3.3 Potenser och rötter - Versionshistorik

KTH.SE:u1tyze7e: Flyttat andragradsekvationer från avsnitt 3.4 till 3.3

KTH.SE:u1tyze7e — Thu, 05 Jul 2007 08:46:11 GMT

Flyttat andragradsekvationer från avsnitt 3.4 till 3.3

← Äldre version		Versionen från 5 juli 2007 kl. 08.46
Rad 10:		Rad 10:
	* Kvadratkomplettering		* Kvadratkomplettering
	* Andragradsekvationer		* Andragradsekvationer
-
	}}		}}

Rad 23:		Rad 22:
	* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.		* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
	* Lösa komplexa andragradsekvationer.		* Lösa komplexa andragradsekvationer.
-
	}}		}}

Rad 229:		Rad 227:
	</div>		</div>

		+	==Kvadratkomplettering==
		+	Kvadreringsreglerna,
		+	$$\left\{\eqalign{(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2}\right.$$
		+	som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
		+	$$\eqalign{x^2+4x+4&=(x+2)^2\,\mbox{,}\cr x^2-10x+25&=(x-5)^2\,\mbox{.}}$$
		+	Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
		+	$$\eqalign{x^2+4x+4&=9\,\mbox{,}\cr (x+2)^2&=9\,\mbox{.}}$$
		+	Rotutdragning ger sedan att $\,x+2=\pm\sqrt{9}\,$ och därmed att $\,x=-2\pm 3\,$, dvs. $\,x=1\,$ eller $\,x=-5\,$.
		+
		+
		+	Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
		+	$$x^2+4x-5=0\,\mbox{.}$$
		+	Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
		+	$$\eqalign{x^2+4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2+4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$
		+	Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.
		+
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 10'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	<ol type="a">
		+	<li> Lös ekvationen $\ x^2-6x+7=2\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
		+	$$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\,\mbox{,}\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\,\mbox{,}\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4\,\mbox{.}}$$
		+	Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$.
		+	</li>
		+	<br/>
		+	<li> Lös ekvationen $\ z^2+21=4-8z\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
		+	$$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\,\mbox{,}\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\,\mbox{,}\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1\,\mbox{,}}$$
		+	och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$.
		+	</li>
		+	<br/>
		+	</ol>
		+
		+	</div>
		+
		+	Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
		+	Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
		+
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 11'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Lös ekvationen $\ \displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led
		+	$$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}\,\mbox{.}}$$
		+	Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$.
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 12'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Lös ekvationen $\ x^2+px+q=0\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Kvadratkomplettering ger
		+	$$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}}$$
		+	Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer
		+	$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 13'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Lös ekvationen $\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Halva koefficienten för $\,z\,$ är $\,-(6+2i)\,$ så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
		+	$$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$
		+	Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
		+	$$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\,\mbox{,}\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36\,\mbox{.}}$$
		+	Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$.
		+
		+	</div>
		+
		+	Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
		+	$$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}}$$
		+
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 14'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Kvadratkomplettera uttrycket $\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,$,
		+	$$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$
		+
		+	</div>
		+
		+	==Lösning med formel==
		+	Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+ib}\,$. Man kan då ansätta
		+	$$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$
		+	Genom att kvadrera båda led får vi att
		+	$$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}}$$
		+	Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
		+	$$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\cr &2xy=b\,\mbox{.}}\right.$$
		+	Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen.
		+
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 15'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Beräkna $\ \sqrt{-3-4i}\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger
		+	$$\eqalign{(x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}}$$
		+	vilket leder till ekvationssystemet
		+	$$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$
		+	Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut $\ y=-4/(2x) = -2/x\ $ och sätts detta in i den första ekvationen fås att
		+	$$x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}$$
		+	Denna ekvation är en andragradsekvation i $\,x^2\,$ vilket man ser lättare genom att sätta $\,t=x^2$
		+	$$t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}$$
		+	Lösningarna är $\,t = 1\,$ och $\,t = -4\,$. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom $x$ och $y$ är reella tal och då kan inte $\,x^2=-4\,$. Vi får att $\,x=\pm\sqrt{1}\,$, vilket ger oss två möjligheter
		+	* $\ x=-1\ $ som ger att $\ y=-2/(-1)=2\,$.
		+	* $\ x=1\ $ som ger att $\ y=-2/1=-2\,$.
		+
		+	Vi har alltså kommit fram till att
		+	$$\sqrt{-3-4i} = \Bigl\{\eqalign{&\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\cr &-1+2i\,\mbox{.}\cr}$$
		+
		+	</div>
		+
		+	<div class="exempel">
		+	'''Exempel 16'''
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Lös ekvationerna
		+	<ol type="a">
		+	<li> Lös ekvationen $\ z^2-2z+10=0\,$.
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
		+	$$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$
		+	</li>
		+	<br/>
		+	<li> Lös ekvationen $\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}$
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
		+	$$\eqalign{z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\cr &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}}$$
		+	</li>
		+	<br/>
		+	<li> Lös ekvationen $\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}$
		+	<br/>
		+	<br/>
		+	Division av båda led med $i$ ger att
		+	$$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$
		+	Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
		+	$$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$
		+	där vi använt det framräknade värdet på $\ \sqrt{-3-4i}\ $ från exempel 6. Lösningarna är alltså
		+	$$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$
		+	</li>
		+	</ol>
		+
		+	</div>

