2.2 Variabelsubstitution - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 17 juli 2007 kl. 14.40

KTH.SE:u1zpa8nw — Tue, 17 Jul 2007 14:40:36 GMT

← Äldre version		Versionen från 17 juli 2007 kl. 14.40
Rad 149:		Rad 149:
	Betrakta beräkningen		Betrakta beräkningen

-	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$	+	$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{ \cos x} {\sin^2 x}\, dx = \left[\,\eqalign{ &u = \sin x\cr &du = \cos x \, dx\cr &u(-\pi/2) = -1\cr &u (\pi/2) = 1}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}$$

	[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]		[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

KTH.SE:u1tyze7e — Sat, 16 Jun 2007 14:09:23 GMT

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1rp004j den 1 juni 2007 kl. 10.06

KTH.SE:u1rp004j — Fri, 01 Jun 2007 10:06:01 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.06
Rad 1:		Rad 1:
		+	__NOTOC__
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">

		+	{{Info\|
		+	'''Innehåll:'''
		+	* Variabelsubstitution
		+	}}
		+
		+	{{Info\|
		+	'''Färdigheter:'''
		+
		+	Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
		+
		+	* Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution
		+	* Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg
		+	* Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution
		+	* Veta när en variabelsubstitution är tillåten
		+
		+	}}

KTH.SE:u1rp004j den 1 juni 2007 kl. 10.03

KTH.SE:u1rp004j — Fri, 01 Jun 2007 10:03:22 GMT

← Äldre version		Versionen från 1 juni 2007 kl. 10.03
Rad 1:		Rad 1:
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">

-	[[agjöeijö\|Övningar]]	+
		+
		+	[[2.2 Övningar\|Övningar]]

	</td>		</td>

Lina den 15 maj 2007 kl. 12.54

Lina — Tue, 15 May 2007 12:54:33 GMT

← Äldre version		Versionen från 15 maj 2007 kl. 12.54
Rad 1:		Rad 1:
	<table><tr><td width="600">		<table><tr><td width="600">
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Innehåll:'''
-	* alt 1
-	* alt 2
-	</div>
-

	[[agjöeijö\|Övningar]]		[[agjöeijö\|Övningar]]
Rad 18:		Rad 11:
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->

-	=Teori=
	==Variabelsubstitution==		==Variabelsubstitution==
	När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. ''kedjeregeln''.		När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. ''kedjeregeln''.
Rad 182:		Rad 174:

	</div>		</div>
-
-
-	<div class="inforuta">
-	'''Råd för inläsning'''
-
-	'''Tänk på att:'''
-
-	text
-
-	'''Lästips'''
-
-	stående
-
-	'''Länktips'''
-
-	stående
-
-	</div>
-
-
-	''' © Copyright 2007, math.se'''
-
-

Lina: /* Integrationsgränser vid variabelbyte */

Lina — Fri, 27 Apr 2007 15:07:59 GMT

Integrationsgränser vid variabelbyte

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 15.07
Rad 110:		Rad 110:
	Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.		Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet.
	De båda metoderna illustreras i följande exempel.		De båda metoderna illustreras i följande exempel.
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 143:		Rad 144:
	'''Exempel 5'''		'''Exempel 5'''

		+	[[Bild:Integral20.gif\|200px\|right]]
	Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$.		Beräkna integralen $ \quad \displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx$.
-
-
-	\\illustration


Rad 157:		Rad 156:

	$\displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx= \displaystyle \int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \displaystyle \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} - 0 = \displaystyle \frac{1}{4}$		$\displaystyle \int_{0}^{\frac{x}{2}} \sin^3 x \cos x \, dx= \displaystyle \int_{0}^{1} u^3 du = \left[ \displaystyle \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} = \displaystyle \frac{1}{4} - 0 = \displaystyle \frac{1}{4}$
		+
		+

	(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)		(Figuren till höger visar vad som händer vid variabelbytet; integrand och variabel ändras. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.)
Rad 169:		Rad 170:
	$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$		$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{ \cos x} {\sin^2 x} dx = \left[ \matrix{ u = \sin x \\ du = \cos x \, dx \\ u(- \frac{\pi}{2}) = -1 \\ u (\frac{\pi}{2}) = 1} \right ] = \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\displaystyle \frac{1}{u} \right]_{0}^{1} = -1 - 1 = -2$

