1.3 Övningar
Sommarmatte 2
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 1 juni 2007 kl. 14.29 (redigera) KTH.SE:u1rp004j (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (15 september 2007 kl. 23.36) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1m1gion (Diskussion | bidrag) (→Övning 1.3:1 - ändrade felaktigheter i facit till 1.3:1 b) och d)/Johan T) |
||
| (42 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| ==Övning 1.3:1== | ==Övning 1.3:1== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande. | + | Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande. |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1a.gif]]</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1b.gif]]</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1c.gif]]</td> |
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">[[Bild:o_1_3_1d.gif]]</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
| Facit till alla delfrågor | Facit till alla delfrågor | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr align="left" valign="top"> |
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">Funktionen har en kritisk punkt då $x = 0$. Funktionen saknar terrasspunkt. Då $x = 0$ har funktionen som extrempunkt ett lokalt och globalt minimum. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le 0$, funktionen är strängt växande i intervallet $x\ge 0$. </td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">Funktionen har en kritisk punkt då $x = -1$ och då $x=1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som lokala extrempunkter ett lokalt maxium då $x = -1$ och ett lokalt minium då $x=1$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i den vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt och globalt maximum i den högra ändpunkten. Funktionen är strängt växande i intervallen $x\le -1$ och $x\ge 1$, funktionen är strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le 1$.</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr><td height="5px"/></tr> |
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">Funktionen har kritiska punkter då $x = -2$, då $x=-1$ och då $x=1/2$. Funktionen har en terrasspunkt då $x=-1$. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt och globalt minimum då $x = -2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$, ett lokalt och globalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt minimum i den högra ändpunkten för definitionsintervallet. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -2$, strängt växande i intervallet $-2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$.</td> |
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">Funktionen har kritiska punkter då $x = -5/2$ och då $x=1/2$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall, ett lokalt och globalt minimum då $x = -5/2$, ett lokalt och globalt maximum då $x=-1$, ett lokalt miminum då $x=-1/2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$ och ett lokalt minimum i högra ändpunkten för funktionens definitionsintervall. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -5/2$, strängt växande i intervallet $-5/2\le x\le -1$, strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le -1/2$, strängt växande då $-1/2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$.</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 48: | Rad 49: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1a.gif]] | + | [[Bild:1_3_1a-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1a-2(2).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 62: | Rad 63: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1b.gif]] | + | [[Bild:1_3_1b-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1b-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1b-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 77: | Rad 78: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1c.gif]] | + | [[Bild:1_3_1c-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1c-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1c-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 91: | Rad 92: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_1d.gif]] | + | [[Bild:1_3_1d-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_1d-2(2).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 97: | Rad 98: | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| - | |||
| ==Övning 1.3:2== | ==Övning 1.3:2== | ||
| Rad 124: | Rad 124: | ||
| Facit till alla delfrågor | Facit till alla delfrågor | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr align="left" valign="top"> |
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt)</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr><td height="5px"/></tr> |
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br> $x=1\,$ (lokal minimipunkt)</td> |
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">lokal extrempunkt saknas</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 148: | Rad 149: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2a.gif]] | + | [[Bild:1_3_2a-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2a-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2a-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 162: | Rad 163: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2b.gif]] | + | [[Bild:1_3_2b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2b-2(2).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 177: | Rad 178: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2c.gif]] | + | [[Bild:1_3_2c-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2c-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2c-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 191: | Rad 192: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_2d.gif]] | + | [[Bild:1_3_2d-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2d-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_2d-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 200: | Rad 201: | ||
