3.4 Komplexa polynom - Versionshistorik

KTH.SE:u1tyze7e: Flyttat andragradsekvationer från avsnitt 3.4 till 3.3

KTH.SE:u1tyze7e — Thu, 05 Jul 2007 08:51:59 GMT

Flyttat andragradsekvationer från avsnitt 3.4 till 3.3

← Äldre version		Versionen från 5 juli 2007 kl. 08.51
Rad 7:		Rad 7:
	* Polynomdivision		* Polynomdivision
	* Algebrans fundamentalsats		* Algebrans fundamentalsats
-
	}}		}}

Rad 19:		Rad 18:
	* Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).		* Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).
	* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.		* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
-
	}}		}}

Rad 32:		Rad 30:
	<tr><td width=600>		<tr><td width=600>
	<!-- huvudtexten -->		<!-- huvudtexten -->
-
-	==Kvadratkomplettering==
-	Kvadreringsreglerna,
-	$$\left\{\eqalign{(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2}\right.$$
-	som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
-	$$\eqalign{x^2+4x+4&=(x+2)^2\,\mbox{,}\cr x^2-10x+25&=(x-5)^2\,\mbox{.}}$$
-	Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
-	$$\eqalign{x^2+4x+4&=9\,\mbox{,}\cr (x+2)^2&=9\,\mbox{.}}$$
-	Rotutdragning ger sedan att $\,x+2=\pm\sqrt{9}\,$ och därmed att $\,x=-2\pm 3\,$, dvs. $\,x=1\,$ eller $\,x=-5\,$.
-
-
-	Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
-	$$x^2+4x-5=0\,\mbox{.}$$
-	Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
-	$$\eqalign{x^2+4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2+4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$
-	Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.
-
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 1'''
-	<br/>
-	<br/>
-	<ol type="a">
-	<li> Lös ekvationen $\ x^2-6x+7=2\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$ som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
-	$$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\,\mbox{,}\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\,\mbox{,}\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4\,\mbox{.}}$$
-	Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$.
-	</li>
-	<br/>
-	<li> Lös ekvationen $\ z^2+21=4-8z\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
-	$$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\,\mbox{,}\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\,\mbox{,}\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1\,\mbox{,}}$$
-	och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$.
-	</li>
-	<br/>
-	</ol>
-
-	</div>
-
-	Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
-	Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
-
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 2'''
-	<br/>
-	<br/>
-	Lös ekvationen $\ \displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led
-	$$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}\,\mbox{.}}$$
-	Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$.
-
-	</div>
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 3'''
-	<br/>
-	<br/>
-	Lös ekvationen $\ x^2+px+q=0\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Kvadratkomplettering ger
-	$$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}}$$
-	Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer
-	$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$
-
-	</div>
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 4'''
-	<br/>
-	<br/>
-	Lös ekvationen $\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Halva koefficienten för $\,z\,$ är $\,-(6+2i)\,$ så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
-	$$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$
-	Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
-	$$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\,\mbox{,}\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36\,\mbox{.}}$$
-	Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$.
-
-	</div>
-
-	Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
-	$$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}}$$
-
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 5'''
-	<br/>
-	<br/>
-	Kvadratkomplettera uttrycket $\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,$,
-	$$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$
-
-	</div>
-
-	==Lösning med formel==
-	Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+ib}\,$. Man kan då ansätta
-	$$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$
-	Genom att kvadrera båda led får vi att
-	$$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}}$$
-	Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
-	$$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\cr &2xy=b\,\mbox{.}}\right.$$
-	Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen.
-
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 6'''
-	<br/>
-	<br/>
-	Beräkna $\ \sqrt{-3-4i}\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger
-	$$\eqalign{(x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}}$$
-	vilket leder till ekvationssystemet
-	$$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$
-	Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut $\ y=-4/(2x) = -2/x\ $ och sätts detta in i den första ekvationen fås att
-	$$x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}$$
-	Denna ekvation är en andragradsekvation i $\,x^2\,$ vilket man ser lättare genom att sätta $\,t=x^2$
-	$$t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}$$
-	Lösningarna är $\,t = 1\,$ och $\,t = -4\,$. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom $x$ och $y$ är reella tal och då kan inte $\,x^2=-4\,$. Vi får att $\,x=\pm\sqrt{1}\,$, vilket ger oss två möjligheter
-	* $\ x=-1\ $ som ger att $\ y=-2/(-1)=2\,$.
-	* $\ x=1\ $ som ger att $\ y=-2/1=-2\,$.
-
-	Vi har alltså kommit fram till att
-	$$\sqrt{-3-4i} = \Bigl\{\eqalign{&\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\cr &-1+2i\,\mbox{.}\cr}$$
-
-	</div>
-
-	<div class="exempel">
-	'''Exempel 7'''
-	<br/>
-	<br/>
-	Lös ekvationerna
-	<ol type="a">
-	<li> Lös ekvationen $\ z^2-2z+10=0\,$.
-	<br/>
-	<br/>
-	Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
-	$$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$
-	</li>
-	<br/>
-	<li> Lös ekvationen $\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}$
-	<br/>
-	<br/>
-	Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
-	$$\eqalign{z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\cr &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}}$$
-	</li>
-	<br/>
-	<li> Lös ekvationen $\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}$
-	<br/>
-	<br/>
-	Division av båda led med $i$ ger att
-	$$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$
-	Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
-	$$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$
-	där vi använt det framräknade värdet på $\ \sqrt{-3-4i}\ $ från exempel 6. Lösningarna är alltså
-	$$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$
-	</li>
-	</ol>
-
-	</div>

