3.2. Polär form - Versionshistorik

KTH.SE:u1zpa8nw den 18 juli 2007 kl. 07.35

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:35:39 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.35
Rad 270:		Rad 270:

	</div>		</div>
-	<br><br><br><br><br><br>	+	<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw den 18 juli 2007 kl. 07.33

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:33:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.33
Rad 245:		Rad 245:
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
-		+	<br><br><br>
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 7'''		'''Exempel 7'''
Rad 270:		Rad 270:

	</div>		</div>
		+	<br><br><br><br><br><br>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Multiplikation och division i polär form */

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:30:01 GMT

Multiplikation och division i polär form

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.30
Rad 217:		Rad 217:
	</div>		</div>
	I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $\,z\,$ med $\,w\,$ att $\,z\,$ förlängs med faktorn $\,\|\,w\,\|\,$ och roteras moturs med vinkeln $\,\arg\,w\,$.		I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $\,z\,$ med $\,w\,$ att $\,z\,$ förlängs med faktorn $\,\|\,w\,\|\,$ och roteras moturs med vinkeln $\,\arg\,w\,$.
-	[[Bild:komplext-talplan-13.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-13.gif\|\|center\|]]</div>

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Polär form */

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:29:37 GMT

Polär form

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.29
Rad 152:		Rad 152:
	==Polär form==		==Polär form==
	I stället för att ange ett komplext tal $\,z=x+iy\,$ i dess rektangulära koordinater $\,(x,y)\,$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $\,r\,$, till origo, samt den vinkel $\,\alpha\,$ som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).		I stället för att ange ett komplext tal $\,z=x+iy\,$ i dess rektangulära koordinater $\,(x,y)\,$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $\,r\,$, till origo, samt den vinkel $\,\alpha\,$ som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).
-	[[Bild:komplext-talplan-11.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-11.gif\|\|center\|]]</div>
	Eftersom $\ \cos\alpha = x/r\ $ och $\ \sin\alpha = y/r\ $ så är $\ x = r\cos\alpha\ $ och $\ y= r\sin\alpha\,$. Talet $\,z=x+iy\,$ kan därför skrivas som		Eftersom $\ \cos\alpha = x/r\ $ och $\ \sin\alpha = y/r\ $ så är $\ x = r\cos\alpha\ $ och $\ y= r\sin\alpha\,$. Talet $\,z=x+iy\,$ kan därför skrivas som
	<div class="regel">$$z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}$$</div>		<div class="regel">$$z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}$$</div>
Rad 201:		Rad 201:
	<br/>		<br/>
	</ol>		</ol>
-	[[Bild:komplext-talplan-12.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-12.gif\|\|center\|]]</div>

	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Avstånd mellan komplexa tal */

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:29:07 GMT

Avstånd mellan komplexa tal

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.29
Rad 122:		Rad 122:
	</ol>		</ol>

-	[[Bild:komplext-talplan-7.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-7.gif\|\|center\|]]</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Avstånd mellan komplexa tal */

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:28:35 GMT

Avstånd mellan komplexa tal

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.28
Rad 85:		Rad 85:
	Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+ib\,$ och $\,w=c+id\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas <br\>		Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+ib\,$ och $\,w=c+id\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas <br\>
	<div class="regel">$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}$$</div>		<div class="regel">$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}$$</div>
-	[[Bild:komplext-talplan-6.gif\|\|center\|]]<br>	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-6.gif\|\|center\|]]</div><br>
	Eftersom $\,z-w=(a-c)+i(b-d)\,$, så får man att <br>		Eftersom $\,z-w=(a-c)+i(b-d)\,$, så får man att <br>
	<center>$\|\,z-w\,\|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}$avståndet mellan talen $\,z\,$ och $\,w\,$.</center>		<center>$\|\,z-w\,\|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}$avståndet mellan talen $\,z\,$ och $\,w\,$.</center>