| ==Övning 1.3:3== | ==Övning 1.3:3== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande. | + | Bestäm alla lokala extrempunkter till |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 227: | Rad 228: | ||
| Facit till alla delfrågor | Facit till alla delfrågor | ||
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr align="left" valign="top"> |
| <td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=0\,$ (lokal maximipunkt)</td> |
| <td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt)</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr><td height="5px"/></tr> |
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| <td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=1/e\,$ (lokal minimipunkt)</td> |
| <td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)<br>$x=0\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt)</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr><td height="5px"/></tr> |
| + | <tr align="left" valign="top"> | ||
| <td class="ntext">e)</td> | <td class="ntext">e)</td> | ||
| - | <td class="ntext" width="50%">Svar</td> | + | <td class="ntext" width="50%">$x=-3\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=-2\,$ (lokal maximipunkt)<br>$x=1\,$ (lokal minimipunkt)<br>$x=3\,$ (lokal maximipunkt)</td> |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 255: | Rad 258: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3a.gif]] | + | [[Bild:1_3_3a-1(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3a-2(3).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3a-3(3).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 269: | Rad 272: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3b.gif]] | + | [[Bild:1_3_3b-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3b-2(2).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 284: | Rad 287: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3c.gif]] | + | [[Bild:1_3_3c-1(2).gif]]<br\>[[Bild:1_3_3c-2(2).gif]] |
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 298: | Rad 301: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3d.gif]] | + | [[Bild:1_3_3d-1(5).gif]]<br\> |
| + | [[Bild:1_3_3d-2(5).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_3d-3(5).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_3d-4(5).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_3d-5(5).gif]] | ||
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 312: | Rad 319: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_3e.gif]] | + | [[Bild:1_3_3e-1(4).gif]]<br\> |
| + | [[Bild:1_3_3e-2(4).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_3e-3(4).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_3e-4(4).gif]]<br\> | ||
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 321: | Rad 331: | ||
| ==Övning 1.3:4== | ==Övning 1.3:4== | ||
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$. | + | Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area? <br\> |
| + | <div align="center">[[Bild:O_1_3_4.gif]]</div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 331: | Rad 342: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>$P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$</tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 342: | Rad 353: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_4.gif]] | + | [[Bild:1_3_4-1(3).gif]]<br\> |
| + | [[Bild:1_3_4-2(3).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_4-3(3).gif]] | ||
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 349: | Rad 362: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | + | ==Övning 1.3:5== | |
| - | ==Övning 1.3:4== | + | |
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$. | + | En $30$ cm bred plåt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt? <br\> |
| + | <div align="center">[[Bild:O_1_3_6.gif]]</div> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 362: | Rad 375: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>$\alpha=\pi/6$</tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 373: | Rad 386: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_4.gif]] | + | [[Bild:1_3_5-1(4).gif]]<br\> |
| + | [[Bild:1_3_5-2(4).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_5-3(4).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_5-4(4).gif]] | ||
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 380: | Rad 396: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | + | ==Övning 1.3:6== | |
| - | ==Övning 1.3:4== | + | |
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$. | + | En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 393: | Rad 408: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ </tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 404: | Rad 419: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_4.gif]] | + | [[Bild:1_3_6-1(4).gif]]<br\> |
| + | [[Bild:1_3_6-2(4).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_6-3(4).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_6-4(4).gif]] | ||
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 411: | Rad 429: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | + | ==Övning 1.3:7== | |
| - | ==Övning 1.3:4== | + | |
| <div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
| - | Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$. | + | Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym? |
| </div> | </div> | ||
| Rad 424: | Rad 441: | ||
