1.3 Max- och minproblem - Versionshistorik

KTH.SE:u1rp004j: /* Teckentabell */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 04 Jul 2007 14:05:34 GMT

Teckentabell

← Äldre version		Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.05
Rad 140:		Rad 140:
	\|style="background:#efefef;"\|		\|style="background:#efefef;"\|
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x+2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x-2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
		+	\|width="50px" align="center"\| $-$
		+	\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $0$		\|width="50px" align="center"\| $0$
-	\|width="50px" align="center"\| $+$
-	\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|width="50px" align="center"\| $+$		\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x-2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x+2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
-	\|width="50px" align="center"\| $-$
-	\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $0$		\|width="50px" align="center"\| $0$
		+	\|width="50px" align="center"\| $+$
		+	\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|width="50px" align="center"\| $+$		\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|-		\|-

KTH.SE:u1rp004j: /* Teckentabell */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 04 Jul 2007 14:04:31 GMT

Teckentabell

← Äldre version		Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.04
Rad 140:		Rad 140:
	\|style="background:#efefef;"\|		\|style="background:#efefef;"\|
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x-2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x+2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $0$		\|width="50px" align="center"\| $0$
Rad 147:		Rad 147:
	\|width="50px" align="center"\| $+$		\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x+2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x-2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$

KTH.SE:u1tyze7e den 22 juni 2007 kl. 07.52

KTH.SE:u1tyze7e — Fri, 22 Jun 2007 07:52:33 GMT

← Äldre version		Versionen från 22 juni 2007 kl. 07.52
Rad 107:		Rad 107:
	==Kritiska punkter==		==Kritiska punkter==
	Punkter där $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$ kallas kritiska (eller stationära) punkter och är vanligtvis av tre olika slag:		Punkter där $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$ kallas kritiska (eller stationära) punkter och är vanligtvis av tre olika slag:
-	* lokal maximipunkt med $f^{\,\prime}(x) > 0 $ till vänster, och $f^{\,\prime}(x) < 0 $ till höger om punkten.	+	* lokal maximipunkt med $\,f^{\,\prime}(x) > 0\,$ till vänster, och $\,f^{\,\prime}(x) < 0\,$ till höger om punkten.
-	* lokal minimipunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ till vänster, och $f^{\,\prime}(x) > 0 $ till höger om punkten.	+	* lokal minimipunkt med $\,f^{\,\prime}(x) < 0\,$ till vänster, och $\,f^{\,\prime}(x) > 0\,$ till höger om punkten.
-	* terrasspunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ eller $f^{\,\prime}(x) > 0 $ på båda sidor om punkten.	+	* terrasspunkt med $\,f^{\,\prime}(x) < 0\,$ eller $\,f^{\,\prime}(x) > 0\,$ på båda sidor om punkten.
	Observera att en punkt kan vara en lokal maximi-/minimipunkt utan att $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$; läs mer i avsnittet om ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)\|max- och minpunkter]]''.		Observera att en punkt kan vara en lokal maximi-/minimipunkt utan att $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$; läs mer i avsnittet om ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)\|max- och minpunkter]]''.

KTH.SE:u1tyze7e: Lagt in en förtydligande mening om max- och minpunkter i avsnittet om kritiska punkter.

KTH.SE:u1tyze7e — Fri, 22 Jun 2007 07:49:21 GMT

Lagt in en förtydligande mening om max- och minpunkter i avsnittet om kritiska punkter.

← Äldre version		Versionen från 22 juni 2007 kl. 07.49
Rad 110:		Rad 110:
	* lokal minimipunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ till vänster, och $f^{\,\prime}(x) > 0 $ till höger om punkten.		* lokal minimipunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ till vänster, och $f^{\,\prime}(x) > 0 $ till höger om punkten.
	* terrasspunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ eller $f^{\,\prime}(x) > 0 $ på båda sidor om punkten.		* terrasspunkt med $f^{\,\prime}(x) < 0 $ eller $f^{\,\prime}(x) > 0 $ på båda sidor om punkten.
		+	Observera att en punkt kan vara en lokal maximi-/minimipunkt utan att $\,f^{\,\prime}(x) = 0\,$; läs mer i avsnittet om ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)\|max- och minpunkter]]''.

	[[Bild:Mamiter2.gif\|400px\|center\|]]		[[Bild:Mamiter2.gif\|400px\|center\|]]

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

KTH.SE:u1tyze7e — Fri, 15 Jun 2007 07:37:52 GMT

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

KTH.SE:u1tyze7e — Thu, 14 Jun 2007 17:53:45 GMT

Korrekturläst (delvis)

← Äldre version		Versionen från 14 juni 2007 kl. 17.53
Rad 230:		Rad 230:
	Funktionens derivata ges av		Funktionens derivata ges av
	$$y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}$$		$$y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}$$
-	För att bestämma hur derivatans tecken varierar över tallinjen försöker vi faktorisera derivatan så långt som möjligt. Vi har redan lyckats bryta ut faktorn $\,12x\,$ och vi kan faktorisera deluttrycket $\,x^2+x-2\,$ ytterligare genom att hitta nollställena till detta deluttrycket, dvs.	+	För att bestämma hur derivatans tecken varierar över tallinjen försöker vi faktorisera derivatan så långt som möjligt. Vi har redan lyckats bryta ut faktorn $\,12x\,$ och vi kan faktorisera det återstående uttrycket $\,x^2+x-2\,$ ytterligare genom att hitta dess nollställen
	$$x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{eller}\quad x=1.$$		$$x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{eller}\quad x=1.$$
	Detta betyder att $\,x^2+x-2=(x+2)(x-1)\,$ och hela derivatan kan skrivas som		Detta betyder att $\,x^2+x-2=(x+2)(x-1)\,$ och hela derivatan kan skrivas som
	$$y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}$$		$$y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}$$
-	De enskilda faktorerna har tecken som framgår av tabellen nedan	+	Det går direkt ur denna formel se att derivatan är noll för $\,x=-2\,$, $\,x=0\,$ och $\,x=1\,$. Dessutom kan vi se hur derivatans tecken varierar genom att undersöka tecknet för varje enskild faktor i produkten för olika värden på $\,x\,$

