/>
-	<b>B: </b> alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $z = 3$.<br\>	+	Ekvationen beskriver alla tal vars avstånd till origo är 2. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.</li>
-	<b>C: </b> villkoret kan skrivas $\|z-(-2+i)\|$, vilket innebär alla tal på avståndet $\le 2$ från talet $-2+i$, dvs. en cirkelskiva med radien $2$ och medelpunkt i $-2+i$.<br\>	+	<br/>
-	<b>D: </b> alla tal vars avstånd till $z=2+3i$ är mellan $\frac{1}{2}$ och $1$.<br\><br\>	+	<li>$\,\, \|z-3\|=1$
-	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-7.gif]]</div>	+	<br/>
		+	<br/>
		+	Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $\,z = 3\,$.
		+	</li>
		+	<br/>
		+	<li>$\,\, \|z+2-i\|\le 2$
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Vänsterledet kan skrivas $\,\|z-(-2+i)\|\,$, vilket innebär alla tal på avståndet ${}\le 2$ från talet $\,-2+i\,$, dvs. en cirkelskiva med radien 2 och medelpunkt i $\,-2+i\,$.
		+	</li>
		+	<br/>
		+	<li>$\,\, \frac{1}{2}\le \|z-(2+3i)\|\le 1$
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Mängden ges av alla tal vars avstånd till $\,z=2+3i\,$ är mellan $\,\frac{1}{2}\,$ och $\,1\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	</li>
		+	</ol>
		+
		+	[[Bild:komplext-talplan-7.gif\|\|center\|]]
	</div>		</div>

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 4'''<br\>		'''Exempel 4'''<br\>
-	Markera i det komplexa talplanet alla tal $z$ som uppfyller villkoren	+	Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller villkoren
-	<table width="100%">	+	<br/>
-	<tr>	+	<br/>
-	<td width="50%">	+	<ol type="a">
-	<ol type="a" start=1>	+	<li>$\, \left\{ \eqalign{&\|z-2i\|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.$
-	<li> $\, \left\{ \begin{matrix} \|z-2i\|\le 3 \\ 1\le\mbox{Re}\,z\le 2 \end{matrix} \right.$	+	<br/>
		+	<br/>
		+	Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i $\,2i\,$. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller båda olikheter ges av de punkter som ligger inom cirkeln och bandet.
		+	</li>
		+	<br/>
		+	<li>$\, \|z+1\|=\|z-2\|$
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Ekvationen kan skrivas $\,\|z-(-1)\|=\|z-2\|\,$. Man ser då att $\,z\,$ ska ligga på samma avstånd från $\,-1\,$ som från $\,2\,$. Detta villkor uppfylls av alla tal $\,z\,$ som har realdel $\,1/2\,$.
		+	</li>
	</ol>		</ol>
-	</td>	+	<br/>
-	<td width="50%">	+	<br/>
-	<ol type="a" start=2>	+	<center>[[Bild:komplext-talplan-8.gif\|Området i deluppgift a]][[Bild:komplext-talplan-10.gif\|Området i deluppgift b]]</center>
-	<li> $\, \|z+1\|=\|z-2\|$	+
-	</ol>	+
-	</td>	+
-	</tr>	+
-	<tr><td width="100%"><br><i>Lösning</i>:</td></tr>	+
-	<tr>	+
-	<td width="50%" valign="top">	+
-	<ol type="a" start=1>	+
-	<li> <br\>[[Bild:komplext-talplan-8.gif]]	+
-	</ol>	+
-	</td>	+
-	<td width="50%">	+
-	<ol type="a" start=2>	+
-	<li> <br\>	+
-	Ekvationen kan skrivas $\|z-(-1)\|=\|z-2\|$. Man ser då att $z$ ska ligga på samma avstånd från $-1$ som från $2$. Detta villkor uppfylls av alla tal z som har realdel $1/2$.[[Bild:komplext-talplan-10.gif]]	+
-	</ol>	+
-	</td>	+
-	</tr>	+
-	</table>	+
	</div>		</div>

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

2007-07-02T13:05:13Z

Korrekturläst (delvis)

← Äldre version		Versionen från 2 juli 2007 kl. 13.05
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">

Rad 8:		Rad 9:
	* Polär form		* Polär form
	* Multiplikation och division i polär form		* Multiplikation och division i polär form
-	* Multiplikation med $i$ i talplanet	+	* Multiplikation med $\,i\,$ i talplanet
	}}		}}

	{{Info\|		{{Info\|
-	'''Färdigheter:'''	+	'''Lärandemål:'''

	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:		Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

-	* Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet	+	* Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet.
-	* Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $a+ib$ och polär form.	+	* Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $\,a+ib\,$ och polär form.

