3.3 Övningar

Sommarmatte 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 20 juli 2007 kl. 11.48 (redigera)
KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag)
(→Övning 3.3:2)
← Gå till föregående ändring		 Nuvarande version (8 augusti 2007 kl. 09.32) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag)
(Korrigerat 3.3:1a)
 
(4 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 5: Rad 5:
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$(i-1)^{12}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$(i+1)^{12}$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$</td> <td class="ntext" width="50%">$\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$</td>
Rad 266: Rad 266:
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$i\bigl(z+\frac{3}{2}-i\bigl)^2-4-\frac{5}{4}\,i$</td> <td class="ntext" width="50%">$i\bigl(z+\frac{3}{2}-i\bigl)^2-4-\frac{5}{4}\,i$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_3a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_3b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_3c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_3d.gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 306: Rad 362:
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} (1+i\sqrt{15})/4\\ (1-i\sqrt{15})/4 \end{matrix}\right.$</td> <td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} (1+i\sqrt{15})/4\\ (1-i\sqrt{15})/4 \end{matrix}\right.$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_4a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_4b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning c&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga c
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_4c.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_4d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:3_3_4d-2(2).gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 346: Rad 458:
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
<td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} i \\ 1+4i \\ \end{matrix}\right.$</td> <td class="ntext" width="50%">$z= \left\{\begin{matrix} i \\ 1+4i \\ \end{matrix}\right.$</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga a
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_5a.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning b&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga b
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_5b.gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning &nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_5c-1(4).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5c-2(4).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5c-3(4).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5c-4(4).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning d&nbsp;</div>
 +<div class=NavContent>
 +Lösning till delfråga d
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_5d-1(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5d-2(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5d-3(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_5d-4(5).gif]] <br\>[[Bild:3_3_5d-5(5).gif]]
 +</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
Rad 353: Rad 521:
==Övning 3.3:6== ==Övning 3.3:6==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\ \tan \frac{\pi}{8}\,$.+Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\; \tan \frac{\pi}{8}\,$.
</div> </div>
Rad 371: Rad 539:
</table> </table>
</div> </div>
 +</div>
 +
 +<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
 +<div class=NavHead>L&ouml;sning &nbsp;</div>
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td width="100%" align="center">
 +[[Bild:3_3_6-1(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_6-2(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_6-3(5).gif]]<br\> [[Bild:3_3_6-4(5).gif]]<br\>[[Bild:3_3_6-5(5).gif]]
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>

Nuvarande version

Innehåll

[redigera] Övning 3.3:1

Skriv följande tal i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal.

a) $(i+1)^{12}$ b) $\displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,\Bigr)^{12}$
c) $ (4\sqrt{3} -4i)^{22}$ d) $\Bigl(\displaystyle\frac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\,\Bigr)^{12}$
e) $\displaystyle\frac{(1+i\sqrt{3}\,)(1-i)^8}{(\sqrt{3}-i)^9}$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $-64$ b) $1$
c) $2^{65}+2^{65}\sqrt{3}\,i$ d) $-64$
e) $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{32} - \frac{i}{32} $
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:3_3_1a-1(2).gif
Bild:3_3_1a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:3_3_1b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:3_3_1c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:3_3_1d-1(2).gif
Bild:3_3_1d-2(2).gif

Lösning e 

Lösning till delfråga e

Bild:3_3_1e-1(2).gif
Bild:3_3_1e-2(2).gif

[redigera] Övning 3.3:2

Lös ekvationerna

a) $z^4=1$ b) $z^3=-1$ c) $ z^5=-1-i$
d) $(z-1)^4+4=0$ e) $\displaystyle\Bigl(\frac{z+i}{z-i}\Bigr)^2 = -1$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$ b) $z = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ -1\phantom{{}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\,i \\ \end{matrix}\right.$ c) $\displaystyle z=2^{1/10}\exp\Bigl(\frac{\pi i}{4}+\frac{2k\pi i}{5}\Bigr)$ för $\ k=0,1,2,3,4$
d) $z= \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \phantom{-}i \\ -i\\ \end{matrix}\right.$ e) $z = \left\{\begin{matrix} \phantom{-}1 \\ -1 \end{matrix}\right.$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:3_3_2a-1(2).gif
Bild:3_3_2a-2(2).gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:3_3_2b-1(2).gif
Bild:3_3_2b-2(2).gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:3_3_2c-1(2).gif
Bild:3_3_2c-2(2).gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:3_3_2d-1(2).gif
Bild:3_3_2d-2(2).gif