		+	[[Bild:Integral21.gif\|200px\|right]]
	Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på		Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på
-	att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$ inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.). \\illustration<br>	+	att $f(u)= \displaystyle \frac{1}{u^2}$ inte är kontinuerlig i intervallet $[-1, 1]$ (se fig.).
		+
	Villkoret att $f(u(x))$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det		Villkoret att $f(u(x))$ ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som $u(x)$ kan anta i det
	aktuella intervallet är alltså nödvändigt för att		aktuella intervallet är alltså nödvändigt för att
	substitutionen $u=u(x)$ ska fungera.		substitutionen $u=u(x)$ ska fungera.
		+
		+
		+

	</div>		</div>

Lina: /* Variabelsubstitution */

Lina — Fri, 27 Apr 2007 15:00:29 GMT

Variabelsubstitution

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 15.00
Rad 97:		Rad 97:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 3'''		'''Exempel 3'''
		+
	Bestäm $\quad \displaystyle \int \tan x \, dx \quad$ $\quad, (-\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$		Bestäm $\quad \displaystyle \int \tan x \, dx \quad$ $\quad, (-\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2})$

Lina: /* Variabelsubstitution */

Lina — Fri, 27 Apr 2007 14:59:49 GMT

Variabelsubstitution

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 14.59
Rad 46:		Rad 46:
	Om man ersätter uttrycket $u(x)$ med variabeln $u$ och $u'(x)\, dx$ med $du$, kan man alltså omvandla den krångligare integranden $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (med $x$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $f(u)$ (med $u$ som variabel).		Om man ersätter uttrycket $u(x)$ med variabeln $u$ och $u'(x)\, dx$ med $du$, kan man alltså omvandla den krångligare integranden $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (med $x$ som variabel) med den förhoppningsvis enklare $f(u)$ (med $u$ som variabel).
	Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $f(u(x)) \cdot u'(x)$.		Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen $f(u(x)) \cdot u'(x)$.
		+

	''Anm.''1<br>		''Anm.''1<br>
	Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $u(x)$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $f$ är definierad och kontinuerlig i värdemängden till $u$, dvs. för alla värden som $u$ kan anta i intervallet.		Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att $u(x)$ är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att $f$ är definierad och kontinuerlig i värdemängden till $u$, dvs. för alla värden som $u$ kan anta i intervallet.
		+

	''Anm.''2<br>		''Anm.''2<br>
Rad 60:		Rad 62:

	dvs., en liten ändring, $dx$, i variabeln $x$ ger upphov till ändringen $u'(x)\,dx$ i variabeln $u$.		dvs., en liten ändring, $dx$, i variabeln $x$ ger upphov till ändringen $u'(x)\,dx$ i variabeln $u$.
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Lina: /* Variabelsubstitution */

Lina — Fri, 27 Apr 2007 14:59:19 GMT

Variabelsubstitution

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 14.59
Rad 33:		Rad 33:
	$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C \quad \mbox{,}$$		$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C \quad \mbox{,}$$

-	där $F$ är en primitiv funktion till $f$.	+	där $F$ är en primitiv funktion till $f$.
		+

	Eftersom		Eftersom
-	$$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$	+	$$ \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \quad \mbox{,}$$

-	, så får man	+	så får man

	$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$		$$\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C$$

Lina den 27 april 2007 kl. 14.56

Lina — Fri, 27 Apr 2007 14:56:40 GMT

← Äldre version		Versionen från 27 april 2007 kl. 14.56
Rad 22:		Rad 22:
	När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. ''kedjeregeln''.		När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner – den s.k. ''kedjeregeln''.

		+	<div class="regel">
	Kedjeregeln, $ \quad \displaystyle \frac{d}{dx} f(u(x)) = f' (u(x)) \cdot u'(x)$		Kedjeregeln, $ \quad \displaystyle \frac{d}{dx} f(u(x)) = f' (u(x)) \cdot u'(x)$
		+	</div>

	kan i integralform skrivas		kan i integralform skrivas
Rad 29:		Rad 31:
	eller,		eller,

-	$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C$$	+	$$ \displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C \quad \mbox{,}$$

-	, där $F$ är en primitiv funktion till $f$.	+	där $F$ är en primitiv funktion till $f$.

	Eftersom		Eftersom