	}}		}}
Rad 31:		Rad 32:

	==Det komplexa talplanet==		==Det komplexa talplanet==
-	Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $(a)$ och en imaginärdel $(b)$, så kan $z$ betraktas som ett ordnat talpar $(a, b)$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem.	+	Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $\,a\,$ och en imaginärdel $\,b\,$, så kan $\,z\,$ betraktas som ett ordnat talpar $\,(a,b)\,$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem.
-	Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $i$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.	+	Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $\,i\,$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.
	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-1.gif]]</div>		<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-1.gif]]</div>
	<br\>		<br\>
Rad 38:		Rad 39:
	Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det <i>komplexa talplanet</i>.<br\>		Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det <i>komplexa talplanet</i>.<br\>
	Anm:		Anm:
-	De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $= 0$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan alltså se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{Z}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.	+	De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $\,0\,$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan alltså se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{C}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.
	<br\><br\>		<br\><br\>
	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:		Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

-	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-2.gif]]</div>	+	[[Bild:komplext-talplan-2.gif\|\|center\|]]
	<br\>		<br\>
-	Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $z-w=z+(-w)$ och får följande utseende:	+	Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:

-	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-3.gif]]</div>	+	[[Bild:komplext-talplan-3.gif\|\|center\|]]
	<br\>		<br\>

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 1'''<br\>		'''Exempel 1'''<br\>
-	$z=2+i,\quad w=-3-i$<br\>	+
-	Markera $z,\, w,\, \bar z, \,\bar z -\bar w\,$ och $\,z- w\,$ i det komplexa talplanet.<br\><br\>	+	Givet $\,z=2+i\,$ och $\,w=-3-i\,$. Markera $\,z\,$, $\,w\,$, $\,\overline{z}\,$, $\,\overline{z}-\overline{w}\,$ och $\,z-w\,$ i det komplexa talplanet.
-	<i>Lösning</i>:<br\>	+	<br/>
-	$\bar z=2-i$<br\>	+	<br/>
-	$\bar w=-3+i$<br\>	+	Vi har att
-	$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$<br\>	+	$$\eqalign{\overline{z}&=2-i\cr \overline{w}&=-3+i\cr z-w&=2+i-(-3-i)=5+2i\cr \overline{z} -\overline{w} &= 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w}\,)}$$
-	$\bar z -\bar w = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad (=\overline{z-w})$<br\>	+	[[Bild:komplext-talplan-4.gif\|\|center\|]]
-	[[Bild:komplext-talplan-4.gif]]	+
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Teori */

2007-06-25T15:51:53Z

Teori

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 15.51
Rad 29:		Rad 29:
	<tr><td width=600>		<tr><td width=600>
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->
-
-	=Teori=

	==Det komplexa talplanet==		==Det komplexa talplanet==

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Multiplikation och division i polär form */

2007-06-25T15:30:58Z

Multiplikation och division i polär form

← Äldre version		Versionen från 25 juni 2007 kl. 15.30
Rad 288:		Rad 288:
	Vi ser här att multiplikation med i innebär en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ moturs, medan division med $i$ medför en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ medurs.		Vi ser här att multiplikation med i innebär en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ moturs, medan division med $i$ medför en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ medurs.
	</div>		</div>
		+
		+	<div class="inforuta">
		+	'''Råd för inläsning'''
		+
		+	'''Tänk på att:'''
		+
		+	text
		+
		+	'''Lästips'''
		+
		+	stående
		+
		+	'''Länktips'''
		+
		+	stående
		+
		+	</div>
		+
		+
		+	''' © Copyright 2007, math.se'''
		+
		+
		+
		+
		+	<!-- slut teori -->
		+	<!--ej wiki</div></td>-->
		+
		+	<!-- rätt/fel in här -->
		+
		+	<!--ej i wiki</tr></table>-->

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Rubrik eller? */

2007-06-20T13:00:20Z

Rubrik eller?

← Äldre version		Versionen från 20 juni 2007 kl. 13.00
Rad 288:		Rad 288:
	Vi ser här att multiplikation med i innebär en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ moturs, medan division med $i$ medför en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ medurs.		Vi ser här att multiplikation med i innebär en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ moturs, medan division med $i$ medför en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ medurs.
	</div>		</div>
-
-	==Rubrik eller?==
-	'''Råd för inläsning'''
-
-	'''Tänk på att:'''
-
-	text
-
-	'''Lästips'''
-
-	stående
-
-	'''Länktips'''
-
-	stående
-
-	</div>
-
-
-	''' © Copyright 2007, math.se'''
-
-
-
-
-	<!-- slut teori -->
-	<!--ej wiki</div></td>-->
-	<td valign="top">
-
-	<!-- rätt/fel in här -->
-
-	</td><!--ej i wiki</tr></table>-->

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Förlängning och förkortning */

2007-06-20T12:58:35Z

Förlängning och förkortning

← Äldre version		Versionen från 20 juni 2007 kl. 12.58
Rad 289:		Rad 289:
	</div>		</div>

