1.1 Inledning till derivata - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Derivatans definition */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 12:02:52 GMT

Derivatans definition

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 12.02
Rad 85:		Rad 85:
	[[Bild:Fxfx+h.gif\|400px\|center]]		[[Bild:Fxfx+h.gif\|400px\|center]]

-	<div class="regel">	+	'''Ändringskvoten'''
-	'''Derivatans definition:'''	+
	$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$		$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
-	</div>	+

	Om vi låter $\,Q\,$ närma sig $\,P\,$ (dvs. låter $\,h \rightarrow 0\,$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $\,P\,$. Vi kallar detta värde för ''derivatan'' av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$.		Om vi låter $\,Q\,$ närma sig $\,P\,$ (dvs. låter $\,h \rightarrow 0\,$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $\,P\,$. Vi kallar detta värde för ''derivatan'' av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av $\,f(x)\,$ i punkten $\,P\,$.
Rad 94:		Rad 93:
	Derivatan av en funktion $\,f(x)\,$ betecknas $\,f^{\,\prime}(x)\,$ och kan formellt definieras så här:		Derivatan av en funktion $\,f(x)\,$ betecknas $\,f^{\,\prime}(x)\,$ och kan formellt definieras så här:

-	<div class="tips">	+	<div class="regel">
	''Derivatan'' av en funktion $\,f(x)\,$, definieras som		''Derivatan'' av en funktion $\,f(x)\,$, definieras som
	$$f^{\,\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,.$$		$$f^{\,\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,.$$

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Tangenter och normaler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 19 Jun 2007 11:38:59 GMT

Tangenter och normaler

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 11.38
Rad 335:		Rad 335:
	'''Exempel 14'''		'''Exempel 14'''

-	Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 2x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.	+	Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 3x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -2\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs.	+	Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -3\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs.
	$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen		$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen
-	$$2 \, e^x - 2=-1 $$	+	$$2 \, e^x - 3=-1 $$
-	som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 2 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.	+	som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Tangenter och normaler */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 19 Jun 2007 11:36:01 GMT

Tangenter och normaler

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 11.36
Rad 340:		Rad 340:
	Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -2\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs.		Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -2\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs.
	$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen		$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen
-	$$2 \, e^x = 2$$	+	$$2 \, e^x - 2=-1 $$
	som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 2 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.		som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 2 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.

KTH.SE:u1rp004j den 19 juni 2007 kl. 09.20

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 19 Jun 2007 09:20:27 GMT

← Äldre version		Versionen från 19 juni 2007 kl. 09.20
Rad 341:		Rad 341:
	$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen		$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen
	$$2 \, e^x = 2$$		$$2 \, e^x = 2$$
-	som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 2 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkiten $\,(0,2)\,$.	+	som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 2 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.

	</div>		</div>

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

KTH.SE:u1tyze7e — Thu, 14 Jun 2007 08:13:13 GMT

Korrekturläst

← Äldre version		Versionen från 14 juni 2007 kl. 08.13
Rad 189:		Rad 189:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 1'''	+	'''Exempel 7'''

	Om $\,f(x)=x^2\,$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten		Om $\,f(x)=x^2\,$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
Rad 225:		Rad 225:

	Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att		Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
-	$$D(f(x) +g(x))= f'(x) + g'(x)\,\mbox{.}$$	+	$$D(f(x) +g(x))= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}$$

	Samt, om ''k'' är en konstant, att		Samt, om ''k'' är en konstant, att
-	$$D(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x)\,\mbox{.}$$	+	$$D(k \cdot f(x)) = k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}$$
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 2'''	+	'''Exempel 8'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li> $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 + 0 - \cos x$ <br><br>	+	<li> $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 + 0 - \cos x\,$. <br><br>
-	<li>$ y= 3 \ln x + 2e^x \quad$ ger att $\,\displaystyle y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x$ <br><br>	+	<li>$ y= 3 \ln x + 2e^x \quad$ ger att $\quad\displaystyle y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl({\textstyle\frac{3}{5}}x^2 - {\textstyle\frac{1}{2}}x^3\bigr)= {\textstyle\frac{3}{5}}\cdot 2x - {\\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 3x^2= {\textstyle\frac{6}{5}}x - {\textstyle\frac{3}{2}}x^2$ <br><br>	+	<li>$\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl({\textstyle\frac{3}{5}}x^2 - {\textstyle\frac{1}{2}}x^3\bigr)= {\textstyle\frac{3}{5}}\cdot 2x - {\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 3x^2= {\textstyle\frac{6}{5}}x - {\textstyle\frac{3}{2}}x^2\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad$ ger att $\displaystyle s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at$	+	<li>$\displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad$ ger att $\quad\displaystyle s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,$.
	</ol>		</ol>

