3.4 Övningar - Versionshistorik

Mikael den 24 juli 2007 kl. 12.54

2007-07-24T12:54:45Z

← Äldre version		Versionen från 24 juli 2007 kl. 12.54
Rad 131:		Rad 131:
	</div>		</div>

		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning  </div>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_2.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>

	==Övning 3.4:3==		==Övning 3.4:3==
Rad 149:		Rad 159:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning  </div>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_3.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
	</div>		</div>

Rad 168:		Rad 189:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning  </div>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_4.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
	</div>		</div>

Rad 189:		Rad 221:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning  </div>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_5.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
	</div>		</div>

Rad 208:		Rad 251:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning  </div>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_6.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
	</div>		</div>

Rad 235:		Rad 289:
	<td class="ntext">b)</td>		<td class="ntext">b)</td>
	<td class="ntext" width="100%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>		<td class="ntext" width="100%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning a </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga a
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_7a.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning b </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga b
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_7b.gif]]
		+	</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>
	</div>		</div>

Mikael: /* Övning 3.4:1 */

2007-07-24T12:45:53Z

Övning 3.4:1

← Äldre version		Versionen från 24 juli 2007 kl. 12.45
Rad 41:		Rad 41:
	</div>		</div>
	</div>		</div>
-

	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">		<div class=NavFrame style="CLEAR: both">

Mikael: /* Övning 3.4:1 */

2007-07-24T12:45:34Z

Övning 3.4:1

← Äldre version		Versionen från 24 juli 2007 kl. 12.45
Rad 37:		Rad 37:
	<td class="ntext">e)</td>		<td class="ntext">e)</td>
	<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$</td>		<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning a </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga a
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_1a.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning b </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga b
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_1b.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning c </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga c
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_1c.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning d </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga d
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_1d.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning e </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga e
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:3_4_1e.gif]]
		+	</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>

KTH.SE:u1tyze7e: Korrigerat felaktig övningsnumrering

2007-07-23T17:49:42Z

Korrigerat felaktig övningsnumrering

← Äldre version		Versionen från 23 juli 2007 kl. 17.49
Rad 121:		Rad 121:
	</div>		</div>

-	==Övning 3.5:6==	+	==Övning 3.4:6==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.		Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
Rad 140:		Rad 140:
	</div>		</div>

-	==Övning 3.5:7==	+	==Övning 3.4:7==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Bestäm polynom som har följande nollställen		Bestäm polynom som har följande nollställen

KTH.SE:u1tyze7e: Rättade svaret till övning 3.5:6

2007-07-21T11:20:26Z

Rättade svaret till övning 3.5:6

← Äldre version		Versionen från 21 juli 2007 kl. 11.20
Rad 133:		Rad 133:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">		<td class="ntext">
-	$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29}\,i \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29}\,i \end{matrix} \right.$	+	$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29} \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29} \end{matrix} \right.$
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>
Rad 160:		Rad 160:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">a)</td>		<td class="ntext">a)</td>
-	<td class="ntext" width="50%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>	+	<td class="ntext" width="100%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
	<td class="ntext">b)</td>		<td class="ntext">b)</td>
-	<td class="ntext" width="50%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>	+	<td class="ntext" width="100%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.5:7 */

2007-07-18T10:38:19Z

Övning 2.5:7

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 10.38
Rad 140:		Rad 140:
	</div>		</div>

-	==Övning 2.5:7==	+	==Övning 3.5:7==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Bestäm polynom som har följande nollställen		Bestäm polynom som har följande nollställen