KTH.SE:u1zpa8nw: /* Det komplexa talplanet */

KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:26:58 GMT

Det komplexa talplanet

← Äldre version		Versionen från 18 juli 2007 kl. 07.26
Rad 37:		Rad 37:
	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:		Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

-	[[Bild:komplext-talplan-2.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-2.gif\|\|center\|]]</div>
	<br\>		<br\>
	Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:		Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:

-	[[Bild:komplext-talplan-3.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-3.gif\|\|center\|]]</div>
	<br\>		<br\>

Rad 55:		Rad 55:
	*$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$		*$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
	*$\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$		*$\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$
-	[[Bild:komplext-talplan-4.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-4.gif\|\|center\|]]</div>
	</div>		</div>

Rad 67:		Rad 67:
	<br/>		<br/>
	Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.		Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.
-	[[Bild:komplext-talplan-9.gif\|\|center\|]]	+	<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-9.gif\|\|center\|]]</div>
	</div>		</div>

KTH.SE:u1zpa8nw: Ny sida: NOTOC
{{Info| '''Innehåll:''' * Det komplexa talplanet * Addition och subtraktion i talplanet * Belopp och argument * Polär form * Multiplikation och divis...
KTH.SE:u1zpa8nw — Wed, 18 Jul 2007 07:25:05 GMT

Ny sida: NOTOC <table><tr><td width="600"> {{Info| '''Innehåll:''' * Det komplexa talplanet * Addition och subtraktion i talplanet * Belopp och argument * Polär form * Multiplikation och divis...

Ny sida
NOTOC
<table><tr><td width="600">
{{Info|
'''Innehåll:'''
* Det komplexa talplanet
* Addition och subtraktion i talplanet
* Belopp och argument
* Polär form
* Multiplikation och division i polär form
* Multiplikation med $\,i\,$ i talplanet
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet.
* Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $\,a+ib\,$ och polär form.
}}
</td>
<td>

</td></tr>
<tr><td width=600>

==Det komplexa talplanet==
Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $\,a\,$ och en imaginärdel $\,b\,$, så kan $\,z\,$ betraktas som ett ordnat talpar $\,(a,b)\,$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem.
Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $\,i\,$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-1.gif]]</div>
<br\>

Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det <i>komplexa talplanet</i>.<br\>
Anm:
De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $\,0\,$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan därför se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{C}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.
<br\><br\>
Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

[[Bild:komplext-talplan-2.gif||center|]]
<br\>
Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:

[[Bild:komplext-talplan-3.gif||center|]]
<br\>

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''<br\>

Givet $\,z=2+i\,$ och $\,w=-3-i\,$. Markera $\,z\,$, $\,w\,$, $\,\overline{z}\,$, $\,\overline{z}-\overline{w}\,$ och $\,z-w\,$ i det komplexa talplanet.
<br/>
<br/>
Vi har att
$\overline{z}=2-i$
$\overline{w}=-3+i$
$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
$\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$
[[Bild:komplext-talplan-4.gif||center|]]
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''<br\>
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller följande villkor: <br\>
<ol type="a">
<li>$\mathop{\rm Re} z \ge 3$</li>
<li>$ -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2$</li>
</ol>
<br/>
Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.
[[Bild:komplext-talplan-9.gif||center|]]
</div>

==Absolutbelopp==
De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet.

För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $\,z=1-i\,$ och $\,w=-1+i\,$ . Med hjälp av begreppet <i>absolutbelopp</i> kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.