Rad 242:		Rad 243:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 3'''	+	'''Exempel 9'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li>$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad$ ger att $\displaystyle f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ <br><br>	+	<li>$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad$ ger att $\quad\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3} \cdot x^{-2} \quad$ ger att $\displaystyle f'(x) = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot(-2)x^{-3} = -\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3} $ <br><br>	+	<li>$\displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot x^{-2} \quad$ ger att $\quad\displaystyle f^{\,\prime}(x) = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot(-2)x^{-3} = -\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad$ ger att $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ <br><br>	+	<li>$\displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad$ ger att $\quad\displaystyle g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,$. <br><br>
-	<li>$\displaystyle y = \left( x^2 + \frac{1}{x} \right)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x} \right)^2 = x^4 + 2x + x^{-2} \quad$<br>	+	<li>$\displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}$<br>
-	$\qquad\quad$ ger att $\displaystyle y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}$	+	$\qquad\quad$ ger att $\quad\displaystyle y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,$.
	</ol>		</ol>

Rad 254:		Rad 255:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 4'''	+	'''Exempel 10'''

-	Funktionen $\,f(x)=x^2 + x^{-2}\,$ har derivatan $\displaystyle \,f'(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$. Detta betyder att	+	Funktionen $\,f(x)=x^2 + x^{-2}\,$ har derivatan
-		+	$$f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}$$
-	* $\displaystyle f'(2) = 2\cdot 2 - \frac{2}{2^3}= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$<br><br>	+	Detta betyder exempelvis att $\,f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}\,$ och att $\,f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0\,$. Däremot är derivatan $\,f'(0)\,$ inte definierad.
-	* $\displaystyle f'(-1) = 2 \cdot (-1) - \frac{2}{(-1)^3} = -2 + 2 = 0$<br><br>	+
-	* $ f'(0) =$ ej def.	+

	</div>		</div>

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 5'''	+	'''Exempel 11'''

	Ett föremål rör sig enligt $\,s(t) = t^3 -4t^2 +5t\,$, där $\,s(t)\,$ km är avståndet från startpunkten efter $\,t\,$ timmar. Beräkna $\,s'(3)\,$ och förklara vad värdet står för.		Ett föremål rör sig enligt $\,s(t) = t^3 -4t^2 +5t\,$, där $\,s(t)\,$ km är avståndet från startpunkten efter $\,t\,$ timmar. Beräkna $\,s'(3)\,$ och förklara vad värdet står för.
Rad 277:		Rad 276:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 6'''	+	'''Exempel 12'''

	Totalkostnaden $\,T\,$ kr för tillverkning av $\,x\,$ gummidräkter ges av funktionen		Totalkostnaden $\,T\,$ kr för tillverkning av $\,x\,$ gummidräkter ges av funktionen
	$$ T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}$$		$$ T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}$$
-		+	Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.
-	Beräkna och förklara	+	<br>
		+	<br>
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li>$T(120)$<br><br>		<li>$T(120)$<br><br>
-	$T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104$ <br>	+	$T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,$.<br>
-	Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr. <br><br>	+	Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.<br><br>
	<li>$T'(120)$<br><br>		<li>$T'(120)$<br><br>
-	$T'(x)= 370 - 0{,}18x$ <br>	+	Derivatan ges av $\,T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x\,$ och därför är $\,T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348\,$.<br>
-	$T'(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348$ <br>	+
	Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.<br><br>		Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.<br><br>
	</ol>		</ol>
Rad 300:		Rad 299:
	En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).		En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).

-	För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är $\,–1\,$, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas $\,k_T\,$ och normalens $\,k_N\,$ så är $\,k_T \cdot k_N = -1\,$. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.	+	För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är $\,–1\,$, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas $\,k_T\,$ och normalens $\,k_N\,$ så är $\,k_T \cdot k_N = -1\,$. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller en normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.