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

2007-07-04T17:16:43Z

Korrekturläst

← Äldre version		Versionen från 4 juli 2007 kl. 17.16
Rad 1:		Rad 1:
	==Övning 3.4:1==		==Övning 3.4:1==
-	<div class="ovning">Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde	+	<div class="ovning">Utför följande polynomdivisioner (alla går inte jämnt ut)
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">a)</td>		<td class="ntext">a)</td>
-	<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}$</td>
	<td class="ntext">b)</td>		<td class="ntext">b)</td>
-	<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$</td>
	<td class="ntext">c)</td>		<td class="ntext">c)</td>
-	<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{x^3+a^3}{x+a}$</td>
		+	</tr>
		+	<tr align="left">
	<td class="ntext">d)</td>		<td class="ntext">d)</td>
	<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$</td>		<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle\frac{x^3 +x+2}{x+1}$</td>
-	</tr>
	<td class="ntext">e)</td>		<td class="ntext">e)</td>
	<td class="ntext" >$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$</td>		<td class="ntext" >$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x+1}$</td>
-	mplexa talen $1+i, 3+2i$ och $3i$ bil<tr align="left">
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
Rad 22:		Rad 22:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">a)</td>		<td class="ntext">a)</td>
-	<td class="ntext" width="33%">$0$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$x+1$</td>
	<td class="ntext">b)</td>		<td class="ntext">b)</td>
-	<td class="ntext" width="33%">$0$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{1}{x+1}$</td>
	<td class="ntext">c)</td>		<td class="ntext">c)</td>
-	<td class="ntext" width="33%">$ 0 $</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$x^2-ax+a^2$</td>
	</tr>		</tr>
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">d)</td>		<td class="ntext">d)</td>
-	<td class="ntext" width="50%">$0$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$x^2-x+2$</td>
	<td class="ntext">e)</td>		<td class="ntext">e)</td>
-	<td class="ntext" width="50%">$0$</td>	+	<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle x-1+\frac{2x+2}{x^2+3x+1}$</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
Rad 44:		Rad 44:
	==Övning 3.4:2==		==Övning 3.4:2==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Ekvationen $z^3-3z^2+4z-2=0$ har roten $z=1$. Bestäm övriga rötter.	+	Ekvationen $\,z^3-3z^2+4z-2=0\,$ har roten $\,z=1\,$. Bestäm övriga rötter.
	</div>		</div>

Rad 50:		Rad 50:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">		<td class="ntext">
-	$ z = \left\{ \begin{matrix} 1+i \\ 1-i \end{matrix} \right.$	+	$ z = \Bigl\{\eqalign{&1+i\cr &1-i}$
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>
Rad 64:		Rad 64:
	==Övning 3.4:3==		==Övning 3.4:3==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Ekvationen $z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0$ har roten $z=2i$ och $z=-1+i$. Lös ekvationen.	+	Ekvationen $\,z^4+2z^3+6z^2 +8z +8 =0\,$ har rötterna $\,z=2i\,$ och $\,z=-1-i\,$. Lös ekvationen.
	</div>		</div>

Rad 70:		Rad 70:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">		<td class="ntext">
-	$z = \left\{ \begin{matrix} -2i \\ -1-i \\ 2i \\ 1+i \end{matrix} \right.$	+	$z = \left\{\begin{matrix}-1+i\cr -1-i\cr \phantom{-}2i\cr -2i\end{matrix}\right.$
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>
Rad 83:		Rad 83:
	==Övning 3.4:4==		==Övning 3.4:4==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Bestäm två reella tal $a$ och $b$ så att ekvationen $z^3+az+b=0$ har roten $z=1-2i$. Lös sedan ekvationen.	+	Bestäm två reella tal $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^3+az+b=0\ $ har roten $\,z=1-2i\,$. Lös sedan ekvationen.
	</div>		</div>

Rad 89:		Rad 89:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">		<td class="ntext">
-	$ \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 10 \end{matrix} \right.$	+	Välj $\,a=1\,$ och $\,b=10\,$. Lösningarna är $\ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$
-	</td>	+
-	<td class="ntext">	+
-	$ z = \left\{ \begin{matrix} 1-2i \\ 1+2i \\ -2 \end{matrix} \right.$	+
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>
Rad 105:		Rad 102:
	==Övning 3.4:5==		==Övning 3.4:5==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Bestäm $a$ och $b$ så att ekvationen $z^4-6z^2+az+b=0$ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.	+	Bestäm $\,a\,$ och $\,b\,$ så att ekvationen $\ z^4-6z^2+az+b=0\ $ har en trippelrot. Lös sedan ekvationen.
	</div>		</div>

