3.2. Polär form

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Det komplexa talplanet
Addition och subtraktion i talplanet
Belopp och argument
Polär form
Multiplikation och division i polär form
Multiplikation med $\,i\,$ i talplanet

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Ha geometrisk förståelse för de komplexa talen och räkneoperationerna i talplanet.
Kunna omvandla komplexa tal mellan formen $\,a+ib\,$ och polär form.

[redigera] Det komplexa talplanet

Eftersom ett komplext tal $\,z=a+bi\,$ består av en realdel $\,a\,$ och en imaginärdel $\,b\,$, så kan $\,z\,$ betraktas som ett ordnat talpar $\,(a,b)\,$ och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem. Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten $\,i\,$) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.

Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det komplexa talplanet.
Anm: De reella talen, dvs. alla komplexa tal med imaginärdel $\,0\,$, ligger alltså längs den reella axeln. Man kan därför se utvidgningen av talsystemet från $\displaystyle\mathbb{R}$ (de reella talen) till $\mathbb{C}$ (de komplexa talen) som att tillföra en ny dimension till den redan fyllda tallinjen.

Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. $\,z-w=z+(-w)\,$ och får följande utseende:

Exempel 1

Givet $\,z=2+i\,$ och $\,w=-3-i\,$. Markera $\,z\,$, $\,w\,$, $\,\overline{z}\,$, $\,\overline{z}-\overline{w}\,$ och $\,z-w\,$ i det komplexa talplanet.

Vi har att

$\overline{z}=2-i$
$\overline{w}=-3+i$
$z-w=2+i-(-3-i)=5+2i$
$\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})$

Exempel 2
Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller följande villkor:

$\mathop{\rm Re} z \ge 3$
$ -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2$

Den första olikheten definierar området markerat med A i figuren nedan och den andra olikheten området B.

[redigera] Absolutbelopp

De reella talen går att ordna i storleksordning, dvs. vi kan avgöra om ett reellt tal är större än ett annat; ju längre till höger på den reella tallinjen desto större är talet.

För de komplexa talen saknar man denna möjlighet. Vi kan inte utan vidare avgöra vilket tal som är störst av t.ex. $\,z=1-i\,$ och $\,w=-1+i\,$ . Med hjälp av begreppet absolutbelopp kan vi dock definiera ett mått på storleken av ett komplext tal.

För ett komplext tal $\,z=a+ib\,$ definieras absolutbeloppet $\,|\,z\,|\,$ som

$$|\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}$$

Vi ser att $\,|\,z\,|\,$ är ett reellt tal och att $\,|\,z\,|\ge 0\,$. För reella tal är $\,b = 0\,$ och då gäller att $\,|\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|\,$, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal. Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet $\,z=a+ib\,$ (punkten $\,(a, b)\,$) till $\,z = 0\,$ (origo), enligt Pythagoras sats.

[redigera] Avstånd mellan komplexa tal

Med hjälp av formeln för avstånd mellan punkter i ett koordinatsystem får man också en viktig och användbar tolkning av absolutbelopp. Avståndet $\,s\,$ mellan två komplexa tal $\,z=a+ib\,$ och $\,w=c+id\,$ (se fig.) kan med hjälp av avståndsformeln skrivas

$$s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}$$

Eftersom $\,z-w=(a-c)+i(b-d)\,$, så får man att

$|\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={}$avståndet mellan talen $\,z\,$ och $\,w\,$.

Exempel 3

Markera följande talmängder i det komplexa talplanet:

$\,\, |\,z\,|=2$

Ekvationen beskriver alla tal vars avstånd till origo är 2. Dessa tal bildar i det komplexa talplanet en cirkel med radien 2 och medelpunkt i origo.

$\,\, |\,z-3\,|=1$

Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i $\,z = 3\,$.

$\,\, |\,z+2-i\,|\le 2$

Vänsterledet kan skrivas $\,|\,z-(-2+i)\,|\,$, vilket innebär alla tal på avståndet ${}\le 2$ från talet $\,-2+i\,$, dvs. en cirkelskiva med radien 2 och medelpunkt i $\,-2+i\,$.

$\,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1$

Mängden ges av alla tal vars avstånd till $\,z=2+3i\,$ är mellan $\,\frac{1}{2}\,$ och $\,1\,$.

Exempel 4

Markera i det komplexa talplanet alla tal $\,z\,$ som uppfyller villkoren

$\, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.$

Den första olikheten ger punkterna på och innanför cirkeln med radie 3 och medelpunkt i $\,2i\,$. Den andra olikheten ger ett vertikalt band av punkter med realdel mellan 1 och 2. Det område som uppfyller de båda olikheterna ges av de punkter som samtidigt ligger inom cirkeln och bandet.

$\, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|$

Ekvationen kan skrivas $\,|\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,|\,$. Man ser då att $\,z\,$ ska ligga på samma avstånd från $\,-1\,$ som från $\,2\,$. Detta villkor uppfylls av alla tal $\,z\,$ som har realdel $\,1/2\,$.

[redigera] Polär form

I stället för att ange ett komplext tal $\,z=x+iy\,$ i dess rektangulära koordinater $\,(x,y)\,$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $\,r\,$, till origo, samt den vinkel $\,\alpha\,$ som bildas mellan den positiva x-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).

Eftersom $\ \cos\alpha = x/r\ $ och $\ \sin\alpha = y/r\ $ så är $\ x = r\cos\alpha\ $ och $\ y= r\sin\alpha\,$. Talet $\,z=x+iy\,$ kan därför skrivas som

$$z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}$$

vilket kallas den polära formen av ett komplext tal $\,z\,$. Vinkeln $\,\alpha\,$ kallas argumentet för $\,z\,$ och skrivs

$$\alpha=\arg z\,\mbox{.}$$

Vinkeln $\,\alpha\,$ kan t.ex. bestämmas genom att lösa ekvationen $\,\tan\alpha=y/x\,$. Denna ekvation har dock flera lösningar, varför man måste se till att man väljer den lösning $\,\alpha\,$ som gör att $\,z= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,$ hamnar i rätt kvadrant.

