3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Faktorsatsen
Polynomdivision
Algebrans fundamentalsats

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Utföra polynomdivision.
Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
Veta att en polynomekvation av grad n har n rötter (räknade med multiplicitet).
Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.

Övningar

[redigera] Polynom och ekvationer

Ett uttryck på formen $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0$$

där $\,n\,$ är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad $\,n\,$ i en obestämd variabel $\,x\,$. Talet $\,a_1\,$ kallas koefficienten för $\,x\,$, $\,a_2\,$ koefficienten för $\,x^2\,$, etc. Konstanten $\,a_0\,$ kallas konstanttermen.

Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.

Exempel 1

Jämför följande heltal skrivet i basen 10, $$1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3$$ med ett polynom i $\,x\,$ $$x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3$$ och sedan följande divisioner,

$\quad\displaystyle\frac{1353}{11} = 123 \qquad$ eftersom $\ 1353= 123\cdot 11\,$,

$\quad\displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad$ eftersom $\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,$.

Om $\,p(x)\,$ är ett polynom av grad $\,n\,$ så kallas $\,p(x)=0\,$ en polynomekvation av grad $\,n\,$. Om $\,x=a\,$ är ett tal sådant att $\,p(a)=0\,$ så kallas $\,x=a\,$ en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$.

Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. $\,37\,$ divideras med $\,5\,$, får man $$\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}$$ Uträkningen kan även skrivas $\ 37= 7\cdot 5+2\,$. Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.

Om $\,p(x)\,$ och $\,q(x)\,$ är polynom så kan man på liknande sätt dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$ och entydigt bestämma polynom $\,k(x)\,$ och $\,r(x)\,$ så att $$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}$$ eller $\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,$. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten $\,k(x)\,$ och resten $\,r(x)\,$.

Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om $\,r(x)=0\,$ så är $\,p(x)\,$ delbart med $\,q(x)\,$, eller, $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$. Man skriver $$\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}$$ eller $\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,$.

[redigera] Polynomdivision

Om $\,p(x)\,$ är ett polynom med högre grad än polynomet $\,q(x)\,$ så kan man dividera $\,p(x)\,$ med $\,q(x)\,$. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multiplar av $\,q(x)\,$ från $\,p(x)\,$ tills den återstående täljaren har lägre grad än $\,q(x)\,$ i nämnaren.

Exempel 2

Utför polynomdivisionen $\ \displaystyle\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,$.

Det första steget är att vi lägger till och drar ifrån en lämplig $\,x^2\,$-term i täljaren $$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$ Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket $\,x^3+2x^2\,$ skrivas som $\,x^2(x+2)\,$ och förkortas med nämnaren $$\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}$$ Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig $\,x\,$-term så att den ledande $\,x^2\,$-termen i täljaren kan förkortas bort $$\eqalign{x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\cr &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}}$$ Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant $$x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ Alltså gäller att $$\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}$$ Kvoten är $\,x^2 -x + 1\,$ och resten är $\,2\,$. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. $\,q(x)= x+2\,$ är inte en delare till $\,p(x)=x^3 + x^2 -x +4\,$.

[redigera] Samband mellan faktorer och nollställen

Om $\,q(x)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så gäller alltså att $\,p(x)=k(x)\cdot q(x)\,$. Vi har därmed faktoriserat $\,p(x)\,$ . Man säger att $\,q(x)\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet $\,(x-a)\,$ är en delare till $\,p(x)\,$ så är $\,(x-a)\,$ en faktor i $\,p(x)\,$ , dvs. $$p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}$$ Eftersom $\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ $ så betyder detta att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$. Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen.

Faktorsatsen
$(x-a)\,$ är en delare till polynomet $\,p(x)\,$ om och endast om $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$.

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att $\,x=a\,$ är ett nollställe till $\,p(x)\,$ så vet man automatiskt att $\,p(x)\,$ är delbart med $\,(x-a)\,$.