Lösning e 

Lösning till delfråga e

Bild:3_3_2e-1(2).gif
Bild:3_3_2e-2(2).gif

[redigera] Övning 3.3:3

Kvadratkomplettera följande uttryck

a) $z^2 +2z+3$ b) $z^2 +3iz-\frac{1}{4}$
c) $-z^2-2iz +4z+1$ d) $iz^2+(2+3i)z-1$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $(z+1)^2+2$ b) $\left(z+\frac{3}{2}i\,\right)^2+2$
c) $-(z-2+i)^2+4(1-i)$ d) $i\bigl(z+\frac{3}{2}-i\bigl)^2-4-\frac{5}{4}\,i$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:3_3_3a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:3_3_3b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:3_3_3c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:3_3_3d.gif

[redigera] Övning 3.3:4

Lös ekvationerna

a) $z^2=i$ b) $z^2-4z+5=0$
c) $-z^2+2z+3=0$ d) $\displaystyle\frac{1}{z} + z = \frac{1}{2}$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}(1+i)/\sqrt{2}\\ -(1+i)/\sqrt{2}\\ \end{matrix}\right.$ b) $z = \left\{\begin{matrix} 2+i \\ 2-i \\ \end{matrix}\right.$
c) $z= \left\{\begin{matrix} -1 \\ \phantom{-}3 \\ \end{matrix}\right. $ d) $z= \left\{\begin{matrix} (1+i\sqrt{15})/4\\ (1-i\sqrt{15})/4 \end{matrix}\right.$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:3_3_4a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:3_3_4b.gif

Lösning c 

Lösning till delfråga c

Bild:3_3_4c.gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:3_3_4d-1(2).gif
Bild:3_3_4d-2(2).gif

[redigera] Övning 3.3:5

Lös ekvationerna

a) $z^2-2(1+i)z+2i-1=0$ b) $z^2-(2-i)z+(3-i)=0$
c) $z^2-(1+3i)z-4+3i=0$ d) $(4+i)z^2+(1-21i)z=17$
Facit 

Facit till alla delfrågor

a) $z= \left\{\begin{matrix} 2+1 \\ i \\ \end{matrix}\right.$ b) $z = \left\{\begin{matrix} 1+i\phantom{2} \\ 1-2i \\ \end{matrix}\right.$
c) $z= \left\{\begin{matrix} \phantom{-}2+i\phantom{2} \\ -1+2i \\ \end{matrix}\right. $ d) $z= \left\{\begin{matrix} i \\ 1+4i \\ \end{matrix}\right.$
Lösning a 

Lösning till delfråga a

Bild:3_3_5a.gif

Lösning b 

Lösning till delfråga b

Bild:3_3_5b.gif

Lösning  

Lösning till delfråga

Bild:3_3_5c-1(4).gif
Bild:3_3_5c-2(4).gif
Bild:3_3_5c-3(4).gif
Bild:3_3_5c-4(4).gif

Lösning d 

Lösning till delfråga d

Bild:3_3_5d-1(5).gif
Bild:3_3_5d-2(5).gif
Bild:3_3_5d-3(5).gif
Bild:3_3_5d-4(5).gif
Bild:3_3_5d-5(5).gif

[redigera] Övning 3.3:6

Bestäm lösningarna till $\,z^2=1+i\,$ dels i polär form, dels i formen $\,a+ib\,$, där $\,a\,$ och $\,b\,$ är reella tal. Använd resultatet för att beräkna $\; \tan \frac{\pi}{8}\,$.

Facit 

Facit till alla delfrågor

Lösningar: $z= \left\{\eqalign{&\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{\pi}{8}+i\,\sin\frac{\pi}{8}\bigr)\cr &\textstyle\sqrt[\scriptstyle 4]{2}\bigl(\cos\frac{9\pi}{8}+i\,\sin\frac{9\pi}{8}\bigr)}\right. = \left\{\eqalign{&\textstyle\phantom{-}{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}+i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}\cr &\textstyle -{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}+2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}-i\,{\textstyle\frac{1}{2}}\sqrt{\smash{2\sqrt{2}-2}\vphantom{2^{2^{\scriptstyle 2}}}}}\right.$
Uttryck: $\displaystyle\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$
Lösning  

Bild:3_3_6-1(5).gif
Bild:3_3_6-2(5).gif
Bild:3_3_6-3(5).gif
Bild:3_3_6-4(5).gif
Bild:3_3_6-5(5).gif

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0601_0701/index.php/3.3_%C3%96vningar
Personliga verktyg