	==Polynom och ekvationer==		==Polynom och ekvationer==
Rad 216:		Rad 42:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 8'''	+	'''Exempel 1'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Rad 254:		Rad 80:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 9'''	+	'''Exempel 2'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Rad 290:		Rad 116:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 10'''	+	'''Exempel 3'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Rad 300:		Rad 126:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 11'''	+	'''Exempel 4'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Rad 333:		Rad 159:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 12'''	+	'''Exempel 5'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Rad 363:		Rad 189:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 13'''	+	'''Exempel 6'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
Rad 387:		Rad 213:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 14'''	+	'''Exempel 7'''
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst

KTH.SE:u1tyze7e — Thu, 05 Jul 2007 08:41:02 GMT

Korrekturläst

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1tyze7e: Korrekturläst (delvis)

KTH.SE:u1tyze7e — Wed, 04 Jul 2007 14:40:03 GMT

Korrekturläst (delvis)

(Skillnad mellan versioner)

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 09:30:59 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 09.30
Rad 382:		Rad 382:

	<i>Lösning</i>:<br\>		<i>Lösning</i>:<br\>
-	$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$<br\>	+	$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$
		+
	$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=$		$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=$


-	$\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]$	+	$\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \qquad \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]$

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 09:19:33 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 09.19
Rad 377:		Rad 377:
	'''Exempel 14'''<br\>		'''Exempel 14'''<br\>
	Visa att polynomet $p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5$ har nollställena $x = i$ och $x = 2 - i$ .		Visa att polynomet $p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5$ har nollställena $x = i$ och $x = 2 - i$ .
		+
	Bestäm därefter övriga nollställen.		Bestäm därefter övriga nollställen.

Rad 383:		Rad 384:
	$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$<br\>		$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$<br\>
	$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=$		$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=$
		+

	$\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]$		$\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]$
		+

	$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$		$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 09:17:35 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 09.17
Rad 382:		Rad 382:
	<i>Lösning</i>:<br\>		<i>Lösning</i>:<br\>
	$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$<br\>		$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$<br\>
-	$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=	+	$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=$

-	\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]	+	$\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]$

	$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$		$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 09:15:53 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 09.15
Rad 376:		Rad 376:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 14'''<br\>		'''Exempel 14'''<br\>
-	Lös ekvationerna	+	Visa att polynomet $p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5$ har nollställena $x = i$ och $x = 2 - i$ .
-	<ol type="a">	+	Bestäm därefter övriga nollställen.
-	<li> $z^2-2z+10=0$</li>	+
-	<li> $z^2 + (4-2i)z -4i=0$</li>	+
-	<li> $iz^2+(2+6i)z+2+11i=0$</li>	+
-	</ol>	+


	<i>Lösning</i>:<br\>		<i>Lösning</i>:<br\>
-	$\qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + x^2 -x +4 = (x^2 -x + 1)(x+2) + 2$<br\>	+	$p(i)= i^4- 4i^3 -6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0$<br\>
-	</div>	+	$p(2-i) = (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5=
-	Exempel	+
-	Visa att polynomet har nollställena x = i och x = 2  i .	+
-	Bestäm därefter övriga nollställen.	+

-	Lösning:	+	\left[\matrix{(2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 3-4i \\ (2-i)^3=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i \\ (2-i)^4= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i}\right]
-		+

-	är av grad 4 med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till x = i och x = 2  i , dvs. x = i och x = 2 + i.	+	$=-7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5 = -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0$
		+
		+
		+	$p(x)$ är av grad $4$ med reella koefficienter. Övriga nollställen är därför konjugaten till $x = i$ och $x = 2 - i$ , dvs. $x = -i $ och $x = 2 + i$.
		+	</div>

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 09:01:42 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 09.01
Rad 348:		Rad 348:
	:- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter.		:- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter.
	:- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. varandras komplexa konjugat.		:- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. varandras komplexa konjugat.
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 13'''<br\>		'''Exempel 13'''<br\>
	Visa att $x = 1$ är ett nollställe till $p(x)= x^3+x^2-2$. Faktorisera därefter $p(x)$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.		Visa att $x = 1$ är ett nollställe till $p(x)= x^3+x^2-2$. Faktorisera därefter $p(x)$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
		+

	<i>Lösning</i>:<br\>		<i>Lösning</i>:<br\>
	$p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0 \quad \rightarrow \quad (x-1)$ är en faktor i $p(x) \quad \rightarrow \quad p(x)$ är delbart med $(x-1)$.		$p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0 \quad \rightarrow \quad (x-1)$ är en faktor i $p(x) \quad \rightarrow \quad p(x)$ är delbart med $(x-1)$.
		+