Exempel 3

Polynomet $\,p(x) = x^2-6x+8\,$ kan faktoriseras som $$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$ och har därför nollställena $\,x=2\,$ och $\,x=4\,$ (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen $\ x^2-6x+8 = 0\,$.

Exempel 4

Faktorisera polynomet $\ x^2-3x-10\,$.

Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen $\ x^2-3x-10=0\ $ har lösningarna $$x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}$$ dvs. $\,x=-2\,$ och $\,x=5\,$. Detta betyder att $\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,$.

Faktorisera polynomet $\ x^2+6x+9\,$.

Detta polynom har en dubbelrot $$x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3$$ och därmed är $\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,$.

Faktorisera polynomet $\ x^2 -4x+5\,$.

I detta fall har polynomet två komplexa rötter $$x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i$$ och faktoriseringen blir $\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,$.

Exempel 5

Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena $\,1\,$ , $\,-1\,$ och $\,3\,$.

Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna $\,(x-1)\,$, $\,(x+1)\,$ och $\,(x-3)\,$. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom $$(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}$$

[redigera] Algebrans fundamentalsats

Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen $\,x^2=-1\,$ och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 algebrans fundamentalsats som säger följande:

Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

Varje polynom av grad $\,n\ge1\,$ har exakt $\,n\,$ stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet.

(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)

Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.

Exempel 6

Visa att polynomet $\,p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5\,$ har nollställena $\,x=i\,$ och $\,x = 2-i\,$. Bestäm därefter övriga nollställen.

Vi har att $$\eqalign{p(i)&=i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\cr p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}}$$ För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma $$\eqalign{(2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\cr (2-i)^3&=(3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\cr (2-i)^4&= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}}$$ Detta ger att $$\eqalign{p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\cr &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}}$$ vilket visar att $\,i\,$ och $\,2-i\,$ är nollställen till polynomet.

Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är $\,z=-i\,$ och $\,z=2+i\,$.

En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.

Exempel 7

Visa att $\,x=1\,$ är ett nollställe till $\,p(x)= x^3+x^2-2\,$. Faktorisera därefter $\,p(x)\,$ i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.

Vi har att $\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ $ vilket visar att $\,x=1\,$ är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att $\,x-1\,$ är en faktor i $\,p(x)\,$, dvs. att $\,p(x)\,$ är delbar med $\,x-1\,$. Vi delar därför polynomet med $\,x-1\,$ för att få återstående faktor om $\,x-1\,$ bryts ut ur polynomet $$\eqalign{\frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\cr &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}}$$ Alltså har vi att $\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,$.

Nu återstår att faktorisera $\,x^2+2x+2\,$. Ekvationen $\,x^2+2x+2=0\,$ har lösningarna $$x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i$$ och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer $$\eqalign{x^3+x^2-2= (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\cr &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}}$$