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

KTH.SE:u1tyze7e — Tue, 03 Jul 2007 14:19:06 GMT

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1rp004j: /* Exponentialform av komplexa tal */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 14:09:54 GMT

Exponentialform av komplexa tal

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 14.09
Rad 260:		Rad 260:
	$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger		$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger

-	$\cases{r^3 =1 \quad \rightarrow \quad r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$	+	$\cases{r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$

	$z_1 = e^0 = 1$		$z_1 = e^0 = 1$

KTH.SE:u1rp004j: /* Binomiska ekvationer */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:59:33 GMT

Binomiska ekvationer

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.59
Rad 152:		Rad 152:
	$z^4 = 16i \quad \rightarrow \quad r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$		$z^4 = 16i \quad \rightarrow \quad r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$

-	$\rightarrow \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \rightarrow \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \quad , \quad k=0,1,2,3}$	+	$\rightarrow \quad \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \quad \rightarrow \quad \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \quad , \quad k=0,1,2,3}$

KTH.SE:u1rp004j: /* Binomiska ekvationer */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:58:18 GMT

Binomiska ekvationer

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.58
Rad 148:		Rad 148:
	''Lösningen:''		''Lösningen:''

-	Sätt $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) \; , \; 16i= 16(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$.	+	Sätt $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha) \quad , \quad 16i= 16(\cos \displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$.

-	$z^4 = 16i \; \rightarrow \; r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$	+	$z^4 = 16i \quad \rightarrow \quad r^4(\cos 4\alpha + i \sin 4\alpha) = 16(\cos\displaystyle\frac{\pi}{2} + i\sin \displaystyle\frac{\pi}{2})$

-	$\rightarrow \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \rightarrow \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \, , \, k=0,1,2,3}$	+	$\rightarrow \cases {r^4=16 \cr 4\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\cdot 2\pi} \rightarrow \cases {r=\sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \cr \alpha = \displaystyle\frac{\pi}{8} + k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2} \quad , \quad k=0,1,2,3}$

KTH.SE:u1rp004j: /* Binomiska ekvationer */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:56:12 GMT

Binomiska ekvationer

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.56
Rad 130:		Rad 130:
	(Observera perioden $2\pi$ , eftersom $\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = \sin \theta$ och $\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = \cos \theta$ för alla heltal $k$)		(Observera perioden $2\pi$ , eftersom $\sin(\theta + k\cdot 2\pi) = \sin \theta$ och $\cos(\theta + k\cdot 2\pi) = \cos \theta$ för alla heltal $k$)

-	Man får då att $\quad \cases { r=\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|} \cr n\alpha= \displaystyle\frac{\theta}{n} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{n} \; , \; k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$	+	Man får då att $\quad \quad \quad \cases { r=\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|} \cr n\alpha= \displaystyle\frac{\theta}{n} + k \cdot \displaystyle\frac{2\pi}{n} \quad , \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots}$

KTH.SE:u1rp004j: /* Binomiska ekvationer */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:54:51 GMT

Binomiska ekvationer

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.54
Rad 115:		Rad 115:
	==Binomiska ekvationer==		==Binomiska ekvationer==
	Ett komplext tal $z$ kallas en $n$:te rot av det komplexa talet $w$ om		Ett komplext tal $z$ kallas en $n$:te rot av det komplexa talet $w$ om
		+	<div class="regel">
	$$z^n= w \mbox{.}$$		$$z^n= w \mbox{.}$$
		+	</div>

	En sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument.		En sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningen till en sådan ges av att skriva båda leden på polär form och jämföra belopp och argument.
Rad 121:		Rad 123:
	För ett givet tal $w=\|w\|(\cos \theta + i \sin \theta)$ ansätter man det sökta talet $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ och får $z^n = r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha)$. Den binomiska ekvationen blir		För ett givet tal $w=\|w\|(\cos \theta + i \sin \theta)$ ansätter man det sökta talet $z=r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ och får $z^n = r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha)$. Den binomiska ekvationen blir

-	<div class="regel">
	$$r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =\|w\|(\cos \theta + i \sin \theta)$$		$$r^n (\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =\|w\|(\cos \theta + i \sin \theta)$$
-	</div>

	För belopp och argument måste nu gälla:		För belopp och argument måste nu gälla:

KTH.SE:u1rp004j: /* De Moivres formel */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:53:23 GMT

