2.2. Variabelsubstitution - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 14.39

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:39:42 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.39
Rad 133:		Rad 133:
	Betrakta beräkningen		Betrakta beräkningen

-	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$	+	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \Bigl[\, \frac{-1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$

	[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]		[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 14.38

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:38:03 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.38
Rad 133:		Rad 133:
	Betrakta beräkningen		Betrakta beräkningen

-	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$	+	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$

	[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]		[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Integrationsgränser vid variabelbyte */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:34:20 GMT

Integrationsgränser vid variabelbyte

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.34
Rad 110:		Rad 110:

	</div>		</div>
		+
		+
		+
		+
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 5'''		'''Exempel 5'''
-
	[[Bild:Integral20.gif\|200px\|right]]		[[Bild:Integral20.gif\|200px\|right]]
	Beräkna integralen $ \ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, dx\,$.		Beräkna integralen $ \ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, dx\,$.

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 14.33

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:33:11 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.33
Rad 137:		Rad 137:


		+	</div>

-		+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
-		+
-		+
-	</div>	+

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Integrationsgränser vid variabelbyte */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:31:14 GMT

Integrationsgränser vid variabelbyte

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.31
Rad 107:		Rad 107:

	Sätt $\,u=e^x\,$ vilket ger att $\,u'= e^x\,$ och $\,du= e^x\, dx\,$. Integrationsgränsen $\,x=0\,$ motsvaras då av $\,u=e^0 = 1\,$ och $\,x=2\,$ motsvaras av $\,u=e^2\,$		Sätt $\,u=e^x\,$ vilket ger att $\,u'= e^x\,$ och $\,du= e^x\, dx\,$. Integrationsgränsen $\,x=0\,$ motsvaras då av $\,u=e^0 = 1\,$ och $\,x=2\,$ motsvaras av $\,u=e^2\,$
-	$$\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}$$	+	$$\int_{0}^{2} \frac{e^x\, dx}{1 + e^x} = \int_{1}^{\,e^2} \frac{du}{1 + u} = \Bigl[\,\ln \|1+ u \|\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}$$

-
-
-
	</div>		</div>

Rad 123:		Rad 120:
	Substitutionen $\,u=\sin x\,$ ger att $\,du=\cos x\,dx\,$ och integrationsgränserna förändras till $\,u=\sin 0=0\,$ och $\,u=\sin(\pi/2)=1\,$. Integralen blir		Substitutionen $\,u=\sin x\,$ ger att $\,du=\cos x\,dx\,$ och integrationsgränserna förändras till $\,u=\sin 0=0\,$ och $\,u=\sin(\pi/2)=1\,$. Integralen blir
	$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx= \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[ {\textstyle\frac{1}{4}}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = {\textstyle\frac{1}{4}} - 0 = {\textstyle\frac{1}{4}}\,\mbox{.}$$		$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx= \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[ {\textstyle\frac{1}{4}}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = {\textstyle\frac{1}{4}} - 0 = {\textstyle\frac{1}{4}}\,\mbox{.}$$
-
-

	(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)		(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)
Rad 134:		Rad 129:
	Betrakta beräkningen		Betrakta beräkningen

-	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$	+	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$

	[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]		[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Variabelsubstitution */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:27:33 GMT

Variabelsubstitution

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.27
Rad 82:		Rad 82:
	<br>		<br>
	Efter en omskrivning av $\,\tan x\,$ substituerar vi $\,u=\cos x\,$		Efter en omskrivning av $\,\tan x\,$ substituerar vi $\,u=\cos x\,$
-	$$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\eqalign{u&= \cos x\cr u' &= - \sin x\cr du&= - \sin x \, dx}\,\right] = \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln \|u\| +C = -\ln \|\cos x\| + C\,\mbox{.}$$	+	$\displaystyle \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\eqalign{u&= \cos x\cr u' &= - \sin x\cr du&= - \sin x \, dx}\,\right] $<br><br>
		+	$\displaystyle \phantom{\int \tan x \, dx}{}= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln \|u\| +C = -\ln \|\cos x\| + C\,\mbox{.}$

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Variabelsubstitution */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:25:08 GMT

Variabelsubstitution

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.25
Rad 72:		Rad 72:
	<br>		<br>
	Sätt $\,u=x^3 + 1\,$. Då blir $\,u'=3x^2\,$, eller $\,du= 3x^2\, dx\,$, och		Sätt $\,u=x^3 + 1\,$. Då blir $\,u'=3x^2\,$, eller $\,du= 3x^2\, dx\,$, och
-	$$\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du = \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}$$	+	$\displaystyle\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx = \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du $<br>
		+	$\displaystyle \phantom{\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx}{}= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}$
	</div>		</div>
	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Integrationsgränser vid variabelbyte */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:22:25 GMT

Integrationsgränser vid variabelbyte

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.22
Rad 125:		Rad 125:

	(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)		(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)
-
-
-
-
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Integrationsgränser vid variabelbyte */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:21:45 GMT

Integrationsgränser vid variabelbyte

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.21
Rad 94:		Rad 94:

	Beräkna integralen $\ \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$.		Beräkna integralen $\ \displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx$.
-

	''Metod'' 1		''Metod'' 1
Rad 102:		Rad 101:
	Observera att integrationsgränserna måste skrivas $\,x = 0\,$ och $\,x = 2\,$ när integrationsvariabeln inte är $\,x\,$. Det vore fel att skriva		Observera att integrationsgränserna måste skrivas $\,x = 0\,$ och $\,x = 2\,$ när integrationsvariabeln inte är $\,x\,$. Det vore fel att skriva
	$$\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$		$$\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}$$
-

	''Metod'' 2		''Metod'' 2

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Integrationsgränser vid variabelbyte */

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:21:33 GMT

Integrationsgränser vid variabelbyte

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.21
Rad 89:		Rad 89:
	Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.		Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.
	De båda metoderna illustreras i följande exempel.		De båda metoderna illustreras i följande exempel.
-

	<div class="exempel">		<div class="exempel">