	{\| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"		{\| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
Rad 276:		Rad 276:
	\|}		\|}

-	Genom att derivatan är produkten av dessa faktorer får vi fram derivatans tecken i intervallen mellan de kritiska punkterna.	+	Derivatan är produkten av dessa faktorer och vi får derivatans tecken genom att multiplicera ihop faktorernas tecken i respektive intervall.

	{\| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"		{\| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center"
Rad 319:		Rad 319:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Derivatan ges av	+	Derivatan till funktionen ges av
-	$$y' = 1 - \displaystyle \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = 1- \displaystyle \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,\mbox{.}$$	+	$$y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}$$
-	Från detta uttryck ser vi att $\,y'\,$ är alltså inte definierad för $\,x = 0\,$ (vilket dock $\,y\,$ är).	+	Från detta uttryck ser vi att $\,y'\,$ inte är definierad för $\,x = 0\,$ (vilket dock $\,y\,$ är). Detta betyder att funktionen har en singulär punkt i $\,x=0\,$.

	De kritiska punkterna till funktionen ges av		De kritiska punkterna till funktionen ges av

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

KTH.SE:u1tyze7e — Thu, 14 Jun 2007 14:43:03 GMT

Korrekturläst (delvis)

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1rp004j den 1 juni 2007 kl. 09.49

KTH.SE:u1rp004j — Fri, 01 Jun 2007 09:49:12 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 09.49
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Innehåll:'''
		+	* Kurvskissering
		+	* Max- och minproblem
		+	}}
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Färdigheter:'''
		+
		+	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
		+
		+	* Kunna definitionen av strängt växande funktion, strängt avtagande funktion, lokalt maximum, lokalt minimum, globalt maximum, globalt minimum
		+	* Veta att om $f'>0$ i ett intervall så är $f$ strängt växande i intervallet, och att om $f'<0$ i ett intervall så är $f$ strängt avtagande i intervallet
		+	* Kunna bestämma lokala max- och minpunkter samt terasspunkter genom teckenstudium av derivatan
		+	* Kunna skissera funktionsgrafer genom att göra en teckentabell över derivatan
		+	* Kunna bestämma globala och lokala max- och minpunkter genom 1) teckenstudium av derivatan, 2) punkter där funktionen inte är deriverbar, 3) ändpunkter till definitionsmängden
		+	* Kunna avgöra lokala max- och minpunkter med tecknet på andraderivatan
		+	}}

	[[1.3 Övningar\|Övningar]]		[[1.3 Övningar\|Övningar]]

Lina den 15 maj 2007 kl. 12.53

Lina — Tue, 15 May 2007 12:53:24 GMT

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 12.53
Rad 1:		Rad 1:
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Innehåll:'''
-	* alt 1
-	* alt 2
-	</div>
-

	[[1.3 Övningar\|Övningar]]		[[1.3 Övningar\|Övningar]]
Rad 18:		Rad 11:
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->

-
-	=Teori=
	==Växande och avtagande==		==Växande och avtagande==
	Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och vice versa.		Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och vice versa.
Rad 474:		Rad 465:

	</div>		</div>
-
-
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Råd för inläsning'''
-
-	'''Tänk på att:'''
-
-	text
-
-	'''Lästips'''
-
-	stående
-
-	'''Länktips'''
-
-	stående
-
-	</div>
-
-
-	''' © Copyright 2007, math.se'''
-
-
-

	<!-- slut teori -->		<!-- slut teori -->

Lina: /* Andraderivatan */

Lina — Fri, 27 Apr 2007 10:07:41 GMT

Andraderivatan

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 10.07
Rad 463:		Rad 463:

	$f(x)$ har extrempunkter då $x = 1$ och $x=-\displaystyle \frac{1}{3}$.		$f(x)$ har extrempunkter då $x = 1$ och $x=-\displaystyle \frac{1}{3}$.
		+

	Andraderivatans tecken ger vilken typ:		Andraderivatans tecken ger vilken typ:

← Äldre version		Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.05
Rad 140:		Rad 140:
	\|style="background:#efefef;"\|		\|style="background:#efefef;"\|
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x+2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x-2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
		+	\|width="50px" align="center"\| $-$
		+	\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $0$		\|width="50px" align="center"\| $0$
-	\|width="50px" align="center"\| $+$
-	\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|width="50px" align="center"\| $+$		\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x-2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x+2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
-	\|width="50px" align="center"\| $-$
-	\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $0$		\|width="50px" align="center"\| $0$
		+	\|width="50px" align="center"\| $+$
		+	\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|width="50px" align="center"\| $+$		\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|-		\|-

← Äldre version		Versionen från 4 juli 2007 kl. 14.04
Rad 140:		Rad 140:
	\|style="background:#efefef;"\|		\|style="background:#efefef;"\|
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x-2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x+2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $0$		\|width="50px" align="center"\| $0$
Rad 147:		Rad 147:
	\|width="50px" align="center"\| $+$		\|width="50px" align="center"\| $+$
	\|-		\|-
-	\|width="50px" align="center"\| $x+2$	+	\|width="50px" align="center"\| $x-2$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$
	\|width="50px" align="center"\| $-$		\|width="50px" align="center"\| $-$