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.4_Komplexa_polynom

3.4 Komplexa polynom

Sommarmatte 2

Nuvarande version

[redigera] Polynom och ekvationer

[redigera] Polynomdivision

[redigera] Samband mellan faktorer och nollställen

[redigera] Algebrans fundamentalsats

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 * Polynomdivision
 * Algebrans fundamentalsats
 }}
 * Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).
 * Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
 }}
 <tr><td width=600>
 <!-- huvudtexten -->
-==Kvadratkomplettering==
-Kvadreringsreglerna,
-$$\left\{\eqalign{(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2}\right.$$
-som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
-$$\eqalign{x^2+4x+4&=(x+2)^2\,\mbox{,}\cr x^2-10x+25&=(x-5)^2\,\mbox{.}}$$
-Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
-$$\eqalign{x^2+4x+4&=9\,\mbox{,}\cr (x+2)^2&=9\,\mbox{.}}$$
-Rotutdragning ger sedan att $\,x+2=\pm\sqrt{9}\,$ och därmed att $\,x=-2\pm 3\,$, dvs. $\,x=1\,$ eller $\,x=-5\,$.
-Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
-$$x^2+4x-5=0\,\mbox{.}$$
-Genom att addera $\,9\,$ till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
-$$\eqalign{x^2+4x-5+9&=0+9\,\mbox{,}\cr x^2+4x+4\phantom{{}+9}&=9\,\mbox{.}}$$
-Metoden kallas <i>kvadratkomplettering</i>.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 1'''
-<br/>
-<br/>
-<ol type="a">
-<li> Lös ekvationen $\ x^2-6x+7=2\,$.
-<br/>
-<br/>
-Koefficienten framför $\,x\,$ är $\,-6\,$ och det visar att vi måste ha talet $\,(-3)^2=9\,$  som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till $\,2\,$ på båda sidor åstadkommer vi detta:
-$$\eqalign{x^2-6x+7+2&=2+2\,\mbox{,}\cr x^2-6x+9\phantom{{}+2}&=4\,\mbox{,}\cr \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{}&=4\,\mbox{.}}$$
-Rotutdragning ger sedan att $\,x-3=\pm 2\,$, vilket betyder att $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$.
-</li>
-<br/>
-<li> Lös ekvationen $\ z^2+21=4-8z\,$.
-<br/>
-<br/>
-Ekvationen kan skrivas $\,z^2+8z+17=0\,$. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
-$$\eqalign{z^2+8z+17-1&=0-1\,\mbox{,}\cr z^2+8z+16\phantom{{}-1}&=-1\,\mbox{,}\cr \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{}&=-1\,\mbox{,}}$$
-och därför är $\,z+4=\pm\sqrt{-1}\,$. Med andra ord är lösningarna $\,z=-4-i\,$ och $\,z=-4+i\,$.
-</li>
-<br/>
-</ol>
-</div>
-Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för $x$" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas.
-Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 2'''
-<br/>
-<br/>
-Lös ekvationen  $\ \displaystyle x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,$.
-<br/>
-<br/>
-Halva koefficienten för $\,x\,$ är $\,-\frac{4}{3}\,$. Vi lägger alltså till $\,\bigl(-\frac{4}{3}\bigr)^2=\frac{16}{9}\,$ i båda led
-$$\eqalign{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1&=2+{\textstyle\frac{16}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}}{}+1&={\textstyle\frac{34}{9}}\,\mbox{,}\cr \rlap{\bigl(x-{\textstyle\frac{4}{3}}\bigr)^2}\phantom{x^2-{\textstyle\frac{8}{3}}x+{\textstyle\frac{16}{9}}+1}&={\textstyle\frac{25}{9}}\,\mbox{.}}$$
-Nu är det enkelt att få fram att $\,x-\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}\,$ och därmed att $\,x=\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}\,$, dvs. $\,x=-\frac{1}{3}\,$ och $\,x=3\,$.
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 3'''
-<br/>
-<br/>
-Lös ekvationen $\ x^2+px+q=0\,$.
-<br/>
-<br/>
-Kvadratkomplettering ger
-$$\eqalign{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\cr \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\cr \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{}&=\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}}$$
-Detta ger den vanliga formeln, <i>pq-formeln</i>, för lösningar till andragradsekvationer
-$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}$$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 4'''
-<br/>
-<br/>
-Lös ekvationen $\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,$.
-<br/>
-<br/>
-Halva koefficienten för $\,z\,$ är $\,-(6+2i)\,$ så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
-$$z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}$$
-Räknar vi ut kvadraten $\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ $ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