För ett komplext tal $\,z=a+ib\,$ definieras absolutbeloppet $\,|\,z\,|\,$ som <br\><br\>
<div class="regel">$$|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}$$</div>
Vi ser att $\,|\,z\,|\,$ är ett reellt tal och att $\,|\,z\,|\ge 0\,$. För reella tal är $\,b = 0\,$ och då gäller att $\,|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|\,$, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal.
Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $\,z=a+ib\,$ (punkten $\,(a, b)\,$) till $\,z = 0\,$ (origo), enligt Pythagoras sats.<br\>
<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-5.gif||center|]]</div>

==Avstånd mellan komplexa tal==
Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+ib\,$ och $\,w=c+id\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas <br\>
<div class="regel">$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}$$</div>
[[Bild:komplext-talplan-6.gif||center|]]<br>
Eftersom $\,z-w=(a-c)+i(b-d)\,$, så får man att <br>
<center>$|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}$avståndet mellan talen $\,z\,$ och $\,w\,$.</center>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''<br/><br/>
Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li>$\,\, |\,z\,|=2$
<br/>
<br/>
Ekvationen beskriver alla tal vars avstånd till origo är 2. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.</li>
<br/>
<li>$\,\, |\,z-3\,|=1$
<br/>
<br/>
Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $\,z = 3\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,\, |\,z+2-i\,|\le 2$
<br/>
<br/>
Vänsterledet kan skrivas $\,|\,z-(-2+i)\,|\,$, vilket innebär alla tal på avståndet ${}\le 2$ från talet $\,-2+i\,$, dvs. en cirkelskiva med radien 2 och medelpunkt i $\,-2+i\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1$
<br/>
<br/>
Mängden ges av alla tal vars avstånd till $\,z=2+3i\,$ är mellan $\,\frac{1}{2}\,$ och $\,1\,$.
<br/>
<br/>
</li>
</ol>

[[Bild:komplext-talplan-7.gif||center|]]
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''<br/><br/>
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller villkoren
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li>$\, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.$
<br/>
<br/>
Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i $\,2i\,$. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller de båda olikheterna ges av de punkter som samtidigt ligger inom cirkeln och bandet.
</li>
<br/>
<li>$\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|$
<br/>
<br/>
Ekvationen kan skrivas $\,|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|\,$. Man ser då att $\,z\,$ ska ligga på samma avstånd från $\,-1\,$ som från $\,2\,$. Detta villkor uppfylls av alla tal $\,z\,$ som har realdel $\,1/2\,$.
</li>
</ol>
<br/>
<br/>
<center>[[Bild:komplext-talplan-8.gif|||Området i deluppgift a]][[Bild:komplext-talplan-10.gif|||Området i deluppgift b]]</center>

</div>

==Polär form==
I stället för att ange ett komplext tal $\,z=x+iy\,$ i dess rektangulära koordinater $\,(x,y)\,$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $\,r\,$, till origo, samt den vinkel $\,\alpha\,$ som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).
[[Bild:komplext-talplan-11.gif||center|]]
Eftersom $\ \cos\alpha = x/r\ $ och $\ \sin\alpha = y/r\ $ så är $\ x = r\cos\alpha\ $ och $\ y= r\sin\alpha\,$. Talet $\,z=x+iy\,$ kan därför skrivas som
<div class="regel">$$z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}$$</div>
vilket kallas den <i>polära formen</i> av ett komplext tal $\,z\,$. Vinkeln $\,\alpha\,$ kallas <i>argumentet</i> för $\,z\,$ och skrivs
<div class="regel">$$\alpha=\arg z\,\mbox{.}$$</div>
Vinkeln $\,\alpha\,$ kan t.ex. bestämmas genom att lösa ekvationen $\,\tan\alpha=y/x\,$. Denna ekvation har dock flera lösningar, varför man måste se till att man väljer den lösning $\,\alpha\,$ som gör att $\,z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,$ hamnar i rätt kvadrant.

Argumentet till ett komplext tal är inte heller unikt bestämt eftersom vinklar som skiljer sig åt med $\,2\pi\,$ anger samma riktning i det komplexa talplanet. Normalt brukar man dock ange argumentet som en vinkel mellan 0 och $\,2\pi\,$ eller mellan $\,-\pi\,$ och $\,\pi\,$.