	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 7'''	+	'''Exempel 13'''

	Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $\,y=x^2 + 1\,$ i punkten $\,(1,2)\,$.		Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $\,y=x^2 + 1\,$ i punkten $\,(1,2)\,$.
-		+	<br>
-		+	<br>
-	'''Lösning'''	+
-		+
	[[Bild:Normal-tangent.gif‎\|200px\|right\|]]		[[Bild:Normal-tangent.gif‎\|200px\|right\|]]
-	Tangentens ekvation är $\,y = kx + m\,$, där $\,k= y'(1)\,$.	+	Vi skriver tangentens ekvation som $\,y = kx + m\,$. Eftersom den ska tangera kurvan i $\,x=1\,$ har vi att $\,k= y'(1)\,$, dvs.

-	$y' = 2x\,,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2\,$.	+	$\qquad y' = 2x\,,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2\,$.

-	Eftersom linjen också passerar punkten $\,(1,2)\,$ har vi att	+	Tangentlinjen ska också passerar genom punkten $\,(1,2)\,$ och därför måste $\,(1,2)\,$ uppfylla tangentens ekvation

-	$2 = 2 \cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = 0\,$.	+	$\qquad 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = 0\,$.

	Tangentens ekvation är alltså $\,y=2x\,$.		Tangentens ekvation är alltså $\,y=2x\,$.
Rad 325:		Rad 322:
	Riktningskoefficienten för normalen är $\displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}$ .		Riktningskoefficienten för normalen är $\displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}$ .

-	Normalen går också genom punkten $\,(1, 2)\,$ , dvs.	+	Vidare går normalen också genom punkten $\,(1, 2)\,$ , dvs.

-	$2= -\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = \displaystyle \frac{5}{2}\,$.	+	$\qquad\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}\,$.

-	Normalen har ekvationen $\,y= -\displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{5}{2} = \displaystyle \frac{5-x}{2}\,$.	+	Normalen har ekvationen $\,\displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}\,$.


Rad 336:		Rad 333:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 8'''	+	'''Exempel 14'''

-	Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 3x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.	+	Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 2x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.
-		+	<br>
-		+	<br>
-	'''Lösning'''	+	Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -2\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs.
-		+	$\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen
-	$y' = 2 \, e^x -3$	+	$$2 \, e^x = 2$$
-		+	som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 2 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkiten $\,(0,2)\,$.
-	$ y' = -1 \quad \rightarrow \quad 2 \, e^x = 2 \quad \rightarrow \quad x=0$	+
-		+
-	$ y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2 $	+
-		+
-	Tangeringspunkten är $\,(0,2)\,$.	+

	</div>		</div>

KTH.SE:u1tyze7e: Lagt till avsnitten "Deriveringsregler" och "Tangenter och normaler"

KTH.SE:u1tyze7e — Wed, 13 Jun 2007 14:39:46 GMT

Lagt till avsnitten "Deriveringsregler" och "Tangenter och normaler"

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 14.39
Rad 185:		Rad 185:
	</div>		</div>