Rad 111:		Rad 108:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">		<td class="ntext">
-	$ \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = -3 \end{matrix} \right.$	+	Två fall:
-	</td>	+	* Välj $\,a=8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=1\,$ (trippelroten) och $\,z=-3\,$.
-	<td class="ntext">	+	* Välj $\,a=-8\,$ och $\,b=-3\,$. Lösningarna är $\,z=-1\,$ (trippelroten) och $\,z=3\,$.
-	$ z = \left\{ \begin{matrix} 1\\ -3 \\ \end{matrix} \right.$	+
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>
Rad 127:		Rad 123:
	==Övning 3.5:6==		==Övning 3.5:6==
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
-	Ekvationen $z^4+3z^3+z^2+18z-30=0$ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.	+	Ekvationen $\ z^4+3z^3+z^2+18z-30=0\ $ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
	</div>		</div>

Rad 133:		Rad 129:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">		<td class="ntext">
-	$ z = \left\{ \begin{matrix} i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{29}}{2} \\ -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{29}}{2} \end{matrix} \right.$	+	$ z = \left\{ \begin{matrix} \phantom{-}i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{29}\,i \\ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{29}\,i \end{matrix} \right.$
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>
Rad 150:		Rad 146:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">a)</td>		<td class="ntext">a)</td>
-	<td class="ntext" width="50%">$1$ , $2$ och $4$</td>	+	<td class="ntext" width="50%">$1\,$, $\,2\,$ och $\,4$</td>
	<td class="ntext">b)</td>		<td class="ntext">b)</td>
-	<td class="ntext" width="50%">$-1+ i$ och $-1-i$</td>	+	<td class="ntext" width="50%">$-1+ i\,$ och $\,-1-i$</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
Rad 160:		Rad 156:
	<div class=NavHead>Facit </div>		<div class=NavHead>Facit </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Facit till alla delfrågorna<br \>	+	Facit till alla delfrågor<br \>
	<table width="100%" cellspacing="10px">		<table width="100%" cellspacing="10px">
	<tr align="left">		<tr align="left">

KTH.SE:u1rp004j: /* Övning 2.5:7 */

2007-06-28T14:22:34Z

Övning 2.5:7

← Äldre version		Versionen från 28 juni 2007 kl. 14.22
Rad 164:		Rad 164:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">a)</td>		<td class="ntext">a)</td>
-	<td class="ntext" width="33%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>	+	<td class="ntext" width="50%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>
	<td class="ntext">b)</td>		<td class="ntext">b)</td>
-	<td class="ntext" width="33%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>	+	<td class="ntext" width="50%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1rp004j: /* Övning 2.5:7 */

2007-06-28T14:22:16Z

Övning 2.5:7

← Äldre version		Versionen från 28 juni 2007 kl. 14.22
Rad 155:		Rad 155:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Facit </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Facit till alla delfrågorna<br \>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">a)</td>
		+	<td class="ntext" width="33%">$(z-1)(z-2)(z-4) = z^3 -7z^2 + 14z - 8$</td>
		+	<td class="ntext">b)</td>
		+	<td class="ntext" width="33%">$(z+1-i)(z+1+i) = z^2+2z+2 $</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1rp004j: /* Övning 3.5:6 */

2007-06-28T14:19:08Z

Övning 3.5:6

← Äldre version		Versionen från 28 juni 2007 kl. 14.19
Rad 128:		Rad 128:
	<div class="ovning">		<div class="ovning">
	Ekvationen $z^4+3z^3+z^2+18z-30=0$ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.		Ekvationen $z^4+3z^3+z^2+18z-30=0$ har en rent imaginär rot. Bestäm alla rötter.
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Facit </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Facit till alla delfrågorna<br \>
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td class="ntext">
		+	$ z = \left\{ \begin{matrix} i\sqrt{6}\\ -i\sqrt{6} \\ -\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{29}}{2} \\ -\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{29}}{2} \end{matrix} \right.$
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
	</div>		</div>