2.3. Partiell integrering

Exempel 1

Bestäm integralen $\ \ \displaystyle\int x^2 \cdot \ln x \, dx\,$.

Sätt $\,f=x^2\,$ och $\,g=\ln x\,$ eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: $\,F=x^2/2\,$ och $\,g'=1/x\,$. Detta ger oss alltså att $$\eqalign{\int x^2 \cdot \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\cr &= \frac{x^3}{3} \cdot \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = {\textstyle\frac{1}{3}}x^3 ( \ln x - {\textstyle\frac{1}{3}} ) + C\,\mbox{.}}$$

Exempel 2

Bestäm integralen $\ \ \displaystyle\int x^2 e^x \, dx\,$.

Sätt $\,f=e^x\,$ och $\,g=x^2\,$, vilket ger att $\,F=e^x\,$ och $\,g'=2x\,$, och en partiell integrering ger att

$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}$$

Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen $\,\int 2x\,e^x \, dx\,$. Vi väljer i detta fall $\,f=e^x\,$ och $\,g=2x\,$, vilket ger att $\,F=e^x\,$ och $\,g'=2\,$

$$\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}$$

Den ursprungliga integralen blir alltså

$$ \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}$$

Exempel 3

Bestäm integralen $\ \ \displaystyle\int e^x \cos x \, dx\,$.

I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn $\,e^x\,$ och derivera faktorn $\,\cos x\,$

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cdot \cos x - \int e^x \cdot(-\sin x) \, dx\,\mbox{.}$$

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}$$

Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn $\,\cos x\,$ mot $\,\sin x\,$ i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera $\,e^x\,$ och derivera $\,\sin x\,$) då får vi att

$$\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}$$

Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:

$$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$$

och samlar vi integralerna i ena ledet fås att $$\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}$$

Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.

Exempel 4

Beräkna integralen $\ \ \displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{2x}{e^x} \, dx\,$.

Integralen kan skrivas om som $$\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx\,\mbox{.}$$ Sätt nu $\,f=e^{-x}\,$ och $g=2x$, och partialintegrera $$\eqalign{\int_{0}^{1} 2x \cdot e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x} = \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\cr &= (-2 \cdot e^{-1}) - 0 + (- 2\cdot e^{-1}) - (-2) = - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}}$$

Exempel 5

Beräkna integralen $\ \ \displaystyle \int \ln \sqrt{x} \ dx\,$.

Vi utför först en variabelsubstitution $\,u=\sqrt{x}\,$ vilket ger att $\,du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u\,$, dvs, $dx = \,2u\,du\,$,

$$\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}$$

Sedan partialintegrerar vi. Sätt $\,f=2u\,$ och $g=\ln u\,$, vilket ger att

$$\eqalign{\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \cdot \frac{1}{u} du = u^2 \ln u - \int u\, du = u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C\cr &= x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C = x \bigl( \ln \sqrt{x} - {\textstyle\frac{1}{2}} \bigr) + C\,\mbox{.}}$$

Anm. Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som $\,\ln\sqrt{x} = \frac{1}{2}\ln x\,$ och sedan partialintegrera produkten $\,\frac{1}{2}\cdot\ln x\,$.