		+	==Deriveringsregler==
		+	Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna.
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 1'''
		+
		+	Om $\,f(x)=x^2\,$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten
		+
		+	$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}$$
		+
		+	Om vi sedan låter $\,h\,$ gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir $\,2x\,$. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan $\,y=x^2\,$ är $\,2x\,$, dvs. derivatan av $\,x^2\,$ är $\,2x\,$.
		+	</div>
		+
		+	På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler:
		+
		+	{\| BORDER="0" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
		+	!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;;"\|Funktion
		+	!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;"\|Derivata
		+	\|-
		+	\|align="center"\|$x^n$
		+	\|align="center"\|$n \cdot x^{n-1}$
		+	\|-
		+	\|align="center"\|$\ln x$
		+	\|align="center"\|$1/x$
		+	\|-
		+	\|align="center"\|$e^x$
		+	\|align="center"\|$e^x$
		+	\|-
		+	\|align="center"\|$\sin x$
		+	\|align="center"\|$\cos x$
		+	\|-
		+	\|align="center"\|$\cos x$
		+	\|align="center"\|$-\sin x$
		+	\|-
		+	\|align="center"\|$\tan x$
		+	\|align="center"\|$1/\cos^2 x$
		+	\|}
		+
		+
		+	Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
		+	$$D(f(x) +g(x))= f'(x) + g'(x)\,\mbox{.}$$
		+
		+	Samt, om ''k'' är en konstant, att
		+	$$D(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x)\,\mbox{.}$$
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 2'''
		+	<ol type="a">
		+	<li> $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 + 0 - \cos x$ <br><br>
		+	<li>$ y= 3 \ln x + 2e^x \quad$ ger att $\,\displaystyle y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x$ <br><br>
		+	<li>$\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl({\textstyle\frac{3}{5}}x^2 - {\textstyle\frac{1}{2}}x^3\bigr)= {\textstyle\frac{3}{5}}\cdot 2x - {\\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 3x^2= {\textstyle\frac{6}{5}}x - {\textstyle\frac{3}{2}}x^2$ <br><br>
		+	<li>$\displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad$ ger att $\displaystyle s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at$
		+	</ol>
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 3'''
		+	<ol type="a">
		+	<li>$\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad$ ger att $\displaystyle f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ <br><br>
		+	<li>$\displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3} \cdot x^{-2} \quad$ ger att $\displaystyle f'(x) = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot(-2)x^{-3} = -\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3} $ <br><br>
		+	<li>$\displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad$ ger att $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ <br><br>
		+	<li>$\displaystyle y = \left( x^2 + \frac{1}{x} \right)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x} \right)^2 = x^4 + 2x + x^{-2} \quad$<br>
		+	$\qquad\quad$ ger att $\displaystyle y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}$
		+	</ol>
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 4'''
		+
		+	Funktionen $\,f(x)=x^2 + x^{-2}\,$ har derivatan $\displaystyle \,f'(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}$. Detta betyder att
		+
		+	* $\displaystyle f'(2) = 2\cdot 2 - \frac{2}{2^3}= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$<br><br>
		+	* $\displaystyle f'(-1) = 2 \cdot (-1) - \frac{2}{(-1)^3} = -2 + 2 = 0$<br><br>
		+	* $ f'(0) =$ ej def.
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 5'''
		+
		+	Ett föremål rör sig enligt $\,s(t) = t^3 -4t^2 +5t\,$, där $\,s(t)\,$ km är avståndet från startpunkten efter $\,t\,$ timmar. Beräkna $\,s'(3)\,$ och förklara vad värdet står för.
		+	<br>
		+	<br>
		+	Tidsderivatan ges av
		+	$$s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}$$
		+	Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 6'''
		+
		+	Totalkostnaden $\,T\,$ kr för tillverkning av $\,x\,$ gummidräkter ges av funktionen
		+	$$ T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}$$
		+
		+	Beräkna och förklara
		+	<ol type="a">
		+	<li>$T(120)$<br><br>
		+	$T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104$ <br>
		+	Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr. <br><br>
		+	<li>$T'(120)$<br><br>
		+	$T'(x)= 370 - 0{,}18x$ <br>
		+	$T'(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348$ <br>
		+	Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.<br><br>
		+	</ol>
		+
		+	</div>
		+
		+	==Tangenter och normaler==
		+	En ''tangent'' till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.
		+
		+	En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt).
		+
		+	För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är $\,–1\,$, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas $\,k_T\,$ och normalens $\,k_N\,$ så är $\,k_T \cdot k_N = -1\,$. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.
		+
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 7'''
		+
		+	Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $\,y=x^2 + 1\,$ i punkten $\,(1,2)\,$.
		+
		+
		+	'''Lösning'''
		+
		+	[[Bild:Normal-tangent.gif‎\|200px\|right\|]]
		+	Tangentens ekvation är $\,y = kx + m\,$, där $\,k= y'(1)\,$.
		+
		+	$y' = 2x\,,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2\,$.
		+
		+	Eftersom linjen också passerar punkten $\,(1,2)\,$ har vi att
		+
		+	$2 = 2 \cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = 0\,$.
		+
		+	Tangentens ekvation är alltså $\,y=2x\,$.
		+
		+
		+	Riktningskoefficienten för normalen är $\displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}$ .
		+
		+	Normalen går också genom punkten $\,(1, 2)\,$ , dvs.
		+
		+	$2= -\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \rightarrow \quad m = \displaystyle \frac{5}{2}\,$.
		+
		+	Normalen har ekvationen $\,y= -\displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{5}{2} = \displaystyle \frac{5-x}{2}\,$.
		+
		+
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 8'''
		+
		+	Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 3x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.
		+
		+
		+	'''Lösning'''
		+
		+	$y' = 2 \, e^x -3$
		+
		+	$ y' = -1 \quad \rightarrow \quad 2 \, e^x = 2 \quad \rightarrow \quad x=0$
		+
		+	$ y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2 $
		+
		+	Tangeringspunkten är $\,(0,2)\,$.
		+
		+	</div>