	$\displaystyle\frac{x^3+x^2-2}{x-1} = \displaystyle\frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2x-2}{x-1}=$		$\displaystyle\frac{x^3+x^2-2}{x-1} = \displaystyle\frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2x-2}{x-1}=$

	$= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2$		$= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2$
		+

	$p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)$		$p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)$
		+

	Återstår att faktorisera $x^2+2x+2$ . Ekvationen $x^2+2x+2=0$ har lösningarna <br\>		Återstår att faktorisera $x^2+2x+2$ . Ekvationen $x^2+2x+2=0$ har lösningarna <br\>
		+
	$x=-1\pm \sqrt{(-1)^2 -2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$ (saknar alltså reella nollställen)<br\>		$x=-1\pm \sqrt{(-1)^2 -2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$ (saknar alltså reella nollställen)<br\>
		+
	$x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$		$x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$
	</div>		</div>

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 08:59:00 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 08.59
Rad 341:		Rad 341:
	Varje polynom av grad $n\ge1$ har exakt $n$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet'' *.		Varje polynom av grad $n\ge1$ har exakt $n$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet'' *.
	</div>		</div>
-
	( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)		( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)
		+

	Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att		Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att

-	::- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella	+	:- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella koefficienter.
-	koefficienter.	+	:- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs. varandras komplexa konjugat.
-	::- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs.	+
-	varandras komplexa konjugat.	+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

KTH.SE:u1rp004j: /* Algebrans fundamentalsats */

KTH.SE:u1rp004j — Tue, 03 Jul 2007 08:57:50 GMT

Algebrans fundamentalsats

← Äldre version		Versionen från 3 juli 2007 kl. 08.57
Rad 330:		Rad 330:

	==Algebrans fundamentalsats==		==Algebrans fundamentalsats==
-	Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i algebrans fundamentalsats, som bevisades av Gauss 1799:	+	Införandet av de komplexa talen innebär att varje polynomekvation har en lösning. Detta är innehållet i ''algebrans fundamentalsats'', som bevisades av Gauss 1799:

-	Varje polynom av grad har minst ett nollställe bland de komplexa talen.	+	<div class="regel">
		+	Varje polynom av grad $n\ge1$ har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
		+	</div>

	Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:		Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

-	Varje polynom av grad har exakt n stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet *.	+	<div class="regel">
		+	Varje polynom av grad $n\ge1$ har exakt $n$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet'' *.
		+	</div>

	( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)		( *Ett dubbelt nollställe räknas 2 ggr, trippelnollställe 3 ggr, etc.)
Rad 342:		Rad 346:
	Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att		Om man håller sig till polynom med reella koefficienter så kan man dessutom visa att

-	- varje polynom av grad kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella	+	::- varje polynom av grad $\ge2$ kan faktoriseras i första- eller andragradsfaktorer med reella
	koefficienter.		koefficienter.
-	- om ett polynom av grad 2 saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs.	+	::- om ett polynom av grad $2$ saknar reellt nollställe så är nollställena konjugerade, dvs.
	varandras komplexa konjugat.		varandras komplexa konjugat.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 13'''<br\>		'''Exempel 13'''<br\>
-	Lös ekvationerna	+	Visa att $x = 1$ är ett nollställe till $p(x)= x^3+x^2-2$. Faktorisera därefter $p(x)$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
-	<ol type="a">	+
-	<li> $z^2-2z+10=0$</li>	+
-	<li> $z^2 + (4-2i)z -4i=0$</li>	+
-	<li> $iz^2+(2+6i)z+2+11i=0$</li>	+
-	</ol>	+
-		+

	<i>Lösning</i>:<br\>		<i>Lösning</i>:<br\>
-	$\qquad\qquad\qquad\qquad x^3 + x^2 -x +4 = (x^2 -x + 1)(x+2) + 2$<br\>	+	$p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0 \quad \rightarrow \quad (x-1)$ är en faktor i $p(x) \quad \rightarrow \quad p(x)$ är delbart med $(x-1)$.
-	</div>	+
-	Exempel	+
-	Visa att x = 1 är ett nollställe till . Faktorisera därefter i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.	+

-	Lösning:	+	$\displaystyle\frac{x^3+x^2-2}{x-1} = \displaystyle\frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \displaystyle\frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2x-2}{x-1}=$
-	är en faktor i är delbart med (x  1).	+

		+	$= x^2 + 2x + \displaystyle\frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2$
		+
		+	$p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)$

-	Återstår att faktorisera . Ekvationen har lösningarna	+	Återstår att faktorisera $x^2+2x+2$ . Ekvationen $x^2+2x+2=0$ har lösningarna <br\>
-	(saknar alltså reella nollställen)	+	$x=-1\pm \sqrt{(-1)^2 -2} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$ (saknar alltså reella nollställen)<br\>
-		+	$x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) = (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)$
		+	</div>
		+
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Exempel 14'''<br\>		'''Exempel 14'''<br\>