1.1 Övningar
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 1 juni 2007 kl. 12.16 (redigera) KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (15 augusti 2007 kl. 10.05) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1tyze7e (Diskussion | bidrag) (Korrigerat svaret till övning 1.1:1c) |
||
| (35 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==Övning 1.1:1== | ==Övning 1.1:1== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. BILD | + | Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. <br\> |
| + | [[Bild:o_1_1_1a.gif]] | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">Bestäm Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$?</td> | + | <td class="ntext" width="100%">Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$?</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| Rad 26: | Rad 27: | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="100%">$f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="100%">$x=-3$ och $x=2$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$-3< x < 2$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 50: | Rad 51: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_1_1a.gif]] | + | [[Bild:1_1_1a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_1_1a-2(2).gif]]<br\> |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 84: | Rad 85: | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | |||
| - | |||
| ==Övning 1.1:2== | ==Övning 1.1:2== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller | + | Bestäm $f'(x)$ om |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 116: | Rad 115: | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) $f'(x)=2x-3$ </td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$f'(x)$</td> | + | </tr><tr> |
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ </td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$f'(x)$</td> | + | </tr><tr> |
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$</td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$f'(x)$</td> | + | |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">d)</td> | + | <td class="ntext">d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$</td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$f'(x)$</td> | + | </tr><tr> |
| - | <td class="ntext">e)</td> | + | <td class="ntext">e) $f'(x)=4x(x^2-1)$</td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$f'(x)$</td> | + | </tr><tr> |
| - | <td class="ntext">f)</td> | + | <td class="ntext">f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$</td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$f'(x)$</td> | + | |
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| Rad 178: | Rad 175: | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | + | <div class=NavHead>Lösning d) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga a) | + | Lösning till delfråga d) |
| <table width="100%"> | <table width="100%"> | ||
| <tr> | <tr> | ||
| Rad 192: | Rad 189: | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | + | <div class=NavHead>Lösning e) </DIV> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga b) | + | Lösning till delfråga e) |
| <table width="100%"> | <table width="100%"> | ||
| <tr> | <tr> | ||
| Rad 206: | Rad 203: | ||
| <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | + | <div class=NavHead>Lösning f) </div> |
| <div class=NavContent> | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga c) | + | Lösning till delfråga f) |
| <table width="100%"> | <table width="100%"> | ||
| <tr> | <tr> | ||
| Rad 218: | Rad 215: | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | |||
| ==Övning 1.1:3== | ==Övning 1.1:3== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | En liten boll som släpps från höjden $h=10m$ ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\dipslaystyle\frac{9,82}{2}t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen? | + | En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen? |
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">$14{,}0\,$ m/s</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_1_3-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_1_3-2(2).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 1.1:4== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| + | <tr align="left"> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%"> | ||
| + | Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$<br> | ||
| + | Normalens ekvation: $\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$</td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Lösning </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | <table width="100%"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td align="center"> | ||
| + | [[Bild:1_1_4-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_1_4-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_1_4-3(3).gif]] | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | ==Övning 1.1:5== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$. | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 230: | Rad 288: | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="100%">$\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 243: | Rad 301: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_1_3.gif]] | + | [[Bild:1_1_5-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_1_5-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_1_5-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
Nuvarande version
Innehåll |
[redigera] Övning 1.1:1
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren.
| a) | Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$? |
| b) | För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$? |
| c) | I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ? |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $f'(-4)>0, \,\,\,\, f'(1)<0$ |
| b) | $x=-3$ och $x=2$ |
| c) | $-3< x < 2$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
[redigera] Övning 1.1:2
Bestäm $f'(x)$ om
| a) | $f(x) = x^2 -3x +1$ | b) | $f(x)=\cos x -\sin x$ | c) | $f(x)= e^x-\ln x$ |
| d) | $f(x)=\sqrt{x}$ | e) | $f(x) = (x^2-1)^2$ | f) | $f(x)= \cos (x+\pi/3)$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) $f'(x)=2x-3$ |
| b) $f'(x)=-\sin x -\cos x$ |
| c) $f'(x)=e^x-\displaystyle\frac{1}{x}$ |
| d) $f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$ |
| e) $f'(x)=4x(x^2-1)$ |
| f) $f'(x)=-\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning f)
Lösning till delfråga f)
|
|
[redigera] Övning 1.1:3
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
Facit
| $14{,}0\,$ m/s |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 1.1:4
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
Facit
|
Tangentens ekvation: $\ y=2x-1$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 1.1:5
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
Facit
| $\bigl(1-\sqrt2, -3+2\sqrt2\bigr)\,$ och $\,\bigl(1+\sqrt2, -3-2\sqrt2\bigr)$ |
Lösning
|
|