KTH.SE:u1tyze7e: flyttade 1.1 Inledning derivata till 1.1 Inledning till derivata

KTH.SE:u1tyze7e — Wed, 13 Jun 2007 14:07:44 GMT

flyttade 1.1 Inledning derivata till 1.1 Inledning till derivata

← Äldre version

Versionen från 13 juni 2007 kl. 14.07

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

KTH.SE:u1tyze7e — Wed, 13 Jun 2007 14:07:22 GMT

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: Påbörjat korrläsning

KTH.SE:u1tyze7e — Wed, 13 Jun 2007 12:12:09 GMT

Påbörjat korrläsning

← Äldre version		Versionen från 13 juni 2007 kl. 12.12
Rad 4:		Rad 4:
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
-	* Derivatans defintion (översiktligt)	+	* Derivatans definition (översiktligt).
-	* Derivatan av $x^\alpha\,, \ln x\,, e^x\,, \cos x\,, \sin x \mbox{ och } \tan x$	+	* Derivatan av $\,x^\alpha\,$, $\,\ln x\,$, $\,e^x\,$, $\,\cos x\,$, $\,\sin x\,$ och $\,\tan x$.
-	* Derivata av summa och differens	+	* Derivata av summa och differens.
-	* Tangent och normal till kurvor 2	+	* Tangent och normal till kurvor.
	}}		}}

	{{Info\|		{{Info\|
-	'''Färdigheter:'''<br>	+	'''Lärandemål:'''<br>
	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: <br>		Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: <br>
-	* Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y$=$f(x)$ i punkten $x$=$a$	+	* Förstå derivatan $\,f'(a)\,$ som lutningen av kurvan $\,y=f(x)\,$ i punkten $\,x=a\,$.
-	* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, ... )	+	* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, ... ).
-	* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t ex,. $f(x)$=$\|x\|$ i $x$=$0$ )	+	* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. $\,f(x)=\vert x\vert\,$ i $\,x=0\,$).
-	* Kunna derivera $x^\alpha\,, \ln x\,, e^x\,, \cos x\,, \sin x \,, \tan x$ och summor/differenser av sådan termer	+	* Kunna derivera $x^\alpha\,$, $\,\ln x\,$, $\,e^x\,$, $\,\cos x\,$, $\,\sin x\,$ och $\,\tan x\,$ samt summor/differenser av sådan termer.
-	* Kunna bestämma tangent och normal till $y$=$f(x)$	+	* Kunna bestämma tangent och normal till $y=f(x)$.
-	* Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)\, , \displaystyle\frac{df}{dx}(x)$	+	* Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)\,$ och $df/dx(x)$.
	}}		}}

KTH.SE:u1rp004j den 5 juni 2007 kl. 10.17

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 05 Jun 2007 10:17:33 GMT

← Äldre version		Versionen från 5 juni 2007 kl. 10.17
Rad 13:		Rad 13:
	'''Färdigheter:'''<br>		'''Färdigheter:'''<br>
	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: <br>		Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: <br>
-	* Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y=f(x)$ i punkten $x=a$	+	* Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y$=$f(x)$ i punkten $x$=$a$
	* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, ... )		* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, ... )
-	* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t ex,. $f(x)= \|x\|$ i $x=0$ )	+	* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t ex,. $f(x)$=$\|x\|$ i $x$=$0$ )
	* Kunna derivera $x^\alpha\,, \ln x\,, e^x\,, \cos x\,, \sin x \,, \tan x$ och summor/differenser av sådan termer		* Kunna derivera $x^\alpha\,, \ln x\,, e^x\,, \cos x\,, \sin x \,, \tan x$ och summor/differenser av sådan termer
-	* Kunna bestämma tangent och normal till $y=f(x)$	+	* Kunna bestämma tangent och normal till $y$=$f(x)$
	* Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)\, , \displaystyle\frac{df}{dx}(x)$		* Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)\, , \displaystyle\frac{df}{dx}(x)$
	}}		}}