1.1. Inledning till derivata

Exempel 1

De linjära funktionerna $\,f(x)=x\,$ respektive $\,g(x)=-2x\,$ förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är $\,1\,$ resp. $\,−2\,$, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.

För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.

Exempel 2

För funktionen $\,f(x)=4x-x^2\,$ är $\,f(1)=3\,$, $\,f(2)=4\,$ och $\,f(4)=0\,$.

1. Medelförändringen (medellutningen) från $\,x = 1\,$ till $\,x = 2\,$ är $$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}$$ och funktionen ökar i detta intervall.
   
   
2. Medelförändringen från $\,x = 2\,$ till $\,x = 4\,$ är $$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}$$ och funktionen avtar i detta intervall.
   
   
3. Mellan $\,x = 1\,$ och $\,x = 4\,$ är medelförändringen $$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}= \frac{0-3}{3}=-1\,\mbox{.}$$ I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.
   
   

Exempel 3

1. $f(2)=3\ $ betyder att funktionens värde är $\,3\,$ när $\,x=2\,$.
   
   
2. $f^{\,\prime}(2)=3\ $ betyder att derivatans värde är $\,3\,$ när $\,x=2\,$, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen $\,3\,$ när $\,x=2\,$.

Exempel 4

I figuren kan man utläsa att

Notera betydelsen av $\,f(x)\,$ respektive $\,f^{\,\prime}(x)\,$.

Exempel 5

Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där $\,T(t)\,$ är temperaturen i termosen efter $\,t\,$ minuter. Skriv följande med matematiska symboler:

1. Efter 10 minuter är temperaturen 80°.
   
   $T(10)=80$
   
   
2. Efter 2 minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.
   
   $T'(2)=-3\,$ (funktionen är avtagande, varför derivatan är negativ)
   
   

Exempel 6

Funktionen $\,f(x)=|x|\,$ saknar derivata då $\,x=0\,$. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten $\,(0,0)\,$ (se figuren nedan).

Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "$\,f^{\,\prime}(0)\,$ existerar inte" , "$\,f^{\,\prime}(0)\,$ är ej definerad" eller "$\,f(x)\,$ är inte deriverbar i $\,x=0\,$".

Exempel 7

Om $\,f(x)=x^2\,$ så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}$$

Om vi sedan låter $\,h\,$ gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir $\,2x\,$. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan $\,y=x^2\,$ är $\,2x\,$, dvs. derivatan av $\,x^2\,$ är $\,2x\,$.

Exempel 8

1. $D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 6x^2 - 4 + 0 - \cos x\,$.
   
   
2. $ y= 3 \ln x + 2e^x \quad$ ger att $\quad\displaystyle y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,$.
   
   
3. $\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl({\textstyle\frac{3}{5}}x^2 - {\textstyle\frac{1}{2}}x^3\bigr)= {\textstyle\frac{3}{5}}\cdot 2x - {\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 3x^2= {\textstyle\frac{6}{5}}x - {\textstyle\frac{3}{2}}x^2\,$.
   
   
4. $\displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad$ ger att $\quad\displaystyle s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,$.

Exempel 9

1. $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad$ ger att $\quad\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,$.
   
   
2. $\displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot x^{-2} \quad$ ger att $\quad\displaystyle f^{\,\prime}(x) = {\textstyle\frac{1}{3}}\cdot(-2)x^{-3} = -\frac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,$.
   
   
3. $\displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad$ ger att $\quad\displaystyle g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,$.
   
   
4. $\displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}$
   $\qquad\quad$ ger att $\quad\displaystyle y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,$.

Exempel 10

Funktionen $\,f(x)=x^2 + x^{-2}\,$ har derivatan $$f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}$$ Detta betyder exempelvis att $\,f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}\,$ och att $\,f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0\,$. Däremot är derivatan $\,f'(0)\,$ inte definierad.

Exempel 11

Ett föremål rör sig enligt $\,s(t) = t^3 -4t^2 +5t\,$, där $\,s(t)\,$ km är avståndet från startpunkten efter $\,t\,$ timmar. Beräkna $\,s'(3)\,$ och förklara vad värdet står för.

Tidsderivatan ges av $$s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}$$ Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h.

Exempel 12

Totalkostnaden $\,T\,$ kr för tillverkning av $\,x\,$ gummidräkter ges av funktionen $$ T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}$$ Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.

1. $T(120)$
   
   $T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,$.
   Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.
   
   
2. $T'(120)$
   
   Derivatan ges av $\,T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x\,$ och därför är $\,T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348\,$.
   Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.
   
   

Exempel 13

Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan $\,y=x^2 + 1\,$ i punkten $\,(1,2)\,$.

Vi skriver tangentens ekvation som $\,y = kx + m\,$. Eftersom den ska tangera kurvan i $\,x=1\,$ har vi att $\,k= y'(1)\,$, dvs.

$\qquad y' = 2x\,,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2\,$.

Tangentlinjen ska också passerar genom punkten $\,(1,2)\,$ och därför måste $\,(1,2)\,$ uppfylla tangentens ekvation

$\qquad 2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = 0\,$.

Tangentens ekvation är alltså $\,y=2x\,$.

Riktningskoefficienten för normalen är $\displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}$ .

Vidare går normalen också genom punkten $\,(1, 2)\,$ , dvs.

$\qquad\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}\,$.

Normalen har ekvationen $\,\displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}\,$.

Exempel 14

Kurvan $\,y = 2 \, e^x - 3x\,$ har en tangent vars riktningskoefficient är $\,–1\,$. Bestäm tangeringspunkten.

Derivatan av högerledet är $\,y' = 2 \, e^x -3\,$ och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med $\,-1\,$, dvs. $\,y' = -1\,$, och detta ger oss ekvationen $$2 \, e^x - 3=-1 $$ som har lösningen $\,x=0\,$. I punkten $\,x=0\,$ har kurvan $\,y\,$-värdet $\,y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2\,$ och därmed är tangeringspunkten $\,(0,2)\,$.