Det reella talet $\,r\,$, avståndet till origo, känner vi redan som beloppet av $\,z\,$,
<div class="regel">$$r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|$$</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<br/>
<br/>
Skriv följande komplexa tal i polär form:
<ol type="a">
<li>$\,\,-3$
<br/>
<br/>
Vi har att $\,|\,-3\,|=3\,$ och $\,\arg (-3)=\pi\,$, vilket betyder att $\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,i$
<br/>
<br/>
Vi har att $\,|\,i\,|=1\,$ och $\,\arg i = \pi/2\,$ så i polär form är $\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,1-i$
<br/>
<br/>
Formeln för beloppet av ett komplext tal ger att $\,|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,$. Det komplexa talet ligger i den fjärde kvadranten och bildar vinkeln $\,\pi/4\,$ med den positiva reella axeln, vilket ger att $\,\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4$. Alltså är $\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)\,$.
</li>
<br/>
<li>$\,2\sqrt{3}+2i$
<br/>
<br/>
Beloppet är enklast att räkna ut
$$|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}$$
Om vi kallar argumentet för $\,\alpha\,$ så uppfyller det sambandet
$$\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
och eftersom talet ligger i den första kvadranten (positiv real- och imaginärdel) så är $\,\alpha=\pi/6\,$ och vi har att
$$2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}$$
</li>
<br/>
</ol>
[[Bild:komplext-talplan-12.gif||center|]]

</div>

==Multiplikation och division i polär form==
Den stora fördelen med att ha komplexa tal skrivna i polär form är att multiplikation och division då blir väldigt enkla att utföra. För godtyckliga komplexa tal $\,z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)\,$ och $\,w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)\,$ kan man genom de trigonometriska additionsformlerna visa att
<div class="regel">
$$\eqalign{z\cdot w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}}$$
</div>
Vid multiplikation av komplexa tal <i>multipliceras</i> alltså beloppen, medan argumenten <i>adderas</i>.
Vid division av komplexa tal <i>divideras</i> beloppen och argumenten <i>subtraheras</i>. Detta kan kortfattat skrivas:
<div class="regel">
$$|\,z\cdot w\,|=|\,z\,|\cdot |\,w\,|\quad \mbox{och}\quad \arg(z\cdot w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}$$
$$\Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ och}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}$$
</div>
I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $\,z\,$ med $\,w\,$ att $\,z\,$ förlängs med faktorn $\,|\,w\,|\,$ och roteras moturs med vinkeln $\,\arg\,w\,$.
[[Bild:komplext-talplan-13.gif||center|]]

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
<br/>
<br/>
Beräkna följande uttryck och genom att skriva om på polär form:
<ol type="a">
<li> $\Bigl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)$
<br/>
<br/>
Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form
$$\eqalign{\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\cr \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)}$$
och då följer att
$$\eqalign{&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\displaystyle\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\displaystyle\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\cr &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\vphantom{\Biggr)^{\Bigl(}}}$$
</li>
<br/>
<li> $(-2-2i)(1+i)$
<br/>
<br/>
Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form
$$\eqalign{(-2-2i)&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\cr (1+i)&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$
Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att
$$\eqalign{(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\cr &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}}$$
</li>
<br/>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''
<br/>
<br/>
<ol type="a">
<li>Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\,$. Svara på polär form.
<br/>
<br/>
Eftersom $\ \displaystyle i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ $ så är
$$\eqalign{iz&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}}$$
</li>
<br/>
<li> Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,$. Svara på polär form.
<br/>
<br/>
Använder vi den polära formen av $\,i\,$ så fås att
$$\eqalign{iz&=3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) =3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\cr &=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$
</li>
<br/>
</ol>
Vi ser här att multiplikation med $\,i\,$ innebär en rotation $\,\pi/2\,$ moturs, medan division med $\,i\,$ medför en rotation $\,\pi/2\,$ medurs.
<center>[[Bild:komplext-talplan-14.gif|||Deluppgift a]][[Bild:komplext-talplan-15.gif|||Deluppgift b]]</center>

</div>