Argumentet till ett komplext tal är inte heller unikt bestämt eftersom vinklar som skiljer sig åt med $\,2\pi\,$ anger samma riktning i det komplexa talplanet. Normalt brukar man dock ange argumentet som en vinkel mellan 0 och $\,2\pi\,$ eller mellan $\,-\pi\,$ och $\,\pi\,$.

Det reella talet $\,r\,$, avståndet till origo, känner vi redan som beloppet av $\,z\,$,

$$r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|$$

Exempel 5

Skriv följande komplexa tal i polär form:

$\,\,-3$

Vi har att $\,|\,-3\,|=3\,$ och $\,\arg (-3)=\pi\,$, vilket betyder att $\ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi)\,$.

$\,i$

Vi har att $\,|\,i\,|=1\,$ och $\,\arg i = \pi/2\,$ så i polär form är $\ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,$.

$\,1-i$

Formeln för beloppet av ett komplext tal ger att $\,|\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,$. Det komplexa talet ligger i den fjärde kvadranten och bildar vinkeln $\,\pi/4\,$ med den positiva reella axeln, vilket ger att $\,\arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4$. Alltså är $\ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr)\,$.

$\,2\sqrt{3}+2i$

Beloppet är enklast att räkna ut $$|\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}$$ Om vi kallar argumentet för $\,\alpha\,$ så uppfyller det sambandet $$\tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ och eftersom talet ligger i den första kvadranten (positiv real- och imaginärdel) så är $\,\alpha=\pi/6\,$ och vi har att $$2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}$$

[redigera] Multiplikation och division i polär form

Den stora fördelen med att ha komplexa tal skrivna i polär form är att multiplikation och division då blir väldigt enkla att utföra. För godtyckliga komplexa tal $\,z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha)\,$ och $\,w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta)\,$ kan man genom de trigonometriska additionsformlerna visa att

$$\eqalign{z\cdot w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}}$$

Vid multiplikation av komplexa tal multipliceras alltså beloppen, medan argumenten adderas. Vid division av komplexa tal divideras beloppen och argumenten subtraheras. Detta kan kortfattat skrivas:

$$|\,z\cdot w\,|=|\,z\,|\cdot |\,w\,|\quad \mbox{och}\quad \arg(z\cdot w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}$$ $$\Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ och}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}$$

I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $\,z\,$ med $\,w\,$ att $\,z\,$ förlängs med faktorn $\,|\,w\,|\,$ och roteras moturs med vinkeln $\,\arg\,w\,$.

Exempel 6

Beräkna följande uttryck och genom att skriva om på polär form:

$\Bigl(\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)$

Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form $$\eqalign{\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\cr \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)}$$ och då följer att $$\eqalign{&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\displaystyle\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\displaystyle\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\cr &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\vphantom{\Biggr)^{\Bigl(}}}$$

$(-2-2i)(1+i)$

Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form $$\eqalign{(-2-2i)&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\cr (1+i)&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$ Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att $$\eqalign{(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\cr &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}}$$

Exempel 7

Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\,$. Svara på polär form.

Eftersom $\ \displaystyle i=1\cdot \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ $ så är $$\eqalign{iz&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}}$$

Beräkna $\,iz\,$ och $\,\displaystyle\frac{z}{i}\,$ om $\ \displaystyle z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,$. Svara på polär form.

Använder vi den polära formen av $\,i\,$ så fås att $$\eqalign{iz&=3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) =3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\cr &=3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\cr \frac{z}{i}&=2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}}$$

Vi ser här att multiplikation med $\,i\,$ innebär en rotation $\,\pi/2\,$ moturs, medan division med $\,i\,$ medför en rotation $\,\pi/2\,$ medurs.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.2._Pol%C3%A4r_form

 ==Polär form==
 I stället för att ange ett komplext tal $\,z=x+iy\,$ i dess rektangulära koordinater $\,(x,y)\,$ kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, $\,r\,$, till origo, samt den vinkel $\,\alpha\,$ som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).
-[[Bild:komplext-talplan-11.gif||center|]]
+<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-11.gif||center|]]</div>
 Eftersom $\ \cos\alpha = x/r\ $ och $\ \sin\alpha = y/r\ $ så är $\ x = r\cos\alpha\ $ och $\ y= r\sin\alpha\,$. Talet $\,z=x+iy\,$ kan därför skrivas som
 <div class="regel">$$z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}$$</div>
 <br/>
 </ol>
-[[Bild:komplext-talplan-12.gif||center|]]
+<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-12.gif||center|]]</div>
 </div>
 </div>
 I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av $\,z\,$ med $\,w\,$ att $\,z\,$ förlängs med faktorn $\,|\,w\,|\,$ och roteras moturs med vinkeln $\,\arg\,w\,$.
-[[Bild:komplext-talplan-13.gif||center|]]
+<div align="center">[[Bild:komplext-talplan-13.gif||center|]]</div>
 <div class="exempel">
 </ol>
 </div>
+<br><br><br>
 <div class="exempel">
 '''Exempel 7'''
 </div>
+<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

3.2. Polär form

Sommarmatte 2

Nuvarande version

[redigera] Det komplexa talplanet

[redigera] Absolutbelopp

[redigera] Avstånd mellan komplexa tal

[redigera] Polär form

[redigera] Multiplikation och division i polär form

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda