2.2 Övningar

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 19 juli 2007 kl. 10.23 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Övning 2.2:2)
← Gå till föregående ändring		 Nuvarande version (19 juli 2007 kl. 10.30) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Övning 2.2:4)
 
(4 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 117: Rad 117:
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\frac{3}{4}$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_2a-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_2d.gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 144: Rad 200:
</tr> </tr>
</table> </table>
-Ledning c) $\displaystyle \frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot \frac{1}{x}= \ln x \cdot (\ln x)'$<br> 
-Ledning d, e) $\left(\ln \, f(x)\right)'=\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$<br> 
-Ledning f) Använd substitutionen $u=\sqrt x$ 
</div> </div>
Rad 172: Rad 225:
<td class="ntext">f)</td> <td class="ntext">f)</td>
<td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td> <td class="ntext" width="50%">$-2\cos\sqrt{x}+C$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3d.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning e&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga e
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3e.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning f&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga f
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_3f.gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 193: Rad 330:
</tr> </tr>
</table> </table>
-Ledning: Substituera så att $x^2+a = au^2+a =a(u^2+1)$ 
</div> </div>
Rad 212: Rad 348:
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td> <td class="ntext" width="50%">$x-\arctan x + C$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_4b-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:2_2_4c-2(2).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:2_2_4d.gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
</div> </div>
</div> </div>

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 2.2:1

Beräkna integralerna

a) $\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{dx}{(3x-1)^4}\quad$ genom att använda substitution $u=3x-1$
b) $\displaystyle \int (x^2+3)^5x \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^2+3$
c) $\displaystyle \int x^2 e^{x^3} \, dx\quad$ genom att använda substitution $u=x^3$
Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $\displaystyle\frac{13}{1000}$
b) $\displaystyle\frac{(x^2+3)^6}{12}+C$
c) $\displaystyle\frac{1}{3}e^{\scriptstyle x^3}+C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_1a-1(3).gif
Bild:2_2_1a-2(3).gif
Bild:2_2_1a-3(3).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_1b-1(2).gif
Bild:2_2_1b-2(2).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_1c.gif

[redigera] Övning 2.2:2

Beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos 5x\, dx$ b) $\displaystyle\int_{0}^{1/2} e^{2x+3}\, dx$
c) $ \displaystyle\int_{0}^{5} \sqrt{3x + 1} \, dx$ d) $\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt[\scriptstyle3]{1 - x}\, dx$
Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $0$ b) $\displaystyle\frac{1}{2}(e^4-e^3)$
c) $14$ d) $\displaystyle\frac{3}{4}$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_2a-1(2).gif
Bild:2_2_2a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_2b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_2c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_2_2d.gif

[redigera] Övning 2.2:3

Beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int 2x \sin x^2\, dx$ b) $\displaystyle\int \sin x \cos x\, dx$
c) $ \displaystyle\int \displaystyle\frac{\ln x}{x}\, dx$ d) $\displaystyle\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2+2x+2}\, dx$
e) $ \displaystyle\int \displaystyle\frac{3x}{x^2+1}\, dx$ f) $\displaystyle\int \displaystyle\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$


Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $-\cos x^2+C$ b) $\displaystyle\frac{\sin^2x}{2}+C$
c) $\frac{1}{2}(\ln x)^2+C$ d) $\displaystyle\frac{1}{2}\ln\left(x^2+2x+2\right)+C$
e) $\displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C$ f) $-2\cos\sqrt{x}+C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_3a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_3b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_3c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_2_3d.gif

Lösning e 

Lösning till delfråga e

Bild:2_2_3e.gif

Lösning f 

Lösning till delfråga f

Bild:2_2_3f.gif

[redigera] Övning 2.2:4

Använd formeln $$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$$ för att beräkna integralerna
a) $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$ b) $\displaystyle\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}$
c) $ \displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4x+8}$ d) $\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 +1}\, dx$
Facit 

Facit till alla delfrågorna

a) $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)+C$ b) $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt3}\right)+C$
c) $\displaystyle\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$ d) $x-\arctan x + C$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:2_2_4a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:2_2_4b-1(2).gif
Bild:2_2_4b-2(2).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:2_2_4c-1(2).gif
Bild:2_2_4c-2(2).gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:2_2_4d.gif

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/2.2_%C3%96vningar
Personliga verktyg