2.1 Övningar - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:5 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:24:06 GMT

Övning 2.1:5

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.24
Rad 456:		Rad 456:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td width="100%" align="center">		<td width="100%" align="center">
-	[[Bild:2_1_5a-(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5a-2(2).gif]]	+	[[Bild:2_1_5a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5a-2(2).gif]]
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:5 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:23:53 GMT

Övning 2.1:5

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.23
Rad 443:		Rad 443:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>		<td class="ntext">b)     $-\displaystyle\frac{\sin2x}{4}+\frac{x}{2}+C$</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning a </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga a
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_5a-(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5a-2(2).gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning b </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga b
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_5b.gif]]
		+	</td>
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:4 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:22:40 GMT

Övning 2.1:4

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.22
Rad 408:		Rad 408:
	<tr align="left">		<tr align="left">
	<td width="100%" align="center">		<td width="100%" align="center">
-	[[Bild:2_1_5e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5e-3(3).gif]]	+	[[Bild:2_1_4e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4e-3(3).gif]]
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:4 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:21:51 GMT

Övning 2.1:4

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.21
Rad 395:		Rad 395:
	<td width="100%" align="center">		<td width="100%" align="center">
	[[Bild:2_1_4d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:2_1_4d-5(5).gif]]		[[Bild:2_1_4d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:2_1_4d-5(5).gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning e </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga e
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_5e-1(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5e-2(3).gif]]<br\>[[Bild:2_1_5e-3(3).gif]]
	</td>		</td>
	</tr>		</tr>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:4 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:17:50 GMT

Övning 2.1:4

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.17
Rad 316:		Rad 316:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
-

	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">		<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
Rad 346:		Rad 345:
	</div>		</div>

-		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning a </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga a
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_4a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4a-2(2).gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>

	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">		<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
	<div class=NavHead>Lösning b </div>		<div class=NavHead>Lösning b </div>
	<div class=NavContent>		<div class=NavContent>
-	Lösning till delfråga b<br>	+	Lösning till delfråga b
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_4b-1(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-2(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-3(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4b-4(4).gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>

-	Det första som vi behöver göra är att ta reda på var kurvan $y = -x^2+2x+2$ skär x-axeln, så vi sätter $y=0$ och löser andragradsekvationen;	+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-		+	<div class=NavHead>Lösning c </div>
-	$$-x^2+2x+2 = 0 \Rightarrow$$	+	<div class=NavContent>
-	$$ x^2-2x-2 = 0 \Rightarrow $$	+	Lösning till delfråga c
-	$$ x = 1 \pm \sqrt{1+2} \Rightarrow$$	+	<table width="100%" cellspacing="10px">
-	$$x_1 = 1-\sqrt{3} \qquad x_2 = 1+\sqrt{3} $$	+	<tr align="left">
-		+	<td width="100%" align="center">
-	Vi kan försäkra oss om att kurvan ligger ovanför x-axeln mellan dessa punkter, eftersom t.ex. punkten $x=0$ ger ett positivt värde. Vi kan nu ställa upp integralen som	+	[[Bild:2_1_4c-1(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-2(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-3(4).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4c-4(4).gif]]
-		+	</td>
-	$$ \int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} -x^2 + 2x +2 dx $$	+	</tr>
-		+	</table>
-	De primitiva funktionerna till $-x^2$, $2x$ och $2$ är $-\frac{x^3}{3}$, $x^2$ resp. $2x$, så vi får	+	</div>
-		+	</div>
-	$$ \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 2x \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} = \left[ x( x + 2 - \frac{x^2}{3} ) \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} $$	+
-		+
-		+
-	Nu är det bara att sätta in gränserna och vi får det enorma uttrycket	+
-		+
-	$$ (1+\sqrt{3})( (1+\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3} ) - (1-\sqrt{3})( (1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1-\sqrt{3})^2}{3} ) $$	+
-	<br>	+
-		+
-	För att inte tappa bort oss, så räknar vi ut de olika termerna var för sig.	+
-		+
-	Vänstra uttrycket blir;	+
-		+
-	$$ (1+\sqrt{3})( (1+\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3} ) = $$	+
-	$$ (1+\sqrt{3})( 3+\sqrt{3} - \frac{1+2\sqrt{3}+3}{3} ) = $$	+
-	$$ (1+\sqrt{3})( 3+\sqrt{3} - \frac{4}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} ) = $$	+
-	$$ (1+\sqrt{3})( \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} ) = $$	+
-	$$ \frac{5}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}^2}{3} = $$	+
-	$$ \frac{8}{3} + 2\sqrt{3} $$	+
-		+
-		+
-	Högra uttrycket räknas ut på nästan samma sätt;	+
-		+
-	$$ (1-\sqrt{3})( (1-\sqrt{3}) + 2 - \frac{(1-\sqrt{3})^2}{3} ) = $$	+
-	$$ (1-\sqrt{3})( 3-\sqrt{3} - \frac{1-2\sqrt{3}+3}{3} ) = $$	+
-	$$ (1-\sqrt{3})( 3-\sqrt{3} - \frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} ) = $$	+
-	$$ (1-\sqrt{3})( \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} ) = $$	+
-	$$ \frac{5}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}^2}{3} = $$	+
-	$$ \frac{8}{3} - 2\sqrt{3} $$	+
-		+
-	Sammanlagt får vi då $\displaystyle{ (\frac{8}{3} + 2\sqrt{3})-(\frac{8}{3} - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} }$.	+
-	<br>	+
-	Svaret på uppgiften är alltså $\displaystyle{ 4.\sqrt{3} }$ a.e.	+

		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning d </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga d
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_4d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:2_1_4d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:2_1_4d-5(5).gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
	</div>		</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:3 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:10:08 GMT

Övning 2.1:3

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.10
Rad 210:		Rad 210:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
-
-

	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">		<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
Rad 232:		Rad 230:
	</tr>		</tr>
	<tr><td height="5px"/></tr>		<tr><td height="5px"/></tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning a </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga a
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_3a.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning b </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga b
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_3b.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning c </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga c
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_3c.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning d </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga d
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_3d.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:3 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:08:45 GMT

Övning 2.1:3

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.08
Rad 209:		Rad 209:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
-	Ledning b) Använd att $\sin2v=2\sin v\cos v$<br\>
-	Ledning d) $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x}\, dx=\int\frac{x^2}{x}\, dx+\int\frac{1}{x}\, dx$
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:2 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:08:14 GMT

Övning 2.1:2

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.08
Rad 113:		Rad 113:
	</table>		</table>
	</div>		</div>
-
-

	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">		<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
Rad 135:		Rad 133:
	</tr>		</tr>
	<tr><td height="5px"/></tr>		<tr><td height="5px"/></tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning a </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga a
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_1_2a-2(2).gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning b </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga b
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_2b.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning c </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga c
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_2c.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
		+	</table>
		+	</div>
		+	</div>
		+
		+	<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
		+	<div class=NavHead>Lösning d </div>
		+	<div class=NavContent>
		+	Lösning till delfråga d
		+	<table width="100%" cellspacing="10px">
		+	<tr align="left">
		+	<td width="100%" align="center">
		+	[[Bild:2_1_2d.gif]]
		+	</td>
		+	</tr>
	</table>		</table>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:2 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:05:58 GMT

Övning 2.1:2

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.05
Rad 112:		Rad 112:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
-	Ledning c,d) skriv om $\sqrt x=x^{1/2}$, och använd eventuellt potenslagarna.
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Övning 2.1:1 */

KTH.SE:u1zpa8nw — Thu, 19 Jul 2007 09:05:33 GMT

Övning 2.1:1

← Äldre version		Versionen från 19 juli 2007 kl. 09.05
Rad 15:		Rad 15:
	</tr>		</tr>
	</table>		</table>
-	Ledning d) För $a < b < 0$ gäller $\displaystyle\int_{a}^{b}\|x\|\, dx=\int_{a}^{b} -x\,dx$
	</div>		</div>