-$$\eqalign{(z-(6+2i))^2-4+24i&=32+24i\,\mbox{,}\cr \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{}&=36\,\mbox{.}}$$
-Efter en rotutdragning har vi att $\ z-(6+2i)=\pm 6\ $ och därmed är lösningarna $\,z=12+2i\,$ och $\,z=2i\,$.
-</div>
-Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
-$$\eqalign{x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\cr &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}}$$
-<div class="exempel">
-'''Exempel 5'''
-<br/>
-<br/>
-Kvadratkomplettera uttrycket $\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,$.
-<br/>
-<br/>
-Lägg till och dra ifrån termen $\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,$,
-$$\eqalign{z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\cr &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}}$$
-</div>
-==Lösning med formel==
-Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen $\,\sqrt{a+ib}\,$. Man kan då ansätta
-$$z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}$$
-Genom att kvadrera båda led får vi att
-$$\eqalign{(x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}}$$
-Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
-$$\left\{\eqalign{&x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\cr &2xy=b\,\mbox{.}}\right.$$
-Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. $\,y= b/(2x)\,$ som kan sättas in i den första ekvationen.
-<div class="exempel">
-'''Exempel 6'''
-<br/>
-<br/>
-Beräkna $\ \sqrt{-3-4i}\,$.
-<br/>
-<br/>
-Sätt $\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ $ där $\,x\,$ och $\,y\,$ är reella tal. Kvadrering av båda led ger
-$$\eqalign{(x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\cr x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}}$$
-vilket leder till ekvationssystemet
-$$\Bigl\{\eqalign{x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\cr 2xy&= -4\,\mbox{.}}$$
-Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut $\ y=-4/(2x) = -2/x\ $ och sätts detta in i den första ekvationen fås att
-$$x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}$$
-Denna ekvation är en andragradsekvation i $\,x^2\,$ vilket man ser lättare genom att sätta $\,t=x^2$
-$$t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}$$
-Lösningarna är $\,t = 1\,$ och $\,t = -4\,$. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom  $x$ och $y$ är reella tal och då kan inte $\,x^2=-4\,$. Vi får att $\,x=\pm\sqrt{1}\,$, vilket ger oss två möjligheter
-* $\ x=-1\ $ som ger att $\ y=-2/(-1)=2\,$.
-* $\ x=1\ $ som ger att $\ y=-2/1=-2\,$.
-Vi har alltså kommit fram till att
-$$\sqrt{-3-4i} = \Bigl\{\eqalign{&\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\cr &-1+2i\,\mbox{.}\cr}$$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 7'''
-<br/>
-<br/>
-Lös ekvationerna
-<ol type="a">
-<li> Lös ekvationen $\ z^2-2z+10=0\,$.
-<br/>
-<br/>
-Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
-$$z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}$$
-</li>
-<br/>
-<li> Lös ekvationen $\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}$
-<br/>
-<br/>
-Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
-$$\eqalign{z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\cr &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}}$$
-</li>
-<br/>
-<li> Lös ekvationen $\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}$
-<br/>
-<br/>
-Division av båda led med $i$ ger att
-$$\eqalign{z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\cr z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}}$$
-Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
-$$\eqalign{z&=-3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\cr z&=-3+i \pm \sqrt{-3-4i}\cr z&= -3+i\pm(1-2i)}$$
-där vi använt det framräknade värdet på $\ \sqrt{-3-4i}\ $ från exempel 6. Lösningarna är alltså
-$$z=\biggl\{\eqalign{&-2-i\,\mbox{,}\cr &-4+3i\,\mbox{.}}$$
-</li>
-</ol>
-</div>
 ==Polynom och ekvationer==
 <div class="exempel">
-'''Exempel 8'''
+'''Exempel 1'''
 <br/>
 <br/>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 9'''
+'''Exempel 2'''
 <br/>
 <br/>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 10'''
+'''Exempel 3'''
 <br/>
 <br/>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 11'''
+'''Exempel 4'''
 <br/>
 <br/>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 12'''
+'''Exempel 5'''
 <br/>
 <br/>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 13'''
+'''Exempel 6'''
 <br/>
 <br/>
 <div class="exempel">
-'''Exempel 14'''
+'''Exempel 7'''
 <br/>
 <br/>