-	==Förlängning och förkortning==	+	==Rubrik eller?==
-		+
-	teori	+
-		+
-	$$ fristående formel dubbla dollar $$	+
-		+
-	teori igen	+
-		+
-	<div class="tips">	+
-	'''Tips:'''	+
-	å här är världens tips asså	+
-	</div>	+
-		+
-	teori, vad skulle vi göra utan det	+
-		+
-	<div class="regel">	+
-	'''Viktig regel:'''	+
-	$$dubbeldollar$$	+
-	</div>	+
-		+
-	<div class="exempel">	+
-	'''Exempel 1'''	+
-		+
-	Exempeltext, använd nedanstående numrering	+
-	<ol type="a">	+
-	<li>$matte$ <br><br>	+
-	<li>text	+
-	</ol>	+
-		+
-	</div>	+
-		+
-	teori igen	+
-		+
-	<div class="inforuta">	+
	'''Råd för inläsning'''		'''Råd för inläsning'''

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Multiplikation och division i polär form */

2007-06-20T12:57:11Z

Multiplikation och division i polär form

← Äldre version		Versionen från 20 juni 2007 kl. 12.57
Rad 254:		Rad 254:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 7'''<br\>		'''Exempel 7'''<br\>
		+	Beräkna $iz$ och $\displaystyle\frac{z}{i}$ om
		+	<ol type="a">
		+	<li> $\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$<br\><br\>
		+	<li> $\displaystyle z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$
		+	</ol>
		+	Svara på polär form.<br\>
		+	<i>Lösning</i>:
		+	<table width="100%">
		+	<tr>
		+	<td width="70%">
		+	<ol type="a" start=1>
		+	<li> $\displaystyle i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$
		+	$\displaystyle iz=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)\right)= 2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$<br\><br\>
		+	$\displaystyle \frac{i}{z}=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right)\right)= 2\left(\cos\frac{-\pi}{3}+i\sin\frac{-\pi}{3}\right)$
		+	</ol>
		+	</td>
		+	<td width="30%>
		+	[[Bild:komplext-talplan-14.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	<tr>
		+	<td width="70%">
		+	<ol type="a" start=2>
		+	<li> $\displaystyle iz=3\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\right)=$ <br><br>$\displaystyle 3\left(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\right)= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$<br\><br\>
		+	$\displaystyle \frac{i}{z}=2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)\right)= 2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)$
		+	</ol>
		+	</td>
		+	<td width="30%>
		+	[[Bild:komplext-talplan-15.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	Vi ser här att multiplikation med i innebär en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ moturs, medan division med $i$ medför en rotation $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ medurs.
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Multiplikation och division i polär form */

2007-06-20T11:45:05Z

Multiplikation och division i polär form

← Äldre version		Versionen från 20 juni 2007 kl. 11.45
Rad 231:		Rad 231:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 6'''<br\>		'''Exempel 6'''<br\>
-	Beräkna följande uttryck och svara på polär form:	+	Beräkna följande uttryck och genom att skriva om på polär form:
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li> $\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{1}{\sqrt2}i\right) \left/ \left( -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt2}i\right) \right.$<br\><br\>		<li> $\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{1}{\sqrt2}i\right) \left/ \left( -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt2}i\right) \right.$<br\><br\>
Rad 238:		Rad 238:
	<i>Lösning</i>:		<i>Lösning</i>:
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li> $\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{1}{\sqrt2}i\right) = 1\cdot\left(\cos\frac{7}{4}\pi+i\sin\frac{7}{4}\pi\right)\;$ och	+	<li> $\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{1}{\sqrt2}i\right) = 1\cdot\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$ och $\displaystyle\left(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt2}i\right) = 1\cdot\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$
-	$\; \left( -\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt2}i\right) = 1\cdot\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$<br\><br\>	+	<br\><br\>
-	<li> $(-2-2i)(1+i)$	+	$ \displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{1}{\sqrt2}i\right) \left/ \left(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{1}{\sqrt2}i\right) \right. = \displaystyle\frac{\displaystyle\cos\frac{7}{4\pi}+i\sin\frac{7\pi}{4}}{\displaystyle\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}}=$
		+	<br\><br\>
		+	$\displaystyle\cos\left(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)= \cos\pi+i\sin\pi=-1$
		+	<br\><br\>
		+	<li> $\displaystyle(-2-2i)=\sqrt8\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)\;$ och $\displaystyle(1+i)=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\;$
		+	<br\><br\>
		+	$(-2-2i)(1+i)=\displaystyle\sqrt8 \cdot \sqrt2 \left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)\right)=$
		+	<br\><br\>
		+	$\displaystyle 4\cos\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4} \right)=-4i$
	</ol>		</ol>
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 7'''<br\>
	</div>		</div>