De Moivres formel

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.53
Rad 109:		Rad 109:
	$= \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) } { 2^{12} (\cos \displaystyle\frac{29\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{29\pi}{6} ) } = 2^2 (\cos \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right)) =$		$= \displaystyle\frac{ 2^{14} (\cos \displaystyle\frac{14\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{14\pi}{6} ) } { 2^{12} (\cos \displaystyle\frac{29\pi}{6} + i \sin \displaystyle\frac{29\pi}{6} ) } = 2^2 (\cos \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ 15\pi}{6} \right)) =$

-	$= 4(\cos \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right) + i \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right)) = -4i $	+	$= 4(\cos \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right) + i \sin \left( - \displaystyle\frac{ \pi}{2} \right)) = -4i $

	</div>		</div>

KTH.SE:u1rp004j: /* Exponentialform av komplexa tal */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:49:03 GMT

Exponentialform av komplexa tal

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.49
Rad 253:		Rad 253:
	''Lösning''		''Lösning''

-	Om $z=a+bi$ har $\|z\|=r$ och $\arg z = \alpha$ så gäller att \overline{z}= a-bi$ har $\|\overline{z}\|=r$ och $\arg \overline{z} = - \alpha$.	+	Om $z=a+bi$ har $\|z\|=r$ och $\arg z = \alpha$ så gäller att $\overline{z}= a-bi$ har $\|\overline{z}\|=r$ och $\arg \overline{z} = - \alpha$.
	Då gäller att $z=re^{i\alpha}$ och $\overline{z} = re^{i\alpha}$ . Ekvationen kan därför skrivas		Då gäller att $z=re^{i\alpha}$ och $\overline{z} = re^{i\alpha}$ . Ekvationen kan därför skrivas

-	$\quad \quad \left(re^{i\alpha}\right)^2 = re^{-i\alpha}$, eller $r^2 e^{2i\alpha}$ , vilket är ekvivalent med	+	$\quad \quad \left(re^{i\alpha}\right)^2 = re^{-i\alpha}$, eller $r^2 e^{2i\alpha}= re^{-i\alpha}$ , vilket är ekvivalent med

	$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger		$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger

-	$\cases{r^3 \quad \rightarrow \quad r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2$	+	$\cases{r^3 =1 \quad \rightarrow \quad r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2}$

	$z_1 = e^0 = 1$		$z_1 = e^0 = 1$

-	$z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3} = \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$	+	$z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3} = - \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$

-	$z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{4\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{4\pi}{3} = \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$	+	$z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{4\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{4\pi}{3} = - \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$

	</div>		</div>

KTH.SE:u1rp004j: /* Exponentialform av komplexa tal */

KTH.SE:u1rp004j — Wed, 27 Jun 2007 13:45:30 GMT

Exponentialform av komplexa tal

← Äldre version		Versionen från 27 juni 2007 kl. 13.45
Rad 180:		Rad 180:

	etc.		etc.
-

	Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $f(x)= e^{kx}$ , vilket motiverar definitionen		Den enda reella funktion med dessa egenskaper är $f(x)= e^{kx}$ , vilket motiverar definitionen
Rad 205:		Rad 204:
	Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet		Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet

-	$$\left(e^{ia}\right)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{in\alpha}$$	+	$$\left(e^{i\alpha}\right)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{in\alpha}$$

	vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,		vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
Rad 249:		Rad 248:
	'''Exempel 9'''		'''Exempel 9'''

-	Lös ekvationen .	+	Lös ekvationen $z^2 = \overline{z}$ .
		+
		+
		+	''Lösning''
		+
		+	Om $z=a+bi$ har $\|z\|=r$ och $\arg z = \alpha$ så gäller att \overline{z}= a-bi$ har $\|\overline{z}\|=r$ och $\arg \overline{z} = - \alpha$.
		+	Då gäller att $z=re^{i\alpha}$ och $\overline{z} = re^{i\alpha}$ . Ekvationen kan därför skrivas
		+
		+	$\quad \quad \left(re^{i\alpha}\right)^2 = re^{-i\alpha}$, eller $r^2 e^{2i\alpha}$ , vilket är ekvivalent med
		+
		+	$\quad \quad re^{3i\alpha} = 1 \quad$, som ger
		+
		+	$\cases{r^3 \quad \rightarrow \quad r=1 \cr 3\alpha = 0 + k \cdot 2\pi \quad \rightarrow \quad \alpha = k \cdot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \; , \; k=0,1,2$
		+
		+	$z_1 = e^0 = 1$
		+
		+	$z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{2\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{2\pi}{3} = \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$

-	Lösning	+	$z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos \displaystyle \frac{4\pi}{3} + i \sin \displaystyle \frac{4\pi}{3} = \displaystyle \frac{1}{2} - \displaystyle \frac{\sqrt3}{2} i$
-	Om har och så gäller att har och .	+
-	Då gäller att och . Ekvationen kan därför skrivas	+
-	, eller , vilket är ekvivalent med	+
-	, som ger	+

	</div>		</div>