| <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | <td class="ntext" width="100%">Svar</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | <tr><td height="5px"/>Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort.</tr> |
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| Rad 435: | Rad 452: | ||
| <tr> | <tr> | ||
| <td align="center"> | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:1_3_4.gif]] | + | [[Bild:1_3_7-1(6).gif]]<br\> |
| + | [[Bild:1_3_7-2(6).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_7-3(6).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_7-4(6).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_7-5(6).gif]]<br\> | ||
| + | [[Bild:1_3_7-6(6).gif]] | ||
| </td> | </td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
Nuvarande version
Innehåll |
[redigera] Övning 1.3:1
Bestäm kritiska punkter, terasspunkter, lokala extrempunkter och globala extrempunkter för funktionerna som beskrivs i graferna nedan. Ange också de intervall där funktionen är strängt växande respektive strängt avtagande.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | Funktionen har en kritisk punkt då $x = 0$. Funktionen saknar terrasspunkt. Då $x = 0$ har funktionen som extrempunkt ett lokalt och globalt minimum. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le 0$, funktionen är strängt växande i intervallet $x\ge 0$. | b) | Funktionen har en kritisk punkt då $x = -1$ och då $x=1$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som lokala extrempunkter ett lokalt maxium då $x = -1$ och ett lokalt minium då $x=1$. Funktionen har ett lokalt och globalt minimum i den vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt och globalt maximum i den högra ändpunkten. Funktionen är strängt växande i intervallen $x\le -1$ och $x\ge 1$, funktionen är strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le 1$. |
| c) | Funktionen har kritiska punkter då $x = -2$, då $x=-1$ och då $x=1/2$. Funktionen har en terrasspunkt då $x=-1$. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt och globalt minimum då $x = -2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$, ett lokalt och globalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall och ett lokalt minimum i den högra ändpunkten för definitionsintervallet. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -2$, strängt växande i intervallet $-2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$. | d) | Funktionen har kritiska punkter då $x = -5/2$ och då $x=1/2$. Funktionen saknar terrasspunkt. Funktionen har som extrempunkter ett lokalt maximum i vänstra ändpunkten för funktionens definitionsintervall, ett lokalt och globalt minimum då $x = -5/2$, ett lokalt och globalt maximum då $x=-1$, ett lokalt miminum då $x=-1/2$, ett lokalt maximum då $x=1/2$ och ett lokalt minimum i högra ändpunkten för funktionens definitionsintervall. Funktionen är strängt avtagande i intervallet $x\le -5/2$, strängt växande i intervallet $-5/2\le x\le -1$, strängt avtagande i intervallet $-1\le x\le -1/2$, strängt växande då $-1/2\le x\le 1/2$ och strängt avtagande i intervallet $x\ge 1/2$. |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
[redigera] Övning 1.3:2
Bestäm lokala extrempunkter och skissera funktionsgrafen till
| a) | $f(x)= x^2 -2x+1$ | b) | $f(x)=2+3x-x^2$ |
| c) | $f(x)= 2x^3+3x^2-12x+1$ | d) | $f(x)=x^3-9x^2+30x-15$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=1\,$ (lokal minimipunkt) | b) | $x=\frac{3}{2}\,$ (lokal maximipunkt) |
| c) | $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) |
d) | lokal extrempunkt saknas |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
[redigera] Övning 1.3:3
Bestäm alla lokala extrempunkter till
| a) | $f(x)=-x^4+8x^3-18x^2$ | b) | $f(x)=e^{-3x} +5x$ |
| c) | $f(x)= x\ln x -9$ | d) | $f(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{1+x^4}$ |
| e) | $f(x)=(x^2-x-1)e^x$ då $-3\le x\le 3$ | ||
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=0\,$ (lokal maximipunkt) | b) | $x=-\frac{1}{3}\ln\frac{5}{3}\,$ (lokal minimipunkt) |
| c) | $x=1/e\,$ (lokal minimipunkt) | d) | $x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) $x=0\,$ (lokal minimipunkt) $x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,$ (lokal maximipunkt) |
| e) | $x=-3\,$ (lokal minimipunkt) $x=-2\,$ (lokal maximipunkt) $x=1\,$ (lokal minimipunkt) $x=3\,$ (lokal maximipunkt) |
||
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning e)
Lösning till delfråga e)
|
|
[redigera] Övning 1.3:4
Var på kurvan $y=1-x^2$ i första kvadranten ska punkten $P$ väljas för att rektangeln i figuren till höger ska ha maximal area?
Facit
| Svar |
| $P = \bigl(1/\sqrt{3},2/3\bigr)$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 1.3:5
En $30$ cm bred plåt ska användas för att tillverka en ränna. Parallellt med plåtens långsidor viks kanterna upp enligt figuren. Hur stor ska vinkeln $\alpha$ vara för att ränna ska rymma så mycket vatten som möjligt?
Facit
| Svar |
| $\alpha=\pi/6$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 1.3:6
En plåtmugg som har formen av en rät cirkulär cylinder ska tillverkas. Vilken radie och höjd ska muggen ha om man vill att den har en bestämd volym $V$ samtidigt som man använder så lite plåt som möjligt.
Facit
| Svar |
| radie ${}={}$ höjd $\displaystyle {}=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$ |
Lösning
|
|
[redigera] Övning 1.3:7
Ur en cirkulär skiva skärs en cirkelsektor bort och de två radiella kanter som uppstår fästs ihop så att man får en konformad strut. Hur stor vinkel ska den borttagna cirkelsektorn ha för att konen ska få maximal volym?
Facit
| Svar |
| Vinkeln $2\pi\bigl(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\,\bigr)\,$ radianer ska tas bort. |
Lösning
|
|
